搜索
28第二章第二章第二章第二章群表示论基础群表示论基础群表示论基础群表示论基础§1111群表示和表示空间群表示和表示空间群表示和表示空间群表示和表示空间1111．．．．表示空间表示空间表示空间表示空间：：：：线性空间和线性空间和线性空间和线性空间和HilbertHilbertHilbertHilbert空间空间空间空间线性空间概念线性空间概念线性空间概念线性空间概念：：：：由三维矢量空间抽象出的由三维矢量空间抽象出的由三维矢量空间抽象出的由三维矢量空间抽象出的nnnn维向量空间定义了加法和数乘维向量空间定义了加法和数乘维向量空间定义了加法和数乘维向量空间定义了加法和数乘（（（（““““++++”“”“”“”“....””””））））运算运算运算运算....向量取值定义在实数域向量取值定义在实数域向量取值定义在实数域向量取值定义在实数域RRRR或复数域或复数域或复数域或复数域CCCC上上上上。。。。普通二维空间和三维空间是线普通二维空间和三维空间是线普通二维空间和三维空间是线普通二维空间和三维空间是线性性性性空间的空间的空间的空间的最简单的例子最简单的例子最简单的例子最简单的例子。。。。这里的这里的这里的这里的““““矢量矢量矢量矢量””””可以是向量可以是向量可以是向量可以是向量,,,,也可以是波函数也可以是波函数也可以是波函数也可以是波函数,,,,对于后者通常是在对于后者通常是在对于后者通常是在对于后者通常是在HilbertHilbertHilbertHilbert空间进行运算空间进行运算空间进行运算空间进行运算。。。。所谓所谓所谓所谓HilbertHilbertHilbertHilbert空间是指定义了内积的完备的空间是指定义了内积的完备的空间是指定义了内积的完备的空间是指定义了内积的完备的nnnn维线性空间维线性空间维线性空间维线性空间。。。。内积内积内积内积::::线性空间线性空间线性空间线性空间vvvv中每一对向量中每一对向量中每一对向量中每一对向量x和和和和y对应着唯一的一个数对应着唯一的一个数对应着唯一的一个数对应着唯一的一个数((((x,,,,y),),),),且满足下列的四个条件且满足下列的四个条件且满足下列的四个条件且满足下列的四个条件，，，，则称则称则称则称((((x,,,,y))))为为为为x和和和和y的内积的内积的内积的内积。。。。1111....((((x,,,,x))))≥≥≥≥0,0,0,0,只只只只有有有有在在在在x=0=0=0=0时时时时,(,(,(,(x,,,,x)=0)=0)=0)=0；；；；2222....((((x,,,,y)=()=()=()=(y,,,,x))))****；；；；3333....((((xα,,,,y)=)=)=)=α****((((x,,,,y),(),(),(),(α为复为复为复为复常常常常数数数数))))；；；；4444....((((x++++y,,,,z)=()=()=()=(x,,,,z)+()+()+()+(y,,,,z))))一般说一般说一般说一般说,,,,值域为复数域值域为复数域值域为复数域值域为复数域CCCC。。。。对于三维特例对于三维特例对于三维特例对于三维特例::::x=(=(=(=(1ξ,,,,2ξ,,,,3ξ),),),),y=(=(=(=(1η,,,,2η,,,,3η))))则则则则((((x,,,,y)=)=)=)=3*1jjjξη=∑对于对于对于对于nnnn维复线性空间维复线性空间维复线性空间维复线性空间，，，，((((x,,,,y)=)=)=)=*1njjjξη=∑若对波函数若对波函数若对波函数若对波函数,,,,有有有有定义在定义在定义在定义在[],ab上的复值函数上的复值函数上的复值函数上的复值函数ffff1111,f,f,f,f2222,,,,则则则则内积内积内积内积12(,)ff====*12()()baffdτττ∫矢量空间和函数空间统称为线性空间矢量空间和函数空间统称为线性空间矢量空间和函数空间统称为线性空间矢量空间和函数空间统称为线性空间。。。。