第五章控制工程基础

第五章系统稳定性§5-1系统稳定的条件§5-2劳斯－胡尔维茨稳定判据§5-3奈奎斯特稳定判据§5-4稳定性裕量§5-5根轨迹简介§5-1系统稳定的条件一、稳定的概念和定义一个能在实际总应用，其首要条件是保证系统稳定。所谓系统稳定性，是指系统在使它偏离稳定平衡状态的扰动消除之后，系统能够以足够的精度逐渐回复到原来的状态，则系统是稳定的，或具有稳定性。否则系统不稳定，或不具有稳定性。系统稳定性，是系统固有的一种特性，这种固有的稳定性之取决于系统结构参数，而与初始条件及外界作用无关。依据稳定性定义，系统在初始条件为零时，受到干扰信号作用时（单位脉冲信号），系统输出信号，若则系统稳定)(t一、系统稳定的充要条件)(0tX0)(0tXLimt对于一般的反馈系统，系统的传递函数为：设输入信号为单位脉冲信号，则有：1则输出为：从1式可看出，要想系统稳定，系统的特征根si，必须全部具有负实部。综上所述，不论系统特征方程的特征根为何种形式（实根或共轭复根），线性系统稳定的充要条件为：所有特征根均为负数或具有负的实数部分；即：所有特征根均在复数平面的左半部分。由于特征根就是系统的极点，因此，线性系统稳定的充要条件也可表述为：系统的极点均在s平面的左半平面。一般情况下，确定系统稳定性的方法有：1直接计算或间接得知系统特征方程式的根。2确定特征方程的根具有负实部的系统参数的区域。应用第一种类型的两种方法是：(1)直接对系统特征方程求解；(2)根轨迹法应用第二种类型的两种方法是：(1)劳斯-胡尔维茨判据;(2)奈氏判据§5-2劳斯－胡尔维茨稳定判据劳斯－胡尔维茨判据是根据特征方程式（高次代数方程）根与系数的关系，由特征方程的系数间接判断特征方程根是否具有负实部的，从而判断系统稳定性的方法，因此又称做代数稳定性判据。一、胡尔维茨稳定判据将系统的特征方程式写成：系统稳定的充要条件是：1）系统的特征方程式的各项系数全部为正值，即ai=02）由系统特征方程各项系数组成的主行列式及其各顺序主子式全部大于零。满足这两个条件的系统是稳定的，否则系统是不稳定的。1201210nnnnnaSaSaSaSa00a胡尔维茨行列式可列写为：建立规律：主对角线上元素从a0开始依次递增为an-1，再写出各列元素，按自上而下角标递减，小于0时用0代替。例：系统的特征方程为：试用胡尔维茨判据判别系统的稳定性。解：由特征方程知：1)ai02)所以，不满足胡尔维茨行列式，系统不稳定。二、劳斯判据当系统特征方程阶次越高，利用胡氏判据时，行列式计算工作量越大，所以高阶时，可用劳斯判据判别系统的稳定性。劳斯判据步骤如下：1）列出系统特征方程：检查各项系数是否大于0，若是，进行第二步。可见，ai0(i=0,1,2,…,n)，是满足系统稳定的必要条件。2）按系统的特征方程式列写劳斯表1201210nnnnnaSaSaSaSa00a3）考察劳斯阵列表中第一列各数的符号，如果第一列中各数a0、a1、b1、c1、……的符号相同，则表示系统具有正实部特征根的个数等于零，系统稳定；如果符号不同，系统不稳定，且符号改变的次数等于系统具有的正实部特征根的个数。120314051607123111,,aaaaaaaaaaaabbbaaa表中131215131714123111,,baabbaabbaabcccbbb121211eddefe…例已知一调速系统的特征方程式为试用劳斯判据判别系统的稳定性。解：列劳斯表由于该表第一列系数的符号变化了两次，所以该方程中有二个根在S的右半平面，因而系统是不稳定的。32441.55172.3100SSS解：列劳斯表由劳斯判据可知，若系统稳定，则劳斯表中第一列的系数必须全为正值。可得：例已知某调速系统的特征方程式为求该系统稳定的K值范围。3241.585171670(1)0SSSK※※劳斯判据特殊情况1.