成都外国语学校高2017级高三上12月数学月考试卷(文科)

高三数学文科第1页（共10页）成都外国语学校19-20学年度上期高2017级12月月考数学试题(文)出题人：刘丹审题人：朱世衡考试时间：120分钟满分150分一、选择题（共12小题；共60分）1.已知集合𝑀={𝑥∣∣ 𝑥12,𝑥∈𝐑}，集合𝑁={𝑥∣ 𝑥≥−4,𝑥∈𝐑}，则𝑀∩𝑁=(  )A.{𝑥∣∣ 𝑥≤12}B.{𝑥∣∣ −4≤𝑥12}C.𝐑D.∅2.在复平面内，复数𝑧所对应的点𝐴的坐标为(3,4)，则∣𝑧∣𝑧=(  )A.45−35iB.45+35iC.35−45iD.35+45i3.等比数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，若𝑎1+𝑎2+𝑎3=3，𝑎4+𝑎5+𝑎6=6，则𝑆12=(  )A.15B.30C.45D.604.有一批种子，对于一颗种子来说，它可能1天发芽，也可能2天发芽，⋯⋯，如表是不同发芽天数的种子数的记录：发芽天数1234567≥8种子数826222412420统计每颗种子发芽天数得到一组数据，则这组数据的中位数是(  )A.2B.3C.3.5D.45.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如右图的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入的𝑥=2，𝑛=2，则输出的𝑆=(  )A.8B.10C.12D.226.已知条件𝑝:∣𝑥+1∣2，条件𝑞:∣𝑥∣𝑎，且𝑞是𝑝的必要不充分条件，则实数𝑎的取值范围是(  )A.0≤𝑎≤1B.1≤𝑎≤3C.𝑎≤1D.𝑎≥37.将函数𝑦=√2sin(2𝑥+π4)的图象向右平移π12个单位后，所得图象对应的函数解析式为(  )A.𝑦=√2sin(2𝑥−5π12)B.𝑦=√2sin(2𝑥+5π12)C.𝑦=√2sin(2𝑥−π12)D.𝑦=√2sin(2𝑥+π12)高三数学文科第2页（共10页）8.某几何体的三视图如右图所示，其侧视图为等边三角形，则该几何体的体积为(  )A.√3π6+2√3B.π3+4C.√3π12+2√3D.2π3+49.已知实数𝑎，𝑏满足不等式𝑎2+(𝑏−1)2≤1，则点𝐴(1,−1)与点𝐵(−1,−1)在直线𝑎𝑥+𝑏𝑦+1=0的两侧的概率为(  )A.34B.23C.12D.1310.正项数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，且2𝑆𝑛=𝑎𝑛2+𝑎𝑛(𝑛∈𝐍∗)，设𝑐𝑛=(−1)𝑛2𝑎𝑛+12𝑆𝑛，则数列{𝑐𝑛}的前2020项的和为(  )A.−20192020B.−20202019C.−20202021D.−2021202011.设函数𝑓(𝑥)满足e()2()xxfxfxx+=，𝑓(2)=e24，则𝑥0时𝑓(𝑥)(  )A.有极大值，无极小值B.有极小值，无极大值C.既有极大值又有极小值D.既无极大值也无极小值12.已知定义在𝐑上的函数𝑦=𝑓(𝑥)对任意的𝑥都满足𝑓(𝑥+2)=𝑓(𝑥)，当−1≤𝑥1时，𝑓(𝑥)=𝑥3，若函数𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)−log𝑎∣𝑥∣（𝑎0，且𝑎≠1）至少有6个零点，则𝑎的取值范围是(  )A.(0,15]∪(5,+∞)B.(0,15)∪(5,+∞)C.(17,15]∪(5,7]D.(17,15)∪[5,7)二、填空题（共4小题；共20分）13.已知tan(π+𝛼)=2，则sin2𝛼=．14.向量𝑎⃗，𝑏⃗⃗满足∣∣𝑎⃗∣∣=2，∣∣𝑏⃗⃗∣∣=1，且∣∣𝑎⃗−2𝑏⃗⃗∣∣∈(2,2√3]，则𝑎⃗，𝑏⃗⃗的夹角𝜃的取值范围是．