计量经济学第三章多元线性回归

第三章多元线性回归模型§3.1多元线性回归模型§3.2多元线性回归模型的参数估计§3.3多元线性回归模型的统计检验§3.4多元线性回归模型的预测§3.5可线性化的多元非线性回归模型§3.6受约束回归§3.1多元线性回归模型一、模型形式二、基本假定一、模型形式注意：（1）解释变量X的个数：k回归系数j的个数：k＋1（2）j：偏回归系数，表示了Xj对Y的净影响（3）X的第一个下标j区分变量（j＝1，2，……，k）第二个下标i区分观测（i＝1，2，……n）1,2,,in011220100...(1)iiikkiikjjiijkjjiijYXXXXXX总体回归函数（PRF）kikiikiiiiXXXXXXYE2211021),,|(样本回归函数（SRF）kikiiiiXXXYˆˆˆˆˆ22110样本回归模型（SRM）ikikiiiieXXXYˆˆˆˆ22110其中：ei称为残差(residuals)，可看成是随机误差项i的近似替代。μXβY)1(212221212111111knknnnkkXXXXXXXXXX1)1(210kkβ121nnμ1321nnYYYYY2、于是，总体回归模型可以表示为：总体回归模型的矩阵表示1、总体回归模型表示了n个随机方程，引入如下矩阵记号：1231ˆˆˆˆˆnnYYYYY2、于是，样本回归模型和函数可以表示为：kˆˆˆˆ10βneee21eβXYˆˆeβXYˆ样本回归模型和函数的矩阵表示1、同理，采用如下矩阵记号：二、多元线性回归模型的基本假设►假设1：解释变量是非随机的或固定的，且各X之间互不相关（无多重共线性）。►假设2：随机误差项具有零均值、同方差和无序列相关性：E(i)=0Var(i)=2i=1,2,…,NCov(i,j)=0i≠ji,j=1,2,…,N►假设3：随机误差项与解释变量X之间不相关：Cov(Xji,i)=0i=1,2,…,N►假设4：服从零均值、同方差、零协方差的正态分布i~N(0,2)i=1,2,…,N基本假设的矩阵表示假设1:n(k+1)矩阵X是非随机的，且X的秩=k+1，即X列满秩。假设2:nnEE11)(μμ21121nnnEI22211100)var(),cov(),cov()var(nnn假设4:向量有一多维正态分布，即),(~2I0μN暗含假设假设5：样本容量趋于无穷时，各解释变量的方差趋于有界常数，即n∞时，假设6：回归模型是正确设定的jjjijiQXXnxn22)(11或Qxxn1其中：Q为一非奇异固定矩阵，矩阵x是由各解释变量的离差为元素组成的nk阶矩阵knnkxxxx1111x§3.2多元线性回归模型的参数估计一、普通最小二乘估计二、参数估计量的性质三、样本容量问题参数估计的任务和方法1、估计目标：回归系数βj、随机误差项方差б22、估计方法：OLS、ML或者MM*OLS：普通最小二乘估计*ML：最大似然估计*MM：矩估计一、普通最小二乘估计•基本思想：残差平方和最小•基于取得最小值的条件获得系数估计）残差平方和：2112)ˆ(niiiniiYYeQ2122110))ˆˆˆˆ((nikikiiiXXXY取得最小值的条件：0ˆ0ˆ0ˆ0ˆ210QQQQk正规方程组：kiikikikiiiiikikiiiiiikikiiikikiiXYXXXXXYXXXXXYXXXXYXXX)ˆˆˆˆ()ˆˆˆˆ()ˆˆˆˆ()ˆˆˆˆ(221102222110112211022110解此（k＋1）个方程组成的正规方程组，即可求得（k+1)个未知参数βj的估计。最小二乘估计的矩阵表示1、正规方程组的矩阵形式nknkknkkiikikikiiiikiiYYYXXXXXXXXXXXXXXXXn212111211102112111111ˆˆˆYXβX)X(ˆ2、由于X’X满秩(其逆矩阵存在），故有YXXXβ1)(ˆ＃OLSE的矩阵估计过程0)ˆ()ˆ(ˆβXYβXYβ0)ˆˆˆˆ(ˆβXXββXYYXβYYβ0)ˆˆˆ2(ˆβXXββXYYYβ0ˆβXXYXYXXXβ1)(ˆβXXYXˆ对称阵）为（nn(2)()(),,(;),,()2121BBBAAaaaAABABnn矩阵有关定理残差平方和的矩阵表示为：2ˆˆ()()iQeeeYXYX#参数估计的实例例3.2.1：在例2.1.1的家庭收入-消费支出例中，53650000215002150010111111)(22121iiinnXXXnXXXXXXXX'39468400156741112121iiinnYXYYYYXXXYX0735.10003.00003.07226.0)(1EXX7770.0172.10339648400156740735.10003.00003.07226.0ˆˆˆ21Eβ误差方差2的估计1、基于OLS下，随机误差项的方差的无偏估计量为注意：分母的形式：n-k-1=n-(k+1)。