计算方法第五章第二节最佳平方逼近

最佳逼近第五章§2.最佳平方逼近()[,]()[,]fxCabfxab本节研究函数的最佳平方逼近问题，即求拟合函数，使之与函数在上的均方差最小。我们将讨论此类逼近问题的解的存在惟一性及其计算问题。定义5.2.1YY(,)设是实线性空间，在上定义了一个二元实值函数，若它满足(,)(,),);1Y(,fggffg(,)(,),,Y,();2fgfgfgR(,)(,)(,),,(),Y;3fghfhghfgh(,)Y则称为内积，相应地，称为内积空间。一、内积空间(,)0,Y,(,)00),(4ffffff且定义5.2.2(,)()abx在区间上的非负函数满足条件,||1)()(bnaxxdx对任何非负整数n存在；()(,)xab则称是区间上的一个权函数。()()()0(,)()(20.)bagxxgxdxabgx对于非负的连续函数，如果,则在上，21()1[,]()1(1,1)xabxx显然是区间上最简单的一种权函数，是区间上的权函数。11212(,),(,,...,),(,,...,),nnTkkknnnnRxyxyxyxxxxyyyyR如果在维欧氏空间中定义其中则构成最简单的内积空间。222[][]()()()[]La,ba,bxfxfxLa,b记是区间上的可积的函数的全体构成的函数空间，在中定义2(,)()()(),,[],bafgxfxgxdxfgLa,b2()(,)[]Lxabba,其中是区间上的一个权函构成内数,则积空间。[]Ca,b同样，在函数空间中，如果定义(,)()()(),,[],bafgxfxgxdxfgCa,b,]()()[xabCa,b其中是区间上的一个权也构成内函数,则积空间。性质5.2.1（Cauchy－Schwarz不等式）Y设为内积空间，则有|(,)|(,)(,),,Y.fgffggfg(,),Y.ffff引入范：数定义5.2.3Y,Y(,)0.fgfgfgfg设为内积空间。如果对于，成立，则称与正交（垂直），记为定义5.2.401Y(),(),...,(),...nxxx如果内积空间中的函数族满足关系0,,(,)0,.ijiijAij{()}Ynx则称函数族正交是中的函数族。Y=C[,]ab特别地，设，其内积由(,)()()(),,[]bafgxfxgxdxfgCa,b[,]({()}())1{()}[,]nnabxabxxx定义，则称函数族是。当上带权正交时，则称函数的函数族上的族是正交函数族。cos,sin,cos2,sin2,...[,]xxxx：三角函数族1,是在区间上的正例如交函数族。不难算出,(sin,sin)(cos,cos),1,2,...,kxkxkxkxk(1,1)=(sin,sin)(cos,cos)0,,,1,2,...,kxjxkxjxkjkj(sin,cos)0,(1,cos)0,(1sin)0,,1,2,...kxjxjxkxkj，定义5.2.501Y(),(),...,(),...{()}nnxxxx如果内积空间中的函数族中的任何有限个函数线性无关，则称函数族是线性无关的函数族。性质5.2.2{()}Y{()}nnxx设函数族是中的正交函数族，则是线性无关的函数族。性质5.2.30101(),(),...,()Y(),(),...,()YCramernnxxxxxx设为内积空间中的函数，则在中线性无关的充要条件是它的行列式不为零，即......0.0010n00111n10n1nnn(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)...(,)性质5.2.4(勾股定理）12YY...,nfff设为内积空间，中的函数,,两两正交，则22221212.......nnffffff性质5.2.5(平行四边形等式）Y设为内积空间，则22222,,Y.fgfgfgfg和一般的线性赋范空间不同，内积空间有更好的几何性质：二、函数的最佳平方逼近0101()[][]{,,...,}(){,,...,}nnfxCa,bCa,bpx已知函数及中的一个子集span，如果span，使得(,)min,fpfp01(,)()(){,,...,}npxfx其中为内积，则称是在子集span中的最佳平方逼近函数。2010(,,...,):()()()nbniiaiSaaaxaxfxdx上述问题等价于求多元函数的最小值。0()()niiipxax由多元函数取极值的必要条件0,0,1,...,,jSjna0()()()()00,1,...,.nbiijaixaxfxxdxjn，得于是有2010(,,...,):()()()nbniiaiSaaaxaxfxdx0(,)(,)0,1,...,.nijijiafjn，上述方程组称为正规方程组。也可以写为01(),(),...,()nxxx由于线性无关，由性质5.2.3，该方程组的系数矩阵非奇异，因而方程组存在惟一解。可以证明，最佳平方问题的解存在惟一且就是正规方程组的解。