趋近律滑模

磁悬浮球系统的指数趋近律滑模控制摘要：磁悬浮球系统具有非线性、不稳定特性，本文将其模型在平衡点附近进行线性化处理，根据系统状态方程设计了指数趋近律滑模控制器，利用Lyapunov稳定理论对系统进行稳定性分析，并在磁悬浮球系统装置上进行实验研究。结果表明：采用指数趋近律滑模控制能使磁悬浮球以较小偏差平稳地悬浮在给定位置附近，且系统具有较好的跟踪特性。关键词：磁悬浮球系统；指数趋近律；滑模控制1引言磁浮球系统是一个单自由度、开环不稳定的非线性系统，系统中参数摄动和外界不确定干扰因素都会影响系统的性能。采用传统的PID控制时，虽然具有较好的稳定性，但由于固定的控制器参数，会使系统的控制性能受到限制。为了解决这个问题，人们引入了许多新的控制策略，如模糊控制[1]、模糊PID[2]、鲁棒控制[3,4]、预测控制[5]、滑模控制[6-9]等，将其应用于磁悬浮球系统中。滑模控制（SMC）无需精确的对象模型，具有响应速度快、对参数及外加干扰不灵敏、控制器实现简单等优点[10,11]。目前已经在电机与电力系统控制、机器人控制、飞行器控制及卫星姿态控制等领域得到了实际应用。滑模控制最显著的特性就是存在滑动模态，系统一旦进入滑动模态，其运动状态将保持在切换面或切换面的一个邻域上，同时对外界干扰具有较强的鲁棒性。本文将指数趋近律滑模控制用于磁悬浮球系统中，利用Lyapunov稳定理论对系统进行稳定性分析，并在磁悬浮球系统装置上进行实验研究。结果表明：采用指数趋近律滑模控制不仅能使磁悬浮球达到稳定悬浮状态，且系统有较好的跟踪特性。2系统的数学模型磁悬浮球系统的控制结构如图1所示。光源传感器功率放大电路计算机电磁铁钢球A/DD/Amgfxuxu图1磁悬浮球系统控制结构图中，m为钢球质量，g为重力加速度，x为钢球质心和电磁铁磁极之间的距离，f为电磁力，u为外部电路提供的控制电压，ux为钢球位置对应的传感器输出电压。忽略其他外界干扰因素的影响，在竖直方向上，小球受到电磁吸引力,Fix和自身重力mg的影响。通过对磁悬浮球系统进行机理分析，可建立如下数学模型：动力学方程22()()dxtmmgFi,xdt(1)电磁力学方程2)(),(xiKxiF(2)电学方程()()()ditUtRitLdt(3)式中，x为钢球质心和电磁铁磁极之间的距离，i为电磁线圈中的电流，m为钢球的质量，g为重力加速度。K为电磁力转换系数，R为电磁线圈的电阻，L为电磁线圈的电感。当钢球在0xx处稳定悬浮，电磁线圈中的电流0ii，钢球在平衡处的方程00(,)Fixmg(4)为了方便进行控制器设计，在平衡位置00(,)ix附近对系统进行线性化处理。对式(1)中的(,)Fix进行泰勒级数展开，忽略高次项并进行拉普拉斯变换得：2000()1()(2)XsIsigsix(5)实际控制中，控制量是功率放大器的输入电压，此时传感器的输出sU和功率放大器的输入电压u之间的关系为：2000ssa()()()()(2)KKUsGsUsigsix(6)上式中Ks、Ka分别是检测电路、功率放大器的增益。由式(6)可知，磁悬浮系统是一个二阶不稳定的对象。因此，必须结合控制器进行闭环控制，才能使被控钢球达到稳定悬浮状态。3、控制器设计针对二阶的单输入单输出系统122()()()(,)(,)()xtxtxtfxtgxtut(7)式中(,)fxt和(,)gxt为系统函数。给定系统的输入信号r，系统的输出位移为x1，定义系统的位置误差e1，误差变化率为e2112112erxeerxrx(8)定义滑模面函数如下：12,0sceec(9)式中c为常数对上式两边同时求取时间导数得1212()sceecrxrx(10)将式(7)代入式(10)得1(,)(,)()scerfxtgxtut(11)利用等效控制方法得到理想状态下的滑动模态控制率u(t)，即0s21()((,))(,)utrfxtcegxt(12)完整的滑模运动包含趋近运动和滑模运动两个部分。滑模控制的可达性条件只保证在状态空间内，任意位置的运动点在有限的时间内到达切换面，但是对趋近轨迹没有作任何限制。为了改善系统的动态品质，一般采用趋近律的方法来设计滑模控制器。常见的趋近律方法有等速趋近律、指数趋近律、幂次趋近律等。本文采用如下的指数趋近律方法设计滑模控制器sgn(),0ssks(13)式中sks是指数趋近项，k为趋近律，η是增益系数。在单纯的指数趋近律中，系统的运动点逼近切换面是一个渐近趋近过程，不能保证系统状态在有限时间内到达切换面，滑动模态也就不复存在。为了保证在有限时间内到达切换面，必须增加一个等速趋近项sgn()ss，当s接近于零时，而趋近速度η不等于零。