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163第四章第四章第四章第四章连续群及其表示连续群及其表示连续群及其表示连续群及其表示实际要求实际要求实际要求实际要求：：：：如平移和转动如平移和转动如平移和转动如平移和转动，，，，无限小平移和转动无限小平移和转动无限小平移和转动无限小平移和转动，，，，连续变量连续变量连续变量连续变量特点特点特点特点：：：：可同时采用代数方法可同时采用代数方法可同时采用代数方法可同时采用代数方法（（（（矩阵矩阵矩阵矩阵、、、、线性空间线性空间线性空间线性空间））））分析方法分析方法分析方法分析方法（（（（常数和偏微常数和偏微常数和偏微常数和偏微、、、、拓扑方法拓扑方法拓扑方法拓扑方法））））§1.拓扑群和李群拓扑群和李群拓扑群和李群拓扑群和李群连续群的元素可由一组实参数连续群的元素可由一组实参数连续群的元素可由一组实参数连续群的元素可由一组实参数naaa,,,21⋯标明标明标明标明，，，，其中至少有一个参数在某区域中连续变化其中至少有一个参数在某区域中连续变化其中至少有一个参数在某区域中连续变化其中至少有一个参数在某区域中连续变化。。。。这组参数对刻划群的所有元素应该是必需的且是足够的这组参数对刻划群的所有元素应该是必需的且是足够的这组参数对刻划群的所有元素应该是必需的且是足够的这组参数对刻划群的所有元素应该是必需的且是足够的，，，，换言之换言之换言之换言之，，，，不能以一组数目更少的参数描写不能以一组数目更少的参数描写不能以一组数目更少的参数描写不能以一组数目更少的参数描写。。。。令连续参数的个数为令连续参数的个数为令连续参数的个数为令连续参数的个数为r（（（（nr≤≤1），），），），若此数是有限的若此数是有限的若此数是有限的若此数是有限的，，，，则称则称则称则称连续群是连续群是连续群是连续群是r维的维的维的维的。。。。例例例例1.所有实数的集合是一维连续群所有实数的集合是一维连续群所有实数的集合是一维连续群所有实数的集合是一维连续群。。。。因为任一实数可由一个参数因为任一实数可由一个参数因为任一实数可由一个参数因为任一实数可由一个参数，，，，如取值于区间如取值于区间如取值于区间如取值于区间),(+∞-∞的的的的x标明标明标明标明。。。。（（（（所有复数的集合则是二维连续群所有复数的集合则是二维连续群所有复数的集合则是二维连续群所有复数的集合则是二维连续群））））例例例例2.考虑如下考虑如下考虑如下考虑如下'xx→的一个变量的线性变换的一个变量的线性变换的一个变量的线性变换的一个变量的线性变换baxx+='，，，，∈ba,),(+∞-∞，，，，0≠a（（（（1111））））所有这种变换的集合是一个两参数群所有这种变换的集合是一个两参数群所有这种变换的集合是一个两参数群所有这种变换的集合是一个两参数群，，，，其元素可用其元素可用其元素可用其元素可用),(baT记之记之记之记之：：：：),(baTx=bax+（（（（2））））于是合成法则可以这样求得于是合成法则可以这样求得于是合成法则可以这样求得于是合成法则可以这样求得xbaT),(33=),(11baT),(22baTx=),(11baT（（（（1'122)bxabxa+=+12121bbaxaa++=（（（（3333））））可见可见可见可见213aaa=，，，，1213bbab+=（（（（4444））））由此可见由此可见由此可见由此可见，，，，单位元是单位元是单位元是单位元是)0,1(T；；；；逆元逆元逆元逆元：：：：设设设设),(),(1baTdcT-=∵),(1baT-),(baTx=),(1baT-xbax=+)(∴),1(),(abaTdcT-=即即即即ac1=，，，，abd-=（（（（5555））））（（（（4444））））式中式中式中式中，，，，3a，，，，3b为为为为2211,,,baba的解析函数的解析函数的解析函数的解析函数；（；（；（；（5555））））式中式中式中式中，，，，,cd为为为为ba,的解析函数的解析函数的解析函数的解析函数。。。。