第三章-线性弹性

聚合物流变学基础主讲人：孙立波计划学时：32联系方式：新理工楼[e-mail]主要参考书目：顾国芳，浦鸿汀。《聚合物流变学基础》吴其晔，巫静安。《高分子材料流变学》烟台大学化学化工学院烟台大学化学化工学院3.线性弹性虎克定律与弹性常数按照经典弹性理论，在极限应力范围内，各向同性的理想弹性固体的形变为瞬时间发生的可逆形变。形变量一般很小，形变时无能量损耗，应力与应变呈线性关系，服从虎克弹性定律。σ=cε烟台大学化学化工学院3.线性弹性虎克定律与弹性常数拉伸或者单轴压缩在拉伸实验中，材料受拉应力σ作用产生长度方向的应变ε，根据虎克定律：σ=EεE称为杨氏模量或者拉伸模量ε=DσD称为拉伸柔量，为E的倒数。ν=δ/εν称为泊松比，表征侧边变形。烟台大学化学化工学院3.线性弹性虎克定律与弹性常数各向同性压缩在各向同性压缩实验中，材料的应变为其体积的变化分数△V/V。所加应力用压力P表示，则：P=-K△V/VK称为体积模量。△V/V=-BPB称为体积柔量，为K的倒数。烟台大学化学化工学院3.线性弹性虎克定律与弹性常数简单剪切实验简单剪切实验中，材料发生切应变γ：σ=GγG称为剪切模量。γ=JσJ称为剪切柔量，为G的倒数。烟台大学化学化工学院3.线性弹性线性弹性变形的特点变形小在线性弹性变形中，只涉及聚合物分子中化学键的拉伸、键角的变化和键的旋转。其变形量很小，在变形时不涉及链段的运动和整个分子链的迁移。变形无时间依赖性弹性变形是瞬时发生的，它不随时间而变化。变形在外力移除后完全恢复弹性变形能够完全恢复，在外力移除后，变形瞬时恢复，无时间依赖性。烟台大学化学化工学院3.线性弹性线性弹性变形的特点无能量损失外力在变形时，转化为材料的内能储存起来，外力释放后，内能释放使材料完全恢复，在整个变形和恢复过程中无能量损失。应力与应变呈线性关系σ=cε烟台大学化学化工学院3.线性弹性弹性常数之间的关系应力与应变之间广义的线性关系应力与应变之间最广义的线性关系就是应力的每个张量分量与所有的应变张量之间都存在着线性关系。反过来同样成立：txx=a11exx+a12exy+a13exz+a21eyx+a22eyy+……εxx=a'11txx+a'12txy+a'13txz+a'21tyx+a'22tyy+……烟台大学化学化工学院3.线性弹性弹性常数之间的关系应力与应变之间广义的线性关系将应力与应变之间的线性关系与材料常数联系在一起，得到线弹性理论的基本方程：txx=2Gexx+[K-(2/3)G](exx+eyy+ezz)tyy=2Geyy+[K-(2/3)G](exx+eyy+ezz)tzz=2Gezz+[K-(2/3)G](exx+eyy+ezz)txy=Gexytyz=Geyztxz=Gexz烟台大学化学化工学院3.线性弹性弹性常数之间的关系简单实验中应力与应变之间的线性关系各向同性压缩txx=2Gε+[K-(2/3)G]3ε=3Kεtyy=tzz=txx=3Kεtxy=txz=tyz=0烟台大学化学化工学院3.线性弹性弹性常数之间的关系简单实验中应力与应变之间的线性关系简单剪切txy=tyx=Gγtxx=tyy=tzz=0烟台大学化学化工学院3.线性弹性弹性常数之间的关系简单实验中应力与应变之间的线性关系简单拉伸实验txx=[K+(4/3)G]ε-2[K-(2/3)G]δtyy=tzz=[K-(2/3)G]ε-2[K+(1/3)G]δtxy=txz=tyz=0弹性常数之间的关系E=9KG/(3K+G)ν=δ/ε=(3K-2G)/(6K+2G)烟台大学化学化工学院3.线性弹性弹性常数之间的关系任何一个弹性常数都可以通过其它两个弹性常数表示出来，四个弹性常数只有两个是独立的，表征一个材料的线弹性只需要两个常数就够了。烟台大学化学化工学院3.线性弹性弹性常数之间的关系E，G，K，ν四个弹性常数的数值有一定的限制。