(,)(,)0,1,...,.jjpfjn，例5.2.1解220(sin).ababxxdx求和使达到最小取基函数为0()1x1()xx建立正规方程组：根据内积公式，可得2000(,),2dx正规方程组为：22100(,),8xdx232110(,),24xdx200(,sin)sin1,xxdx210(,sin)sin1.xxxdx2231,281.824abab0.1147707,0.6644389.ab所求拟合函数为：()0.11477070.6644389.pxx例5.2.2解()sin[0,1].fxx求函数在上的最佳平方逼近二次多项式2012(),pxaaxax设拟合函数为正规方程组为：11112012000011112301200001111234201200001sin,sin,sin,adxaxdxaxdxxdxaxdxaxdxaxdxxxdxaxdxaxdxaxdxxxdx01201220123112,231111,2341114.345aaaaaaaaa0120.050465,4.12251,4.12251.aaa所求拟合函数为：2()0.0504654.122514.12251.pxxx本题中，当用n次多项式拟合时，正规方程组对应的系数矩阵为n+1阶的Hilbert矩阵。因而当n较大时，系数矩阵是高度病态的，求方程组的解，舍入误差很大，这时要用正交多项式做基函数，才能求得最小平方逼近多项式。三、正交多项式01(),(),...,()nxxx在求最佳平方逼近时，如果基函数两两正交，则正规方程组变为(,)(,)0,1,...,.jjjjafjn，从而，不需解方程组即可得到解(,)0,1,...,.(,)jjjjfajn，定义5.2.6()0{()}nnngxangx设是首项系数为的次多项式，若多项式族满足0,,()()()0,,bijaijixgxgxdxAji{()}[,]()()[,]()nngxabxgxabx则称多项式族在上带权正交，并称是上带权的n次正交多项式。()[,]GramSchmidt{1,,...,}nxabxx一般情况下，当权函数及区间给定后，人们可通过－正交化过程，由构造出相应的正交多项式。（一）正交多项式的性质{()}()nngxgx设是正交多项式族，其中为n次正交多项式，则有如下性质：性质5.2.6{()}ngx是线性无关的函数族。0101(),(),...,()P{1,,...,}(),(),...,()nnnngxgxgxxxgxgxgx由此推出，构成函数空间=span的一组基。因此，任意次数不超过n的多项式一定是的线性组合。1()ngx任何次数不超过n的多项式必与正交性质5.2.7()(,)ngxab在内恰有n个不同的实根。性质5.2.8ˆ{()}1ngx设为首项系数全为的正交多项式族，则有三项递推公式：11ˆˆˆ()()()(),nnnnngxxbgxcgx1,,nnnnnnbcˆˆˆˆ(,),(,).nnnnnnxgggg其中而1()001[,]()gxnabx如果令，则递推公式对也成立。因此，首项系数为的在上带权正交多项式可由递推公式递推计算。推论{()}()nnngxgxa设为正交多项式族，其中的首项系数为，则有三项递推公式：111112()()()(),nnnnnnnnnnaaagxxbgxcgxaa1,,nnnnnnbc(,),(,).nnnnnnxgggg其中而（二）几种常用的正交多项式族1.Legendre多项式21()(1),0,1,2,...2!nnnnndPxxnndx[1,1]()1x在区间上带权正交，且2(,),0,1,2,...21nnPPnn2.切比雪夫多项式()cos(arccos),0,1,2,...nTxnxn21[1,1]()1xx在区间上带权正交，且00(,),(,)(0).2nnTTTTn3.Laguerre多项式()(),0,1,2,...nxnxnndLxexendx[0,)()xxe在区间上带权正交，且2(,)(!),0,1,2,...nnLLnn4.Hermite多项式22()(1)(),0,1,2,...nnxxnndHxeendx2(,)()xxe在区间上带权正交，且(,)2(!),0,1,2,...nnnHHnn（三）正交多项式在最佳平方逼近中的应用见书P181－183两个例题()[01]xfxe求在，上的三次最佳平方逼例5.2.3近多项式。11220.50.5ˆ(),[0,1](),[1,1]ˆ()xtxtfxexfteetft显然利用勒让德正交多项式适合，因此对解展开。23012300112233001122332()1,(),()0.5(31),()0.5(53)2222,,,357ˆˆ(,)3.4366,(,)0.5634ˆˆ(,)0.0559(,)0.0019()1.71830.83010.06985(31)0.0PtPttPttPtttaaaabfPbfPbfPbfPpttt因为，323033(53)()1.71830.8301(21)0.06985(3(21)1)0.0033(5(21)3(21)).ttpxxxxx作业•1.复习最佳平方逼近及相关性质证明•2.作业本:page219:10