计算机图形学第8讲曲线曲面

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1曲线与曲面(CurvesandSurfaces)2本章目标曲线的表示方法重点掌握Bezier曲线学会使用OpenGL的函数为什么要研究曲线与曲面计算机图形学两大基本任务建模绘制3为什么要研究曲线与曲面建立复杂模型一个球面复杂曲面电话人脸赛车4Rzyx222为什么要研究曲线与曲面5为什么要研究曲线与曲面使用曲面曲线的好处控制物体形状建模修改保证光滑与连续性可导性易于绘制67主要内容参数曲线基础参数多项式曲线三次Hermite曲线Bezier曲线Bezier曲面OpenGL相关函数8参数曲线基础曲线的表示形式非参数表示和参数表示非参数表示显式表示坐标间建立函数关系不能建立多值曲线隐式表示看做是两曲面的交坐标变量间可以多对1)()(xgzxfy0922zyx0),,(0),,(zyxgzyxf9曲线的表示形式参数表示参数方程参数表示的矢量表示t规范到[0,1]:矢量表示:P=[x,y,z]T,P(t)=[x(t),y(t),z(t)]Tt可以表示时间、角度等量],[,)()()(battzztyytxxabatt]1,0[)(ttPP10曲线的表示形式如:直线方程的矢量表示如:圆]1,0[)()(]1,0[)(010010010ttyyyytxxxxttPPPPP0P1P(t)01t010xxxxtt反映了P在P0P1间的相对位置010xxxxt]360,0[sincos0RyRxθ反映了半径与X轴的夹角P(θ)11曲线的表示形式参数表示的优点容易确定曲线边界。由参数区间确定表示形式不变性。不依赖于坐标系的选取表示能力强。利于控制点来控制曲线形状,如后面将要学到的Bezier曲线12切矢量、法矢量、曲率和绕率位置矢量矢量表示:P=P(t),0≤t≤1参数方程导数正则点:k=1时,对t=t0,P'(t0)≠0正则曲线:所有点是正则点]1,0[,)()()(ttzztyytxx,,,])(,)(,)([)()()(10ddddddddTkttzttyttxttPtPkkkkkkkkk13切矢量、法矢量、曲率和绕率切矢量(tangentvector)参数t递增一个单位时三个坐标变量的变化量弧长对正则曲线,定义弧长:)(')(')(')()('tztytxdttdPtP222011d)(dd)(dd)(dd)(ddd)(dlim)(lim)(ttzttyttxttPtttPPPnLtstniiinn=其中14切矢量、法矢量、曲率和绕率弧长参数表示)()()()(0d)(ddd)(d0sPPtPPtssttssttPdtdstttPst可以用弧长参数表示为曲线存在反函数的单调函数是关于参数15切矢量、法矢量、曲率单位切矢量记T(s)为P=P(s)上任意一点的切矢量。则T(s)为单位切矢量1)(dd/d)(d/))(()(d)(ddd)(d0tPtttPdsdtdttsdPdssdPttPdtdstttPstdssdPsT)(][16切矢量、法矢量、曲率和绕率法矢量对等式两边求导后有与垂直主法矢量(normal)副法矢量(binormal)1|)(|dddddd)(2sTtPtPsttPsPsT|)(|)()(sssTTN02sTsTsTsT|)(|)(')(sssNNB法矢量(normalvector)密切平面(osculatingplane)T、N构成切平面(tangentplane)B、T构成法平面(normalplane)N、B构成切矢量、法矢量、曲率和绕率17|)()(|)()(ttttPPPPB)(|)()(|)()()(ttttttPPPPPPN切平面切矢量、法矢量、曲率和绕率1819切矢量、法矢量、曲率和绕率曲率(curvature)曲线的弯曲程度曲率半径sskslim)(0)(1)(skspP(s)点处的曲率切矢量、法矢量、曲率和绕率绕率(Torsion)对两边求导对两边求导B'与N平行度量曲线的扭曲程度200ssssTBTB0ssTB0ssTB02sB02ssBBB'与T垂直B'与B垂直ssNBssslim)(0切矢量、法矢量、曲率和绕率两边求导后Frenet–Serret公式21sssTBNsssBTN22参数连续性与几何连续性参数连续性传统的、严格的连续性曲线P=P(t)在t=t0处n阶参数连续,如果它在t0处n阶左右导数存在,并且满足记为CnnkdttPddttPdttkkttkk,,1,0,)()(0023参数连续性与几何连续性几何连续性直观的、易于交互控制的连续性0阶几何连续称曲线P=P(t)在t=t0处0阶几何连续,如果它在t0处位置连续,即记为:G01阶几何连续称曲线P=P(t)在t=t0处1阶几何连续,如果它在t0处GC0,并且切矢量方向连续,即记为:G1)()(00tPtP任一常数为0)(')('00tPtP参数曲面曲面参数表示曲面上的点曲面上的切向量曲面上的法向量角点24]1,0[]1,0[,,),(),(),(vuvuzzvuyyvuxx),(00vuP),(00vuuP),(00vuvP),(),(),(000000vuvuvuvuPPN)0,1(),1,1(),1,0(),0,0(PPPP25参数连续性与几何连续性几何连续性(续)2阶几何连续*称曲线P=P(t)在t=t0处2阶几何连续,如果它在t0处(1)G1(2)副法矢量方向连续(3)曲率连续)()(00tBtB)()(00tktk26曲线与曲面参数曲线基础参数多项式曲线三次Hermite曲线Bezier曲线Bezier曲面OpenGL相关函数27参数多项式曲线为什么采用参数多项式曲线?