E，G，K，ν必须大于零。可以证明以下不等式：0ν0.52E/G3当0ν1/3时，EK；当0ν1/8时，GK当1/3ν1/2时，EK；当ν=0.5时，E=3G烟台大学化学化工学院3.线性弹性弹性常数之间的关系弹性常数的量纲应变没有量纲。因此，弹性常数的量纲与应力相同，即单位面积上的力。烟台大学化学化工学院3.线性弹性聚合物的弹性模量某些金属及合金的弹性常数烟台大学化学化工学院3.线性弹性聚合物的弹性模量某些材料的拉伸弹性模量（1051bf/in2）烟台大学化学化工学院3.线性弹性聚合物的弹性模量弹性模量谱聚合物与其它材料相比，很明显的特点就是它们的弹性模量范围很宽，因此用途广泛。玻璃态高聚物的弹性模量为103~105MPa数量级，如：酚醛塑料：E=104MPa酚醛塑料：E=1.4×105MPa聚氯乙烯（硬质）：E=4.9×103MPa烟台大学化学化工学院3.线性弹性聚合物的弹性模量弹性模量谱聚合物的弹性模量可相差3~4个数量级烟台大学化学化工学院3.线性弹性聚合物的弹性模量聚合物弹性模量与温度的关系无定型线型聚合物的拉伸模量与温度的关系在温度低于Tg时，聚合物处于玻璃态，其模量的数量级为103MPa。在玻璃化转变区，模量从103MPa降低到1MPa，变化了近1000倍。在Tg和Tf之间出现一个橡胶平台，数量级为100MPa。平台随温度升高略有下降。在Tf以上，模量急剧下降。烟台大学化学化工学院3.线性弹性聚合物的弹性模量聚合物弹性模量与温度的关系交联聚合物（橡胶）的拉伸模量与温度的关系与线型聚合物不同的是由于交联聚合物的交联结构，它不发生流动。温度超过其分解温度Td时，发生分解。在坪台区其拉伸模量为100MPa数量级，并随温度升高略有增大。烟台大学化学化工学院3.线性弹性聚合物的弹性模量聚合物弹性模量与温度的关系结晶性线型聚合物的拉伸模量与温度的关系与无定型线型聚合物不同的是其坪台区较宽，且坪台区的模量较高，这是由于微晶的存在起到交联的作用。烟台大学化学化工学院3.线性弹性聚合物的弹性模量模量的分子依赖性无定型线型聚合物的分子量越高，橡胶坪台区越宽，但坪台区的模量的数量级不因分子量的增大而变化，玻璃化温度也保持不变。烟台大学化学化工学院3.线性弹性聚合物的弹性模量交联度对拉伸模量的影响随着交联度的上升，橡胶坪台的模量上升，交联度上升至网状结构时，E几乎保持不变，直到超过分解温度时发生分解。同时玻璃化温度也随交联度提高而上升，玻璃化转变区加宽。烟台大学化学化工学院3.线性弹性聚合物的弹性模量结晶度对拉伸模量的影响橡胶坪台区升高，结晶起到交联作用，Tg不受结晶度的影响。烟台大学化学化工学院3.线性弹性线弹性的适用范围限定条件在变形很小时，我们要谈到的材料才适用于线弹性模型。非聚合物陶瓷、金属、结晶体适用于线弹性模型。聚合物交联聚合物由于分子的交联，它比其它种类的聚合物符合线弹性模型的条件范围要宽，即使在温度比玻璃化温度Tg高很多时仍符合线性弹性。但是在时间很长时出现粘弹性，应变很大时出现非线性弹性。低于玻璃化温度的玻璃态聚合物材料一般适用于线弹性模型。烟台大学化学化工学院3.线性弹性线弹性的适用范围聚合物线性或支链聚合物在温度比Tg高很多时，在各向同性压缩时符合线弹性，而在拉伸、剪切等其它情况下，会出现线性粘性、粘弹性等。另外几乎所有的聚合物在受到瞬间应力作用时都符合线弹性。瞬间的长短取决于材料的种类和材料的环境。烟台大学化学化工学院3.线性弹性线弹性变形的热力学分析产生dl的变形外力f所做的功：dW=-fdldl=l0dƐf=σAdW=-σAl0dƐ=-V0σdƐ外界对单位体积材料所做的功w：dw=dW/V0=-σdƐ=-EƐdƐ积分txx=-(1/V0)∂W/∂Ɛw=-(1/2)EƐ2烟台大学化学化工学院3.