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第1章解直角三角形一、选择题(每小题4分，共28分)1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝5，BC＝3，则∠A的余弦值是()A.35B.34C.45D.432．某水坝的坡比为1∶3，坡长为20米，则该水坝的高度为()A．10米B．20米C．40米D．203米3．已知关于x的一元二次方程x2－2x＋sinα＝0有两个相等的实数根，则锐角α等于()A．15°B．30°C．45°D．60°4．如图1所示，菱形ABCD的周长为20cm，DE⊥AB，垂足为E，cosA＝45，则下列结论中正确的有()①DE＝3cm；②EB＝1cm；③S菱形ABCD＝15cm2.A．3个B．2个C．1个D．0个图1图25．如图2所示，两条宽度都为1的纸条交叉重叠放在一起，且它们的夹角为α，则它们重叠部分(图中阴影部分)的面积为()A.1sinαB.1cosαC．sinαD．16．如图3，在4×4的正方形网格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则图中∠ABC的余弦值是()A．2B.255C.12D.55图3图47．如图4，半径为3的⊙A经过原点O和点C(0，2)，B是y轴左侧优弧CMO上一点，则tan∠OBC的值为()A.13B．22C.24D.223二、填空题(每小题4分，共28分)8．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，CD＝4，AC＝6，则sinB的值是________．9．在△ABC中，如果锐角∠A，∠B满足|tanA－1|＋(cosB－12)2＝0，那么∠C＝________°.10．如图5所示，AB是⊙O的弦，半径OA＝2，sinA＝23，弦AB的长为________．11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝43，BC＝8，则△ABC的面积为________．图5图612．如图6，在小山的东侧点A处有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧点B的俯角为30°，则A，B两点间的距离为________米．13．如图7，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转15°后得到△AB1C1，B1C1交AC于点D，如果AD＝22，那么△ABC的周长为________．图7图814．如图8，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝32，CD＝22，P是四边形ABCD四条边上的一个动点，若点P到BD的距离为52，则满足条件的点P有________个．三、解答题(共44分)15．(10分)如图9，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AD＝200，∠B＝30°，∠C＝45°.求BC的长．图916．(10分)保护视力要求人写字时眼睛和笔端的距离应超过30cm，图10①是一名同学的坐姿，把他的眼睛B，肘关节C和笔端A的位置关系抽象成图②的△ABC，已知BC＝30cm，AC＝22cm，∠ACB＝53°，他的这种坐姿符合保护视力的要求吗？请说明理由．(参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3)图1017．(12分)如图11，反比例函数y＝kx(x0)的图象经过点A(23，1)，射线AB与反比例函数的图象的另一个交点为B(1，a)，射线AC与y轴交于点C，∠BAC＝75°，AD⊥y轴，垂足为D.(1)求k的值；(2)求tan∠DAC的值及直线AC的函数表达式．图1118．(12分)如图12，一艘渔船位于港口A的北偏东60°方向，距离港口20海里的B处，它沿着北偏西37°方向航行至C处突然出现故障，在C处等待救援，B，C之间的距离为10海里，救援船从港口A出发沿直线航行20分钟到达C处，求救援船的航行速度．(参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，3≈1.732，结果精确到1海里/时)图121．C[解析]在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，∴AC＝4，∴cosA＝ACAB＝45.故选C.2．