表示最简单理论和应用最成熟n次多项式曲线],[)()()(10101010ttztzztztytyytytxtxxtxnnnnnn28参数多项式曲线矩阵表示矢量表示加权和形式缺点Pi没有明显的几何意义Pi与曲线的关系不明确,导致曲线的形状控制困难CTttzzzyyyxxxtztytxtPnnnn1)()()()(101010]1,0[)(10tPttPPCTtPnnFergusoncurve29参数多项式曲线参数多项式曲线的矩阵表示矩阵表示矩阵分解几何矩阵G=[G0G1…Gn]控制顶点Gi基矩阵M:MT确定了一组基函数TGΜGΜC)(tP]1,0[)(0ttBtiniiGCTPtBi30参数多项式曲线参数多项式曲线的矩阵表示(续)例子:直线段的矩阵表示GMT]1,0[11011)1()(1010ttPPtPtPtPP0P1控制顶点:P0;P0+P1基函数:1-t;ttMT31参数多项式曲面矩阵表示矢量表示形式CVUT10101100010011)()()()(nmnmmnnmvvGGGGGGGGGuutztytxtP1,01,0,,)(00TvuvuPtPminjjiijCVU32参数多项式曲线参数多项式曲面的矩阵表示矩阵表示矩阵分解几何矩阵控制顶点GijMUU、MVV分别确定了两组基函数mnmmnnGGGGGGGGG101011000100VVUVUtPGΜΜUGΜΜCTTT)(1,01,0,,),(00,,TvuvBuBGvuPminjnjmiijCVUvBuBnjmi,,33参数多项式曲线生成方法流程:P(t)=P0+P1t+…+Pntn]1,0[t参数离散nit0计算型值点折线niP0连接型值点计算一个型值点的运算量乘法:n(n+1)/2次加法:n次34参数多项式曲线参数多项式曲线的生成(续)Horner迭代算法)()(0,2,1,)()()(01tRtPnnkPttRtRPtRkkknn结果:令n次乘法和n次加法35曲线与曲面参数曲线基础参数多项式曲线三次Hermite曲线Bezier曲线Bezier曲面OpenGL相关函数369.3三次Hermite曲线三次Hermite曲线的定义给定4个矢量P0,P1,R0,R1,称满足下列条件的三次多项式曲线P(t)为Hermite曲线1010)1(',)0(')1(,)0(RPRPPPPPP0P1R0R137Hermite曲线矩阵表示]1,0[)(tTMGtP1T10T01T10T03210|'0010|'1111|0001|RMGTMGRMGTMGPMGTMGPMGTMGHHtHHHHtHHHHtHHHHtHHCTttzzzyyyxxxtztytxtPnnnn1)()()()(101010n次多项式参数方程389.3三次Hermite曲线合并解(不唯一)HHHGRRPPMG取][301020101110001110101100121023002301301020101110001130102010111000111HHHHMGMG39三次Hermite曲线基矩阵与基函数(调和函数))()()()(223231111001210230023011010323232332tHtHtGtGttttttttttttTMHP(t)=P0G0(t)+P1G1(t)+R0H0(t)+R1H1(t)基函数为权:G0(t);G1(t);H0(t);H1(t)Hermite曲线上的点为P0、P1、R0、R1的加权和40三次Hermite曲线形状控制改变端点位置矢量P0,P1调节切矢量R0,R1的方向改变切矢量R0,R1的长度41三次Hermite曲线几何变换仿射不变性:对曲线的几何变换等价于对P0,P1,R0,R1做几何变换曲线生成取型值点:ti对每个ti,计算P(ti)42曲线与曲面参数曲线基础参数多项式曲线三次Hermite曲线Bezier曲线Bezier曲面OpenGL相关函数PierreÉtienneBézier(1910-1999)法国工程师机械工程学位电子工程学位雷诺公司并非发明Bézier曲线PauldeCasteljau4344Bezier曲线Bezier曲线几何造型的基本工具目前在很多图形软件中广泛应用(如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