15.设实数𝑥，𝑦满足{2≤𝑥≤3,1≤𝑦≤2,𝑥+𝑦≤4,则𝑦𝑥−1的最大值为．16.在平面直角坐标系xOy中，过点(0,1)的直线l与双曲线3x2-y2=1交于两点A，B.若△OAB是直角三角形，则直线l的斜率为．高三数学文科第3页（共10页）三、解答题（共6小题；共70分）17.在△𝐴𝐵𝐶中，角𝐴，𝐵，𝐶所对的边分别为𝑎，𝑏，𝑐，𝑏cos𝐶=𝑎cos2𝐵+𝑏cos𝐴cos𝐵．（1）求证：△𝐴𝐵𝐶是等腰三角形；（2）若cos𝐴=78，且△𝐴𝐵𝐶的周长为5，求△𝐴𝐵𝐶的面积．18.某中学利用周末组织教职员工进行了一次秋季登山健身的活动，有𝑁个人参加，现将所有参加者按年龄情况分为[20,25)，[25,30)，[30,35)，[35,40)，[40,45)，[45,50)，[50,55)等七组，其频率分布直方图如图所示，已知[25,30)这组的参加者是6人．（1）根据此频率分布直方图求𝑁；（2）已知[35,40)和[40,45)这两组各有2名数学教师，现从这两个组中各选取2人担任接待工作，设两组的选择互不影响，求两组选出的人中恰有1名数学老师的概率．19.在如图所示的几何体中，△𝐴𝐵𝐶是边长为2的正三角形，𝐴𝐸1，𝐴𝐸⊥平面𝐴𝐵𝐶，平面𝐵𝐶𝐷⊥平面𝐴𝐵𝐶，𝐵𝐷=𝐶𝐷，且𝐵𝐷⊥𝐶𝐷．（1）若𝐴𝐸=2，求证：𝐴𝐶∥平面𝐵𝐷𝐸；（2）若B到DE的距离是√72，求该几何体的体积．CBEDA高三数学文科第4页（共10页）20.已知椭圆𝐶:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2(𝑎𝑏0)的左顶点为𝐴，上顶点为𝐵，右焦点为𝐹，离心率为√22，△𝐴𝐵𝐹的面积为√2+1．（1）求椭圆𝐶的方程；（2）若𝑀，𝑁为𝑦轴上的两个动点，且𝑀𝐹⊥𝑁𝐹，直线𝐴𝑀和𝐴𝑁分别与椭圆𝐶交于𝐸，𝐷两点．若O是坐标原点，求证：𝐸、𝑂、𝐷三点共线。21.已知称函数()fx是“有趣的”，如果其满足1()()fxfx=且x=1是它的零点。例如1()lnlngxxx=就是“有趣的”。已知2()ln()ln()hxxcbx=+−是“有趣的”。（1）求出b、c并判断函数()hx的单调性；（2）若对于任意正数x，都有()()0hxkgx+恒成立，求参数k的取值范围。请考生在22,23题中任选择一题作答，并在答题卡上把所选题目后的方框涂黑。22.在平面直角坐标系下，直线𝑙:{𝑥=1+√22𝑡,𝑦=√22𝑡（𝑡为参数），以原点𝑂为极点，以𝑥轴的非负半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线𝐶的极坐标方程为𝜌−4cos𝜃=0．（1）写出直线𝑙的普通方程和曲线𝐶的直角坐标方程；（2）若直线𝑙与曲线𝐶交于𝐴，𝐵两点，求∣𝐴𝐵∣的值．23.已知函数𝑓(𝑥)=∣𝑥∣（𝑥∈𝐑）．（1）求不等式𝑓(𝑥−1)+𝑓(𝑥+1)≤4的解集𝑀；（2）若𝑎,𝑏∈𝑀，证明2𝑓(𝑎+𝑏)≤𝑓(𝑎𝑏)+4．高三数学文科第5页（共10页）答案选择题1.B2.C【解析】𝑧=3+4i，所以∣𝑧∣=√32+42=5，所以∣𝑧∣𝑧=53+4i=5(3−4i)(3+4i)(3−4i)=35−45i．3.C4.B5.D【解析】模拟程序的运行，可得𝑥=2，𝑛=2，𝑘=0，𝑆=0，𝑎=2，𝑆=2，𝑘=1，不满足条件𝑘2，执行循环体，𝑎=4，𝑆=8，𝑘=2，不满足条件𝑘2，执行循环体，𝑎=6，𝑆=22，𝑘=3，此时，满足条件𝑘2，退出循环，输出𝑆的值为22．6.C【解析】𝑝:∣𝑥+1∣2⇒𝑥1或𝑥−3，当𝑎≥0时，𝑞:∣𝑥∣𝑎⇒𝑥𝑎或𝑥−𝑎，当𝑎0时，𝑞:∣𝑥∣𝑎⇒𝑥∈𝐑，因为¬𝑝是¬𝑞的必要不充分条件，所以𝑞是𝑝的必要不充分条件，因此𝑝⫋𝑞．