完备完备完备完备如果规定了空间如果规定了空间如果规定了空间如果规定了空间HHHH中的一向量中的一向量中的一向量中的一向量x的范数的范数的范数的范数‖‖‖‖x‖‖‖‖====12(,)xx（（（（‖‖‖‖x‖‖‖‖对应于一实数对应于一实数对应于一实数对应于一实数,,,,且且且且满足下列条满足下列条满足下列条满足下列条件的件的件的件的‖‖‖‖x‖‖‖‖称为向量称为向量称为向量称为向量x的范数的范数的范数的范数：：：：1111....‖‖‖‖x‖≥‖≥‖≥‖≥0;2.0;2.0;2.0;2.‖‖‖‖αx‖‖‖‖====α‖‖‖‖x‖‖‖‖;3.;3.;3.;3.‖‖‖‖x++++y‖≤‖‖≤‖‖≤‖‖≤‖x‖‖‖‖++++‖‖‖‖y‖‖‖‖）））），，，，以及以及以及以及定义了定义了定义了定义了两向量的距离两向量的距离两向量的距离两向量的距离dddd((((x,,,,y)=)=)=)=‖‖‖‖x----y‖‖‖‖之后之后之后之后,,,,若若若若HHHH中每一基本序列都收敛于一向量中每一基本序列都收敛于一向量中每一基本序列都收敛于一向量中每一基本序列都收敛于一向量，，，，则称则称则称则称HHHH为为为为完备的内积空间或完备的内积空间或完备的内积空间或完备的内积空间或HilbertHilbertHilbertHilbert空间空间空间空间。。。。物理学中关注的是变换群物理学中关注的是变换群物理学中关注的是变换群物理学中关注的是变换群。。。。群表示论研究在对称变换下群表示论研究在对称变换下群表示论研究在对称变换下群表示论研究在对称变换下，，，，系统状态变换性质系统状态变换性质系统状态变换性质系统状态变换性质。。。。即在算符作用下即在算符作用下即在算符作用下即在算符作用下态态态态矢矢矢矢的变换性质的变换性质的变换性质的变换性质。。。。292222．．．．表示的表示的表示的表示的基本定义基本定义基本定义基本定义：：：：对于任意群对于任意群对于任意群对于任意群GGGG，，，，若它与若它与若它与若它与nnnn维线性维线性维线性维线性复复复复空间空间空间空间nL上的一个线性变换矩阵上的一个线性变换矩阵上的一个线性变换矩阵上的一个线性变换矩阵群群群群同态同态同态同态，，，，则称该矩阵群是则称该矩阵群是则称该矩阵群是则称该矩阵群是GGGG的一个线性表示的一个线性表示的一个线性表示的一个线性表示，，，，简称表示简称表示简称表示简称表示，，，，nL为表示空间为表示空间为表示空间为表示空间。。。。nnnn为维数为维数为维数为维数。。。。对于群元对于群元对于群元对于群元gα,,,,gβ∈G,G,G,G,有相应的有相应的有相应的有相应的nnnn××××nnnn方阵方阵方阵方阵()Dgα,,,,()Dgβ满足满足满足满足gαgβ───→同态()Dgα()Dgβ====()Dggαβ,,,,根据定义根据定义根据定义根据定义,,,,()DG为为为为GGGG的表示的表示的表示的表示。。。。则对于则对于则对于则对于eeee和其他任意元和其他任意元和其他任意元和其他任意元素素素素，，，，gα,,,,gβ∈GGGG有有有有()De=I=I=I=I（（（（nnnn维单位矩阵维单位矩阵维单位矩阵维单位矩阵））））；；；；()Dggαβ====()Dgα()Dgβ；；；；1()Dgα-====()Dgα----1111忠实表示忠实表示忠实表示忠实表示：：：：群群群群GGGG与表示矩阵群同构与表示矩阵群同构与表示矩阵群同构与表示矩阵群同构。。。。