k：解释变量X的个数；k+1：回归系数的个数2、称为估计标准误或者回归标准误（S.Eofregression）2ˆˆ11ˆ22knkneiee'(1)eenk*最大似然估计*（MaximumLikelihoodEstimate）1、基本原理：样本观测值出现的概率最大。2、似然函数：)ˆ()ˆ(21))ˆˆˆˆ((212122222211022)2(1)2(1),,,(),ˆ(βXYβXYβeeYYYPLnXXXYnnnkikiiin),(~2βXiNYi3、最大似然估计MLE：YXXXβ1)(ˆ参数的MLE与参数的OLSE相同*矩估计*（MomentMethod，MM）1、OLS估计是通过得到一个关于参数估计值的正规方程组YXβX)X(ˆ并对它进行求解而完成的。2、该正规方程组可以从另外一种思路来导出:μXβYμXXβXYXμXXβ(YX)两侧求期望:0XβYX)((E矩条件*矩条件和矩估计量*0)ˆ1βX(YXn3、由此得到正规方程组：YX'βXX'ˆ解此正规方程组即得参数的MM估计量。1、0XβYX)((E称为原总体回归方程的一组矩条件，表明了原总体回归方程所具有的内在特征。2、如果随机抽出原总体的一个样本，估计出的样本回归方程：能够近似代表总体回归方程的话，则应成立：ˆˆYXMM估计量与OLS、ML估计量等价。*关于矩估计*矩方法是工具变量方法(InstrumentalVariables,IV)和广义矩估计方法(GeneralizedMomentMethod,GMM)的基础•在矩方法中关键是利用了：E(X’)=0•如果某个解释变量与随机项相关，只要能找到1个工具变量，仍然可以构成一组矩条件。这就是IV。•如果存在＞k+1个变量与随机项不相关，可以构成一组包含＞k+1方程的矩条件。这就是GMM。•OLS只是GMM的一个特例二、最小二乘估计量的性质高斯—马尔可夫定理(Gauss-Markovtheorem):在给定经典线性回归的假定下，最小二乘估计量是具有最小方差的线性无偏估计量，即最佳线性无偏估计量（BLUE）。1、线性：CYYXXXβ1)(ˆ其中,C=(X’X)-1X’为一仅与固定的X有关的行向量2、无偏性:βμXXXβμXβXXXYXXXβ11)()())()(())(()ˆ(1EEEE这里利用了假设:E(X’)=03、有效性:其中利用了:YXXXβ1)(ˆμXXXβμXβXXX11)()()(Iμμ2)(E参数估计量的概率分布1、由参数估计量的上述性质和基本假设，易知：))(,(ˆ12XXN•线性性＋基本假设→正态分布•无偏性→期望为β•有效性的证明→方差表达式2jˆ(,)jjjNc2、记C=(X’X)-1的第j个主对角元素为Cjj（j=0,1,…,k)，则：三、样本容量问题•最小样本容量•满足基本要求的样本容量1、最小样本容量所谓“最小样本容量”，即从最小二乘原理和最大或然原理出发，欲得到参数估计量，不管其质量如何，所要求的样本容量的下限。样本最小容量必须不少于模型中解释变量的数目（包括常数项）,即：nk+1因为，无多重共线性要求：秩(X)=k+12、基本样本容量•从统计检验的角度：n30时，Z检验才能应用；n-k8时,t分布较为稳定•一般经验认为:当n30或者至少n3(k+1)时，才能说满足模型估计的基本要求。•模型的良好性质只有在大样本下才能得到理论上的证明§3.3多元线性回归模型的统计检验一、拟合优度检验二、方程显著性检验三、变量显著性检验一、拟合优度检验•目的：测定样本回归函数对样本观测值的拟合紧密程度•指标：R2、Adj(R2)可决系数R2(coefficientofdetermination)TSSRSSTSSESSR120R21，该统计量越接近于1，模型的拟合优度越高。1、定义：2、问题：•在模型中增加一个解释变量，R2往往增大•但是：增加解释变量个数往往得不偿失，不重要的变量不应引入。•增加解释变量使得估计参数增加，从而自由度减小。如果引入的变量对减少残差平方和的作用很小，这将导致误差方差σ2的增大，引起模型精度的降低。•因此：R2需调整。调整的可决系数Adj(R2)（adjustedcoefficientofdetermination）1、调整思路:将残差平方和与总离差平方和分别除以各自的自由度，以剔除变量个数对拟合优度的影响。)1/()1/(12nTSSknRSSR2、自由度：统计量可自由变化的样本观测值的个数，记为dfTSS：df＝n－1ESS：df＝kRSS：df＝n－k－1注意：df（TSS)=df(ESS)+df(RSS)3、定义：#Adj(R2)的作用1、消除拟合优度评价中解释变量的多少对拟合优度的影响2、对于因变量Y相同，而自变量X个数不同的模型，不能用R2直接比较拟合优度，而应使用Adj（R2）。3、可以通过Adj（R2）的增加变化，决定是否引入一个新的解释变量。11)1(122