劳斯表某一行中的第一项等于零，而该行的其余各项不等于零或没有余项，这种情况的出现使劳斯表无法继续往下排列。解决的办法是以一个很小的正数来代替为零的这项，据此算出其余的各项，完成劳斯表的排列。2.劳斯表中出现全零行则表示相应方程中含有一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根。这种情况，可利用系数全为零行的上一行系数构造一个辅助多项式，并以这个辅助多项式导数的系数来代替表中系数为全零的行。完成劳斯表的排列。这些大小相等、径向位置相反的根可以通过求解这个辅助方程式得到，而且其根的数目总是偶数的。一、奈氏稳定判据闭环系统考虑上图所示的闭环系统，其闭环传递函数为要使系统稳定，闭环极点要全部位于复平面的左半部。奈氏判据正是将开环频率特性与系统的闭环极点联系起来的判据。5-3奈奎斯特稳定判据(NyquistStabilityCriterion)C(s)R(s)G(s)H(s)奈奎斯特稳定判据的陈述1.绘制w从变化时的开环频率特性曲线，即开环奈氏图，并在曲线上标出w从增加的方向。2.根据曲线包围（-1，j0）点的次数和方向，求出N的大小和正负。w从时，曲线对（-1，j0）点包围的次数。当N0时，按逆时针方向包围的情况。当N0时，按顺时针方向包围的情况。当N=0时，表示曲线不包围（-1，j0）点。4.由Z=P-2N确定系统的稳定性Z为闭环右极点的个数，其为正整数或0.系统稳定时，Z=0，即P=2N5.若曲线刚好通过（-1，j0）点，表明闭环系统有极点位于虚轴上，系统处于临界稳定状态，归于不稳定。3.由给定的开环传递函数确定开环右极点数P，P为正整数或0。第五章控制系统的稳定性分析其奈氏曲线为右图：由图可见，开环Nyquist曲线顺时针包围(-1，j0)点一圈，即N＝-1：而开环特征根全部位于左半s平面，即P＝0，由Nyquist判据知，系统闭环不稳定。第五章控制系统的稳定性分析例：已知系统开环传递函数应用Nyquist判据判别闭环系统的稳定性20()()(1)(21)(51)Gsssss22220()()(1)(21)(51)20()(1)(14)(125)()25(0)20,(0)0()0,()270GjjjjjAarctgarctgarctgAA解：5-4系统的相对稳定性一、相位裕量和幅值裕量1、相位裕量在奈氏图上，从原点到奈氏图与单位圆的交点连一直线，则该直线与负实轴的夹角，就称为相位裕量。用表示。幅值穿越频率ωc：开环Nyquist曲线与单位圆的交点对应的频率ωc称为幅值穿越频率，也称剪切频率。，其中称为奈氏图与单位圆交点频率ωc上的相位角。第五章控制系统的稳定性分析0，系统稳定；，系统不稳定，越小，表示系统相对稳定性越差，一般取。其在图中的位置如图所示。2、幅值裕量在奈氏图上，奈氏曲线与负实轴交点处幅值的倒数，称为幅值裕量，用kg表示。第五章控制系统的稳定性分析相位穿越频率ωg：开环Nyquist曲线与负实轴的交点对应的频率ωg称为相位穿越频率，也称相位交界频率。其在图中的位置如图所示。第五章控制系统的稳定性分析当，则kg1，kg(dB)0dB，系统是稳定的。当，则kg1，kg(dB)0dB，系统是不稳定的。Kg一般取8～20dB为宜。第五章控制系统的稳定性分析()18011()()()1()20lg20lg()()()gggggggggKAGjHJKdBALA二、关于相位裕量和幅值裕量的几点说明控制系统的相位裕量和幅值裕量是系统的极坐标图对-1+j0点靠近程度的度量。因此，这两个裕量可以用来作为涉及准则。只用幅值裕量和相位裕量，都不足以说明系统的的相对稳定性。为了确定系统的相对稳定性，必须同时给出这两个量。对于最小相位系统，只有当相位裕量和幅值裕量都是正值时，系统才是稳定的。