164例例例例3.三维实矢量空间中所有如下形式位移三维实矢量空间中所有如下形式位移三维实矢量空间中所有如下形式位移三维实矢量空间中所有如下形式位移的集合的集合的集合的集合axx+='，，，，byy+='，，，，czz+='是一个三参数的三维连续群是一个三参数的三维连续群是一个三参数的三维连续群是一个三参数的三维连续群。。。。),,(cbaT为群算符为群算符为群算符为群算符。。。。单位元是单位元是单位元是单位元是)0,0,0(T，，，，逆元是逆元是逆元是逆元是),,(cbaT---。。。。例例例例4.考虑如下形式的两变量齐考虑如下形式的两变量齐考虑如下形式的两变量齐考虑如下形式的两变量齐次线性变换次线性变换次线性变换次线性变换yaxax1211'+=yaxay2221'+=或写成矢量式或写成矢量式或写成矢量式或写成矢量式→→=rAr'（（（（6））））其中其中其中其中0det≠=ijaA，，，，这是四参数连续群这是四参数连续群这是四参数连续群这是四参数连续群，，，，是二维线性群是二维线性群是二维线性群是二维线性群)2(GL，，，，矩阵乘法下同构于全体二阶非矩阵乘法下同构于全体二阶非矩阵乘法下同构于全体二阶非矩阵乘法下同构于全体二阶非奇异矩阵群奇异矩阵群奇异矩阵群奇异矩阵群。。。。例例例例5.考虑考虑考虑考虑n个变量的齐个变量的齐个变量的齐个变量的齐次线性变换次线性变换次线性变换次线性变换（（（（例例例例4的推广的推广的推广的推广））））∑==njjijixax1'1in≤≤，，，，0≠ija（（（（7））））这是这是这是这是2n个参个参个参个参数的连续群数的连续群数的连续群数的连续群，，，，又又又又称为称为称为称为n维线性群维线性群维线性群维线性群)(nGL。。。。例例例例6.绕绕绕绕某个轴转动的集合是一维连续群某个轴转动的集合是一维连续群某个轴转动的集合是一维连续群某个轴转动的集合是一维连续群，，，，以以以以θ为参数为参数为参数为参数，，，，θ取值在取值在取值在取值在[]ππ,-或或或或[]π2,0，，，，这个群记为这个群记为这个群记为这个群记为)2(SO；；；；绕空间某固定点的转动集合记为绕空间某固定点的转动集合记为绕空间某固定点的转动集合记为绕空间某固定点的转动集合记为)3(SO。。。。1111----1111拓扑群拓扑群拓扑群拓扑群（（（（流形流形流形流形)manifold1.定义定义定义定义讨论群元素的连续性质讨论群元素的连续性质讨论群元素的连续性质讨论群元素的连续性质，，，，须引入拓扑概念须引入拓扑概念须引入拓扑概念须引入拓扑概念。。。。我们只讨论这样的群我们只讨论这样的群我们只讨论这样的群我们只讨论这样的群：：：：其元素可与其元素可与其元素可与其元素可与r维实内积空间的某个子集维实内积空间的某个子集维实内积空间的某个子集维实内积空间的某个子集rS的点建立起一的点建立起一的点建立起一的点建立起一一对应关系一对应关系一对应关系一对应关系，，，，称此子集为参数空间称此子集为参数空间称此子集为参数空间称此子集为参数空间。。。。令令令令x，，，，'x等为群元素等为群元素等为群元素等为群元素，，，，)(),('xpxp是是是是G的元素对应的元素对应的元素对应的元素对应的的的的rS中的点中的点中的点中的点，，，，称为称为称为称为x，，，，'x的像的像的像的像------------映射映射映射映射（（（（mapping））））。。。。