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第9章时间序列分析9.1时间序列的基本概念9.1.1时间序列9.1.2时间序列的数字特征1．均值函数9.1.3平稳和非平稳的时间序列1．平稳时间序列所谓时间序列的平稳性，是指时间序列的统计特征不会随着时间的推移而发生变化。也就是说，生成变量时间序列数据的随机过程的特征不随时间变化而变化。2．非平稳时间序列所谓时间序列的非平稳性，是指时间序列的统计规律（或特征）随着时间的位移而发生变化。只要弱平稳的三个条件不全满足，则该时间序列是非平稳的。(1)随机游走（randomwalk）序列9.2时间序列的平稳性检验9.2.1利用散点图进行平稳性判断首先画出该时间序列的散点图，然后直观判断散点图是否为一条围绕其平均值上下波动的曲线，如果是的话，则该时间序列是一个平稳时间序列；如果不是的话，则该时间序列是一个非平稳时间序列。图9.2.1平稳时间序列与非平稳时间序列散点图9.2.2利用样本自相关函数进行平稳性判断不同的时间序列具有不同形式的自相关函数。于是可以从时间序列的自相关函数的形状分析中，来判断时间序列的稳定性，但是，自相关函数是纯理论性的，对它所刻划的随机过程，我们通常只有有限个观测值。因此，在实际应用中，就采用样本自相关函数来判断时间序列是否为平稳过程。图9.2.2平稳时间序列与非平稳时间序列样本相关图例9.2.1检验中国1978-2003年间支出法GDP时间序列（表9.2.1）的平稳性。表9.2.11978-2003年中国GDP（单位：亿元）年份GDP（亿元）年份GDP（亿元）19783624.1199121617.819794038.2199226638.119804517.8199334634.419814862.4199446759.419825294.7199558478.119835934.5199667884.619847171.0199774462.619858964.4199878345.2198610202.2199982067.5198711962.5200089468.1198814928.3200197314.8198916909.22002105172.3199018547.92003117251.91978-2003年中国GDP时间序列图9.2.3表现了一个持续上升的过程，即在不同的时间段上，其均值是不同的，因此可初步判断是非平稳的。而且从它们的样本自相关系数的变化看，也是缓慢下降的，再次表明它们的非平稳性。这样，我们得出地结论是1978-2003年间中国GDP时间序列是非平稳序列。图9.2.31978-2003年中国GDP时间序列及其样本自相关图图9.2.41978-2003年中国GDP时间序列样本自相关图9.2.3平稳性的单位根检验1．单位根例9.2.2DF检验法检验中国1978-2003年间GDP时间序列（表9.2.1）的平稳性。用表9.2.1中的GDP时间序列数据，估计与式(9.2.8)、式(9.2.9)和式(9.2.10)相对应的方程。利用EViews软件，建立工作文件，输入样本数据，在命令窗口输入命令：LSD（GDP）GDP（-1）LSD（GDP）CGDP（-1）LSD（GDP）C@TREND(1978)GDP（-1）其估计结果见表9.2.2、表9.2.3、表9.2.4。表9.2.2回归结果表9.2.2估计结果为：表9.2.3回归结果表9.2.4回归结果3．ADF检验（AugmentedDickey-FullerTest）ADF检验是通过下面三个模型完成的：实际检验时从模型(3)开始，然后模型(2)，模型(1)。何时检验拒绝零假设，即原序列不存在单位根，为平稳序列，何时停止检验。否则，就要继续检验，直到检验完模型(1)为止。检验原理与DF检验相同，只是对模型(1)(2)(3)进行检验时，有各自相应的临界值表。附表7给出了三个模型所使用的ADF分布临界值表。稳的。