自然表示自然表示自然表示自然表示：：：：群群群群GGGG元素本身即元素本身即元素本身即元素本身即是矢量空间线性变换矩阵群是矢量空间线性变换矩阵群是矢量空间线性变换矩阵群是矢量空间线性变换矩阵群，，，，则恒等映射称为自然表示则恒等映射称为自然表示则恒等映射称为自然表示则恒等映射称为自然表示。。。。3333．．．．群表示的群表示的群表示的群表示的举例举例举例举例例例例例1.1.1.1.普通复普通复普通复普通复nnnn维线性群维线性群维线性群维线性群GL(n,c)GL(n,c)GL(n,c)GL(n,c)是是是是nnnn××××nnnn复矩阵群复矩阵群复矩阵群复矩阵群，，，，本身即表示本身即表示本身即表示本身即表示，，，，是自然表示是自然表示是自然表示是自然表示。。。。例例例例2.2.2.2.正则表示正则表示正则表示正则表示GGGG为为为为nnnn阶群阶群阶群阶群，，，，任取任取任取任取gα∈G,G,G,G,根据群乘法根据群乘法根据群乘法根据群乘法gα1g====1gα，，，，gα2g====2gα，，，，…........由由由由CayleyCayleyCayleyCayley定理定理定理定理，，，，G=G=G=G={}gα同构于同构于同构于同构于SSSSnnnn的某个正则子群的某个正则子群的某个正则子群的某个正则子群。。。。其群元为其群元为其群元为其群元为PPPPα====1212ininαααα⋯⋯⋯⋯若若若若gα对应的表示矩阵为对应的表示矩阵为对应的表示矩阵为对应的表示矩阵为::::第一列第第一列第第一列第第一列第1α行为行为行为行为1,1,1,1,其他为其他为其他为其他为0,0,0,0,⋯⋯第第第第iiii列列列列第第第第iα行为行为行为行为1,1,1,1,其他为其他为其他为其他为0000，，，，群群群群G=G=G=G={}gα与矩阵群与矩阵群与矩阵群与矩阵群A=A=A=A={}Aα同同同同构构构构，，，，而表示矩阵而表示矩阵而表示矩阵而表示矩阵Aα是是是是nnnn××××nnnn矩阵矩阵矩阵矩阵，，，，矩阵元为矩阵元为矩阵元为矩阵元为()iiiiAαααδ=，，，，{}Aα为有为有为有为有限群的一个忠实表示限群的一个忠实表示限群的一个忠实表示限群的一个忠实表示，，，，称为正则表示称为正则表示称为正则表示称为正则表示。。。。正则表示的正则表示的正则表示的正则表示的表示矩阵取决于乘法表表示矩阵取决于乘法表表示矩阵取决于乘法表表示矩阵取决于乘法表。。。。设有三阶循环群设有三阶循环群设有三阶循环群设有三阶循环群G=G=G=G={}2123,,gegaga===，，，，3a=e.=e.=e.=e.它它它它同构于同构于同构于同构于SSSS3333的正则子群的正则子群的正则子群的正则子群{},(123),(321)e：：：：11123gpe123↔==，，，，22123gp231↔=，，，，33123gp312↔=，，，，其其其其相应相应相应相应表表表表示示示示：：：：1()Dg====100010001，，，，2()Dg====001100010，，，，3()Dg====010001100。。。。GGGGgggg1111gggg3333gggg2222gggg1111gggg1111gggg3333gggg2222gggg2222gggg2222gggg1111gggg3333gggg3333gggg3333gggg2222gggg1111表表表表2222----1111群乘表群乘表群乘表群乘表（（（（左正则表示左正则表示左正则表示左正则表示））））30再以再以再以再以4VC===={}23444,,,,,,,xyuveCCCmmσσ为例为例为例为例表表表表2222----22224vc的乘法表的乘法表的乘法表的乘法表4vceeee4c24c34cxmymμσνσeeeeeeee4c24c34cxmymμσνσ34c34ceeee4c24cνσμσxmym24c24c34ceeee4cymxmνσμσ4c4c24c34ceeeeμσνσym