线性弹性线弹性变形的热力学分析体系的自由能：Z=H-TS=U+PV-TSdZ=dU+PdV+VdP-TdS-SdT=dQ-TdS+PdV+VdP-SdT-dW对于无限小的变化：可逆过程的dQ=TdSdZ=PdV+VdP-SdT-dW烟台大学化学化工学院3.线性弹性线弹性变形的热力学分析dW'=V0dw=-V0txxdƐdZ=PdV+VdP-SdT-dWdW=PdV+dW'dZ=VdP-SdT-dW'dZ=VdP-SdT+V0txxdƐ烟台大学化学化工学院3.线性弹性线弹性变形的热力学分析dZ=VdP-SdT+V0txxdƐ(∂Z/∂P)T,Ɛ=V(∂Z/∂T)P,Ɛ=-S(∂Z/∂Ɛ)P,T=V0txxtxx=(1/V0)(∂Z/∂Ɛ)P,T=(1/V0)[(∂U/∂Ɛ)P,T+P(∂V/∂Ɛ)P,T-T(∂S/∂Ɛ)P,T]烟台大学化学化工学院3.线性弹性线弹性变形的热力学分析txx=(1/V0)(∂Z/∂Ɛ)P,T=(1/V0)[(∂U/∂Ɛ)P,T+P(∂V/∂Ɛ)P,T-T(∂S/∂Ɛ)P,T]tUxx=(1/V0)(∂U/∂Ɛ)P,T通常很小，可忽略tSxx=-(T/V0)(∂S/∂Ɛ)P,T烟台大学化学化工学院3.线性弹性线弹性变形的热力学分析tSxx=-(T/V0)(∂S/∂Ɛ)P,T∂2Z/∂T∂Ɛ=-(∂S/∂Ɛ)P,T=V0(∂txx/∂T)P,ƐtSxx=-(T/V0)(∂S/∂Ɛ)P,T=T(∂txx/∂T)P,Ɛ通常很小，可忽略烟台大学化学化工学院3.线性弹性线弹性变形的热力学分析txx=(1/V0)(∂Z/∂Ɛ)P,T=(1/V0)[(∂U/∂Ɛ)P,T+P(∂V/∂Ɛ)P,T-T(∂S/∂Ɛ)P,T]txx=(1/V0)(∂Z/∂Ɛ)P,T=(1/V0)[(∂U/∂Ɛ)P,T]=tUxx线性弹性变形产生的弹性力主要是由于内能的变化，也即由于键角的改变、键的拉伸和旋转而引起的内能的变化而产生，而不是由于熵变产生的，因此线弹性又称为能弹性。烟台大学化学化工学院3.线性弹性弹性模量的测定基本原则在流变学中，虽然研究的是应力与应变的关系，但不是直接测定应力与应变。只有力和位移是可以直接测量的，实验结果是利用应力与应变的关系来确定材料的流变性能。因此，在设计和进行实验时，必须使实验尽可能接近简单实验，以便实验结果能加以准确的分析，否则情况会变得很复杂，使实验结果难以分析处理。试样的形状必须与在理论推导中的一致实验者必须了解材料的特性实验方法和仪器的选择决定于研究目的烟台大学化学化工学院3.线性弹性弹性模量的测定位移在实验中测量的材料的变形实际上是位移，如角度的变化、距离的变化、体积的变化等。传感器可以把位移转变成一种电信号，此电信号经放大后可以用各种电子仪器测量并记录下来。测微计和活动显微镜可以用来精确测量距离，精度可以达到10-3~10-4cm。线性可变示差变换器可以用来测量很微小的距离变化，由一个金属芯棒和中空线圈组成。当芯棒的位置发生微小变化时，线圈的电信号输出随之发生变化，用电子仪器可测量出距离的变化。烟台大学化学化工学院3.线性弹性弹性模量的测定位移在实验中测量的材料的变形实际上是位移，如角度的变化、距离的变化、体积的变化等。光杠杆光杠杆可以测量微小的角度变化。在连接试样的转子上安装一面小镜子，从一个固定的光源将光线投射到镜子上，在离镜子一定距离的地点用光电池等接收。这样即使试样发生很小的角度变化，在光电池上产生的位移却相当大。因此，可以精确测定角度变化。另外，角速度和线速度可以用一个装在转动部件上并置于磁铁两级间的线圈中产生的电流来检测。在某些仪器中，试样用夹具夹住，夹具以恒定速度分开，这时的位移可以简单的用速度和时间计算出来。烟台大学化学化工学院3.线性弹性弹性模量的测定力在测量力的时候，最直接而又最准确的测量力的方法是用已知质量的重物。已校正过的弹簧长度的变化，校正过的钢丝的扭曲角度是力的度量。力的测量就变为位移的测量，前面讨论的方法也就可用来测量力的大小烟台大学化学化