当三个模型的检验结果都不能拒绝零假设时，则认为时间序列是非平稳的。这里所谓模型适当的形式就是在每个模型中选取适当的滞后差分项，以使模型的残差项是一个白噪声(主要保证不存在自相关)。例9.2.3ADF检验法检验中国1978-2003年间GDP时间序列（表9.2.1）的平稳性。在工作文件窗口，打开序列GDP，在序列GDP页面点击左上方的View键并选择UnitRootTest，经过尝试，模型（3）选取了2阶滞后，检验结果如表9.2.5所示。表9.2.5单位根检验结果拒绝GDP时间序列存在单位根原假设。需要进一步检验模型（2）。经试验，模型（2）选取了2阶滞后，检验结果如表9.2.6所示。表9.2.6单位根检验结果由表9.2.6可得：模型通过整体显著性检验，也不存在自相关。从回归结果看，ADF=2.381114，分别大于显著性水平为10%、5%和1%的临界值，因此，不能拒绝GDP时间序列存在单位根原假设。至此，可断定中国GDP时间序列是非平稳的。对于EViews5.1而言，在工作文件窗口中双击序列，从而打开数据窗口。点击View键，选择UnitRootTest功能，EViews5.1会弹出一个单位根检验对话框（如图9.2.5），共有4个选择区：①Testtype：包括6种检验方法，默认选择是ADF检验。②Testforunitrootin：默认选择是对原序列(Level)做单位根检验。③Includeintestequation：默认选择是检验式中只包括截距项。其他两种选择是检验式中包括趋势项和截距项，检验式中不包括趋势项和截距项。④Laglength：自动选择包括6种选择标准，也可以在最大滞后期(Maximumlag)选择区自己设定。图9.2.5可以选择加入常数项和时间趋势项。进行Phillips-Perron检验，需要遵循与ADF检验相同的步骤：打开序列窗口，点击工具栏中的View键，选择UnitRootTest(单位根检验)功能，填写对话框。例9.2.4Phillips-Perron检验法检验中国1978-2003年间GDP时间序列（表9.2.1）的平稳性。4．Phillips-Perron检验9.2.4单整如果一个序列不管差分多少次，也不能变为平稳序列，这种序列称为非单整的（nonintegrated）。例9.2.5检验例9.2.1中国GDP时间序列的单整性。经试验，模型（1）选取了3阶滞后，单整检验结果如表9.2.8所示。表9.2.8单整检验结果9.3ARIMA模型9.3.1自回归模型AR(p)1阶自回归模型：1．自回归模型的平稳条件如果一个p阶自回归模型生成的时间序列是平稳的，就说该AR(p)模型是平稳的，否则就说AR(p)模型是非平稳的。(1)一阶自回归模型对于一阶自回归模型(9.3.1)有例9.3.1根据表9.3.1给出的样本调查数据，建立AR(p)模型。表9.3.1样本数据日期t样本y日期t样本y1-0.058130.06820.058140.59530.72915-0.21740.28016-1.02351.02717-0.22660.67018-0.26170.559190.3788-0.48220-0.1289-1.46221-1.00310-2.039221.19711-1.306232.064120.037表9.3.2样本偏自相关函数再次，估计AR(1)模型。直接用EViews软件计算。在工作文件主窗口，点击Quick／EstimateEquation在EquationSpecification对话框中填入：yAR(1)(或填入：yy(-1))得到估计结果如表9.3.3（或表9.3.4）所示。表9.3.3回归结果表9.3.4回归结果9.3.2移动平均模型MA(q)1．移动平均模型及其可转换条件2．移动平均模型阶数的确定(1)自相关函数为了讨论方便，我们先研究MA(1)过程例9.3.2根据样本调查资料（表9.3.1），建立MA(q)模型。再次，估计MA(1)模型。