负的裕量表示系统不稳定。为了得到满意的性能，相位裕量应当在之间，幅值裕量应取8～20dB。第五章控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性，由其闭环极点唯一的来确定，奈氏判据可以知道闭环系统有无右极点，但不知道极点的位置，有时不仅要知道系统是否稳定，还要知道它的阻尼有多大，也就是闭环极点距虚轴的距离，以便进行参数选择。在这一点上，伊文思（Evans）的根规迹法有其独到之处，这是一种根据开环零、极点寻求闭环极点位置的图解法，本节作一简单介绍。5-5根轨迹简介第五章控制系统的稳定性分析)(,)K(locusrootS轨迹。平面内变化的轨迹称根式的根在闭环系统特征方程从零到无穷变化时如开环增益开环系统某一参数一、根轨迹的概念C(s)R(s))15.0(SSK2k-1--1s2k-1-1s:02k2ss22ss2k)()((s))2(2)(.2122两闭环极点为系统的特征方程为该系统的闭环传函为图所示设有一单位反馈系统如例ksRsCsskSG第五章控制系统的稳定性分析.k,1-2kj-1s1/2k-1s1/2k,s2102s0s0k:01,2212121沿上述直线趋于无穷远时上位于垂直与实轴的直线实部相同时时均为负实数时相同闭环极点与开环极点时布的影响极点分到无穷变化对系统闭环从下面分析参数sskk-20KK2k-1--1s2k-1-1s210.5k0.5k0.5k0:,,:)K(k,:2.欠阻尼临界阻尼过阻尼动态性能数确定对应的静态误差系同时可以确定系统的型别根据坐标原点的根数稳态性能值，系统都是稳定的本例中对于任何即为临界增益与虚轴交点处的右半平面根轨迹若越过虚轴进入稳定性根轨迹与系统性能s有了系统的根轨迹，就可对系统性能进行分析)()()()((S)kkklfmhqn)()()()(KG(S)H(S))()(KH(S))()(KG(S)(S).31111HG111111H11GG(S)H(S)1G(S)jmjinijhjifiGjhjiqijljifijhjjljiqiifiZSKPSPSZSKPSPSZSZSPSZSPSZS则一般开环传函可以写成函为如图所示系统的闭环传点之间的关系闭环零极点与开环零极G(s)C(s)R(s)H(s).,:,(3),;(2).,;,(1):找出闭环极点方法通过图解的点的分布及根轨迹增益如何由已知的开环零极迹法的基本任务根轨益均有关开环极点以及根轨迹增闭环极点与开环零点零点闭环零点就是开环对于单位反馈系统的极点所组成函传馈通路路传递函数的零点和反闭环零点由开环前向通统根轨迹的增益环系就等于开闭环系统根轨迹的增益对于单位反馈系统增益根轨迹等于开环系统前向通道闭环系统根轨迹增益结论n1im1i1m121m21)p-(s-)z-(sG(s)H(s)||||K|G(s)H(s)|)2,1,0,(i360180G(s)H(s)1|G(s)H(s)|)())(()z-(s)z-)(sz-K(sG(s)H(s)-1G(s)H(s)0(s)H(s)1..4iiiniiinpszsipspspsG相角条件幅值条件的集合根轨迹是所有闭环极点根轨迹方程二、绘制根轨迹的基本规则)1,,1,0(12::).4(,(3).(2).(1)..1a11amnlmnlmnZPnimiii渐近线与实轴的交角渐近线与实轴的交点根轨迹的渐近线远点终止于开环零点或无穷根轨迹起始于开环极点根轨迹的起点与终点于实轴的曲线根轨迹是连续的且对称性根轨迹的连续性与对称程的阶数环极点数或等于特征方根轨迹的分支数等于闭根轨迹分支数常规根轨迹的绘制规则:G(S).)22)(4(1)K(S2解确定根轨迹的有关数据试根据目前所知的法则为设控制系统的开环传函例SSSS)2(300)1(180)0(6