A[解析]如图，∵坡比为1∶3，∴设AC＝x米，BC＝3x米，根据勾股定理，得AC2＋BC2＝AB2，即x2＋(3x)2＝202，解得x＝10.故选A.3．B[解析]由题意得Δ＝2－4sinα＝0，解得sinα＝12，∴α＝30°.4．A[解析]∵菱形ABCD的周长为20cm，∴边长AD＝AB＝5cm.在Rt△ADE中，cosA＝AEAD，∴AE＝ADcosA＝5×45＝4(cm)，∴BE＝AB－AE＝5－4＝1(cm)，DE＝AD2－AE2＝52－42＝3(cm)，∴S菱形ABCD＝DE·AB＝3×5＝15(cm2)．故正确的结论有①②③，选择A.5．A6．D[解析]设每个小正方形的边长都是1.由图可知，AC2＝22＋42＝20，BC2＝12＋22＝5，AB2＝32＋42＝25，∴AC2＋BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，∴cos∠ABC＝BCAB＝55.7．C[解析]作直径CD，在Rt△OCD中，CD＝6，OC＝2，则OD＝CD2－OC2＝42，tan∠CDO＝OCOD＝24，由圆周角定理，得∠OBC＝∠CDO，则tan∠OBC＝24.8.349.7510.435[解析]过点O作OC⊥AB于点C，在Rt△AOC中，OC＝OAsinA＝2×23＝43，AC＝OA2－OC2＝22－（43）2＝4－169＝36－169＝235.∴AB＝2AC＝2×235＝435.11．24[解析]如图，BC＝8，tanA＝43，tanA＝BCAC，∴8AC＝43，∴AC＝6，∴S△ABC＝12AC·BC＝12×6×8＝24.12．750213．6＋23[解析]依题意，得∠B1AD＝45°，AD＝22，∴AB＝AB1＝AD·cos45°＝22×22＝2.又∵∠ACB＝30°，∴AC＝2AB＝2×2＝4，∴BC＝AC2－AB2＝42－22＝23，∴△ABC的周长＝2＋4＋23＝6＋23.14．2[解析]过点A作AE⊥BD于点E，过点C作CF⊥BD于点F.∵∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝32，CD＝22，∴∠ABD＝∠ADB＝45°，∴∠CDF＝90°－∠ADB＝45°.∵sin∠ABD＝AEAB，∴AE＝AB·sin∠ABD＝32·sin45°＝3＞52，CF＝2＜52，∴在AB和AD边上有符合点P到BD的距离为52的点各有1个，共有2个．15．解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.在Rt△ABD中，∵AD＝200，∠B＝30°，∠ADB＝90°，∴BD＝3AD＝2003.在Rt△ADC中，∵∠C＝45°，∠ADC＝90°，∴DC＝AD＝200，∴BC＝BD＋DC＝2003＋200.16．解：该同学的这种坐姿不符合保护视力的要求．理由：如图，过点B作BD⊥AC于点D.在Rt△BDC中，BD＝BCsin53°≈30×0.8＝24(cm)，CD＝BCcos53°≈30×0.6＝18(cm)，故AD＝AC－CD≈4cm.在Rt△ABD中，AB＝AD2＋BD2≈592cm＜30cm，∴该同学的这种坐姿不符合保护视力的要求．17．解：(1)k＝23×1＝23.(2)过点B作BH⊥AD于点H，如图，把B(1，a)代入反比例函数表达式y＝23x，得a＝23，∴B点坐标为(1，23)，∴AH＝23－1，BH＝23－1，∴△ABH为等腰直角三角形，∴∠BAH＝45°.∵∠BAC＝75°，∴∠DAC＝∠BAC－∠BAH＝30°，∴tan∠DAC＝tan30°＝33.∵AD⊥y轴，∴OD＝1，AD＝23.∵tan∠DAC＝CDAD＝33，∴CD＝2，∴OC＝1，∴C点坐标为(0，－1)．设直线AC的函数表达式为y＝mx＋b，把A(23，1)，C(0，－1)代入，得23m＋b＝1，b＝－1，解得m＝33，b＝－1，∴直线AC的函数表达式为y＝33x－1.18．解：作辅助线如图所示，BD⊥AD，BE⊥CE，CF⊥AF.由题意知∠FAB＝60°，∠CBE＝37°，∴∠BAD＝30°.∵AB＝20海里，∴BD＝10海里．在Rt△ABD中，AD＝AB2－BD2＝202－102＝103≈17.32(海里)．在Rt△BCE中，sin37°＝CEBC，∴CE＝BC·sin37°≈10×0.6＝6(海里)．∵cos37°＝EBBC，∴EB＝BC·cos37°≈10×0.8＝8(海里)．∵EF＝AD≈17.32海里，∴FC＝EF－CE≈11.32海里，AF＝ED＝EB＋BD≈18海里．在Rt△AFC中，AC＝AF2＋FC2≈182＋11.322≈21.26(海里)．∵20分钟＝13小时，∴21.26÷13＝21.26×3≈64(海里/时)．答：救援船的航行速度约是64海里/时．