用EViews软件计算：在工作文件主窗口，点击Quick／EstimateEquation在EquationSpecification对话框中填入：yma(1)得到估计结果如表9.3.5所示。表9.3.5回归结果9.3.3自回归移动平均模型ARMA(p,q)1．自回归移动平均模型最简单的自回归移动平均模型是ARMA(1,1)，其具体形式为显然，ARMA(0，q)=MA(q)，ARMA(p，0)=AR(p)，因此，MA(q)和AR(p)可以分别看作ARMA(p，q)，当p=0和q=0时的特例。2．ARMA模型阶数的确定需要说明的是，在上述模型的平稳性、识别与估计的讨论中，ARMA(p，q)模型中均未包括常数项。如果包括常数项，该常数项并不影响模型的原有性质，因为通过适当变形，可将包括常数项的模型转换为不包括常数项的模型。对包含常数项的模型例9.3.3根据样本调查资料（表9.3.1），建立ARMA(p,q)模型。以表9.3.1样本数据为例，在样本数据窗口，点击View／Correlogram然后在对话框中选择滞后期数，我们这里选取12，再点击“OK”得到自相关系数和偏自相关系数及其图形，如表9.3.2所示。由表9.3.2可以看出p=1和q=1，即样本数据具有ARMA(1，1)模型过程。在工作文件主窗口点击Quick／EstimateEquation在EquationSpecification对话框中填入yar(1)ma(1)(或者填入yy(-1)ma(1))便得到模型ARMA(1，1)的估计结果，如表9.3.6(或表9.3.7)所示。表9.3.6回归结果表9.3.7回归结果回归方程的残差序列基本上也是一个0均值的平稳序列。从表9.3.1的回归方程残差序列的相关系数可以看出不存在序列相关。表9.3.8残差序列的相关系数9.3.3单整自回归移动平均模型ARIMA(p,d,q)1．ARIMA模型的形式为MA(q)模型，而当p=0,d=0,q=0时，式(9.3.51)为白噪声过程。因此，ARMA(p，q)、AR(p)、MA(q)和白噪声过程可以分别看作是ARIMA(p，d，q)模型的特例。估计ARIMA(p，d，q)模型同估计ARMA(p，q)具体的步骤相同，惟一不同的是在估计之前要确定原序列的差分阶数d，对yt进行d阶差分。2．应用ARMA(p，q)模型建模的过程博克斯——詹金斯提出了具有广泛影响的建模思想，能够对实际建模起到指导作用。博克斯——詹金斯建模思想可分为如下4个步骤：(1)对原序列进行平稳性检验，如果序列不满足平稳性条件，可以通过差分变换(单整阶数为d，则进行d阶差分)或者其他变换，如对数差分变换使序列满足平稳性条件；(2)通过计算能够描述序列特征的一些统计量(如自相关系数和偏自相关系数)，来确定ARMA模型的阶数p和q，并在初始估计中选择尽可能少的参数；(3)估计模型的未知参数，并检验参数的显著性，以及模型本身的合理性；(4)进行诊断分析，以证实所得模型确实与所观察到的数据特征相符。对于博克斯——詹金斯建模思想的第3、4步，需要一些统计量和检验来分析在第2步中的模型形式选择得是否合适，所需要的统计量和检验如下：(1)检验模型参数显著性水平的t统计量；(2)为保证ARIMA(p，d，q)模型的平稳性，模型的特征根的倒数皆小于1；(3)模型的残差序列应当是一个白噪声序列，可用前面介绍的检验序列相关的方法检验。例9.3.4建立中国GDP的ARIMA模型表9.2.1为中国1978-2003年GDP按支出法计算的统计数据，用ADF单位根检验得到结论：GDP序列是1阶单整序列，即GDP～I(1)。首先观察△GDP序列的自相关系数和偏自相关系数(表9.3.9)。表9.3.9△GDP序列的自相关系数和偏自相关系数△GDP序列的自相关系数在2阶截尾，偏自相关系数在1阶截尾，则取模型的阶数p=1和q=2，建立ARIMA(1，1，2)模型。下面利用EViews5.1软件建模。在工作文件命令窗口，生成GDP的1阶差分序列：genry=d(gdp)(即y=△G