为了同时能提高趋近效果并削弱“抖振”现象，必须保证增大趋近律k的同时减小增益系数η的值。结合式(11)和式(13)得21()[(,)sgn()](,)utrfxtcesksgxt(14)利用Lyapunov稳定性理论进行稳定性分析，将式(14)代入式(11)得sgn()ssks(15)则2||0sssks(16)满足稳定到达条件21d()02dst4实验研究文中提出的指数趋近律滑模控制方法在固高磁浮球装置中进行实验研究，磁浮球控制系统模型的搭建在Matlab/Simulink环境下完成。所用数据采集卡为研华PCI1711板卡，可在Simulink中通过模拟量输入输出模块的设置建立与板卡的连接，通过数据采集卡可连接计算机与磁悬浮装置。控制器采用C语言编写C_MEXS函数，通过实时控制(RTW)工具箱可完成C_MEXS函数编译并生成动态链接库(.dll)文件，修改动态链接库中的参数可改变系统的运行状态。在外部模式下完成RTW代码生成设置后，选择系统目标文件为rtwin.tlc，便可将控制系统模型编译为实时环境下运行的代码。实验时采样时间T=0.003s，负载是一个质量为0.022kg的钢球。由于磁浮球系统磁极面被定义成坐标零点，向下为负方向，给定输入信号的位移必须为负值，即输入信号r=0.2sin(2πt)-3。实时控制系统框图如图2所示，将其进行编译并连接成功后，就可点击运行对系统进行实时控制。控制系统实时输出曲线和误差跟踪曲线如图3和图4所示，控制器输出曲线如图5所示。由图可知，钢球在1s内达到稳定悬浮状态，并以较小偏差平稳地悬浮在给定位置附近，没有较大波动现象，系统跟踪特性较好。图2磁浮球系统滑模控制结构图Fig.2Structurediagramofslidingmodecontrolofmagneticlevitationsystem图3磁浮球系统实时控制输出曲线Fig.3Real-timecontrolofmagneticlevitationsystemoutputcurve图4磁浮球系统误差跟踪曲线Fig.4Magneticlevitationsystemerrortrackingcurve图5滑模控制器实时输出曲线Fig.5Slidingmodecontrollerforreal-timeoutputcurve由图可知，钢球在1s内达到稳定悬浮状态，并以较小偏差平稳地悬浮在给定位置附近，没有较大波动现象，系统跟踪特性较好。5结束磁悬浮球系统具有非线性和不稳定性。滑模变结构控制设计方法简单、算法易实现。本文根据滑模变结构控制原理，结合指数趋近律的方法设计出滑模控制器，利用Lyapunov稳定理论对系统进行稳定性分析，并在磁悬浮装置上进行实验研究。结果表明滑模控制方法可以使被控钢球在较短时间内快速、稳定地达到悬浮状态，并且系统具有较好的跟踪性能。参考文献1、彭辉,徐锦华,侯海良.模糊控制在磁悬浮球系统实时控制中的应用[J].控制工程,2009,3:278-281.2、MaJ,FanWJ,HeFH.Parametersself-adjustingfuzzyPIDcontrolinmagneticlevitationsystem[C].2ndInternationalSymposiumonSystemsandControlinAerospaceandAstronautics,2008,1:1-5.3、徐龙祥,张金淼,余同正.H∞控制理论在磁悬浮轴承系统中的应用研究[J].中国机械工程,2006,17(10):1060-1064.4、王建，霍春宝等.磁悬浮系统的鲁棒切换控制方法.系统仿真学报[J]，2007,19(8)：1785-1788.5、曾启.基于RBF-ARX模型的非线性系统建模和预测控制在磁悬浮系统中的应用[D].长沙:中南大学,20116、LinFJ,TengLT,ShiehPH.IntelligentSliding-ModeControlUsingRBFNforMagneticLevitationSystem[J].IEEETransactionsonIndustrialElectronics,2007,54(3):1752-1762.7、石海燕,刘春生,谢莉莉.模糊滑模控制在磁悬浮球系统中的应用[J].航空兵器,2008,5:25-29.8、张井岗,方线伟,赵志诚.磁悬浮球系统的分数阶滑模控制[J].南京理工大学学报,2014,38（1）:72-77.9、高勇,张井岗.磁悬浮系统的反推滑模控制[J].太原科技大学学报,2012,33（2）:83-87.10、王丰尧.滑模变结构控制.北京：机械工业出版社，1995.11、刘金琨.滑模变结构控制MATLAB仿真[M].北京:清华大学出版社,2005