从而𝑎0或{𝑎≥0,𝑎≤1,−𝑎≥−3⇒0≤𝑎≤1，即𝑎≤1．7.D8.A【解析】由已知中的三视图可得，该几何体由一个半圆锥和一个三棱柱组合而成，如图，其中半圆锥的底面半径为1，三棱柱的底面是一个边长为2的正方形，它们的高分别为：√3，2，则该几何体的体积𝑉=13×12×π×√3+√34×22×2=√3π6+2√3．9.C【解析】若点𝐴(1,−1)与点𝐵(−1,−1)在直线𝑎𝑥+𝑏𝑦+1=0的两侧，则(𝑎−𝑏+1)(−𝑎−𝑏+1)0，即(𝑎−𝑏+1)(𝑎+𝑏−1)0，又实数𝑎，𝑏满足不等式𝑎2+(𝑏−1)2≤1，作出图象如图：由图可知，点𝐴(1,−1)与点𝐵(−1,−1)在直线𝑎𝑥+𝑏𝑦+1=0的两侧的概率为12．10.C【解析】因为2𝑆𝑛=𝑎𝑛2+𝑎𝑛(𝑛∈𝐍∗)，𝑎𝑛0，所以当𝑛=1时，2𝑎1=𝑎12+𝑎1，解得𝑎1=1，当𝑛≥2时，2𝑎𝑛=2(𝑆𝑛−𝑆𝑛−1)=𝑎𝑛2+𝑎𝑛−(𝑎𝑛−12+𝑎𝑛−1)，化为：(𝑎𝑛+𝑎𝑛−1)(𝑎𝑛−𝑎𝑛−1−1)=0，所以𝑎𝑛−𝑎𝑛−1=1，所以数列{𝑎𝑛}是等差数列，公差为1，首项为1，所以𝑎𝑛=1+(𝑛−1)=𝑛，𝑆𝑛=𝑛(𝑛+1)2，所以𝑐𝑛=(−1)𝑛2𝑎𝑛+12𝑆𝑛=(−1)𝑛⋅2𝑛+1𝑛(𝑛+1)=(−1)𝑛(1𝑛+1𝑛+1)，则数列{𝑐𝑛}的前2020项的和=−(1+12)+(12+13)−(13+14)+⋯+(12020+12021)=−1+12021=−2020202111.B【解析】由𝑥2𝑓ʹ(𝑥)+2𝑥𝑓(𝑥)=e𝑥，即(𝑥2𝑓(𝑥))ʹ=(e𝑥)ʹ，结合𝑓(2)=e24，可知𝑓(𝑥)=e𝑥𝑥2，高三数学文科第6页（共10页）𝑓ʹ(𝑥)=e𝑥(𝑥−2)𝑥3，可知此函数仅有一个极值点，是极小值点。没有极大值。12.A【解析】由题意得，函数𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)−log𝑎∣𝑥∣的零点个数即为𝑦=𝑓(𝑥)与𝑦=log𝑎∣𝑥∣的图象的交点个数．因为𝑓(𝑥+2)=𝑓(𝑥)，所以函数𝑓(𝑥)是周期为2的周期函数，又因为𝑓(𝑥)=𝑥3(−1≤𝑥1)，所以函数𝑓(𝑥)的图象如图所示．在同一坐标系中作出函数𝑦=log𝑎∣𝑥∣={log𝑎𝑥,𝑥0log𝑎(−𝑥),𝑥0的图象（𝑎1时，如图（1）；0𝑎1时，如图（2））．由图象得，要使𝑦=𝑓(𝑥)与𝑦=log𝑎∣𝑥∣的图象至少有6个交点，则当𝑎1时log𝑎51；当0𝑎1时，log𝑎5≥−1，解得𝑎5或0𝑎≤15．填空13.45【解析】因为tan(π+𝛼)=tan𝛼=2，所以sin2𝛼=2sin𝛼cos𝛼sin2𝛼+cos2𝛼=2tan𝛼tan2𝛼+1=2×222+1=45.14.(π3,2π3]【解析】因为∣∣𝑎⃗−2𝑏⃗⃗∣∣∈(2,2√3]，所以(𝑎⃗−2𝑏⃗⃗)2∈(4,12]，即𝑎⃗2+4𝑏⃗⃗2−4𝑎⃗⋅𝑏⃗⃗=4+4−8cos𝜃∈(4,12]，所以cos𝜃∈[−12,12)，故𝜃∈(π3,2π3]．15.2【解析】由实数𝑥，𝑦满足{2≤𝑥≤3,1≤𝑦≤2,𝑥+𝑦≤4,作出可行域如图，联立{𝑥=2,𝑥+𝑦=4得𝐴(2,2)，由𝑧=𝑦𝑥−1，而𝑘𝐷𝐴=22−1=2，所以目标函数𝑦𝑥−1的最大值为2．16.1【解析】（1）∠AOB=90°：直线l的斜率显然存在，设直线为y=kx+1。联立双曲线：3x2-y2=1，消去y得：(3−𝑘2)𝑥2−2𝑘𝑥−2=0.注意到∠AOB=90°(1)(1)0ABABxxkxkx+++=，带入解出1k=.（2）∠OAB=90°（A在左支）设A点坐标(m,n)(m0),则∠OAB=90°220mnn+−=,联立双曲线无解，故不可能出现∠OAB=90°。（2）