现考虑现考虑现考虑现考虑rS中中中中)(xp的一个邻域的一个邻域的一个邻域的一个邻域，，，，它是满足下列条件它是满足下列条件它是满足下列条件它是满足下列条件：：：：ε-)('xpp（（（（ε————正实数正实数正实数正实数））））（（（（8888））））的所有点的所有点的所有点的所有点'p的集合的集合的集合的集合，，，，记为记为记为记为∈N，，，，于是邻域于是邻域于是邻域于是邻域∈N的点就是构成的点就是构成的点就是构成的点就是构成G的元素的元素的元素的元素x的邻域的邻域的邻域的邻域∈Z的元素的的元素的的元素的的元素的邻域邻域邻域邻域。。。。165以符号表示以符号表示以符号表示以符号表示，，，，x的邻域就是的邻域就是的邻域就是的邻域就是∈Z满足下列条件的满足下列条件的满足下列条件的满足下列条件的G中元素中元素中元素中元素'x的集合的集合的集合的集合ε-)()('xpxp（（（（9））））利用这种概念利用这种概念利用这种概念利用这种概念，，，，可以定义序列极限以成群元素合成和取逆的连续性可以定义序列极限以成群元素合成和取逆的连续性可以定义序列极限以成群元素合成和取逆的连续性可以定义序列极限以成群元素合成和取逆的连续性。。。。考虑群元素的合成考虑群元素的合成考虑群元素的合成考虑群元素的合成321xxx=称对称对称对称对2x是连续的是连续的是连续的是连续的。。。。其意义是其意义是其意义是其意义是：：：：对于每一个对于每一个对于每一个对于每一个0ε，，，，可以找到实数可以找到实数可以找到实数可以找到实数0∈δ，，，，使使使使2x的邻域的邻域的邻域的邻域∈δZ中的所有元素中的所有元素中的所有元素中的所有元素x（（（（即所有满足即所有满足即所有满足即所有满足∈-δ)()(2xpxp的的的的x））））都使元素都使元素都使元素都使元素xx1属属属属于于于于3x的邻域的邻域的邻域的邻域∈Z（（（（即即即即ε-)()(31xpxxp），），），），就是说就是说就是说就是说，，，，乘积因子之一的微小改变乘积因子之一的微小改变乘积因子之一的微小改变乘积因子之一的微小改变，，，，只引起乘积的微只引起乘积的微只引起乘积的微只引起乘积的微小改变小改变小改变小改变。。。。当然当然当然当然，，，，用类似方法可定义群元素取逆法则的连续性用类似方法可定义群元素取逆法则的连续性用类似方法可定义群元素取逆法则的连续性用类似方法可定义群元素取逆法则的连续性（（（（见下图见下图见下图见下图）。）。）。）。它意味着元素的微小改变它意味着元素的微小改变它意味着元素的微小改变它意味着元素的微小改变也只引起其逆的微小变化也只引起其逆的微小变化也只引起其逆的微小变化也只引起其逆的微小变化。。。。（（（（a））））合成法则的连续性合成法则的连续性合成法则的连续性合成法则的连续性：：：：对每一个对每一个对每一个对每一个2(xZx∈∈δ的邻域的邻域的邻域的邻域），），），），有有有有31(xZxx∈∈的邻域的邻域的邻域的邻域），），），），使使使使321xxx=（（（（b））））取逆法则的连续性取逆法则的连续性取逆法则的连续性取逆法则的连续性：：：：对每对每对每对每一个一个一个一个xZx(∈∈′δ的邻域的邻域的邻域的邻域），），），），有有有有11(-∈-∈′xZx的邻域的邻域的邻域的邻域），），），），图图图图4.1rS中中中中)(xp的邻域的邻域的邻域的邻域∈N是是是是G中中中中x的邻域的邻域的邻域的邻域∈Z的元素像的集合的元素像的集合的元素像的集合的元素像的集合图图图图4.2166使使使使exx=-1（（（（单位元单位元单位元单位元））））拓扑群拓扑群拓扑群拓扑群G：：：：合成法则和取逆法则对群的所有元素都连续的群叫拓扑群合成法则和取逆法则对群的所有元素都连续的群叫拓扑群合成法则和取逆法则对群的所有元素都连续的群叫拓扑群合成法则和取逆法则对群的所有元素都连续的群叫拓扑群G。。。。1111----2222连通性和紧致性连通性和紧致性连通性和紧致性连通性和紧致性：：：：1x，，，，2x∈拓扑群拓扑群拓扑群拓扑群G，，，，在参数空间在参数空间在参数空间在参数空间rS中的像中的像中的像中的像)(1xp，，，，)(2xp。。。。如果如果如果如果rS中存在一条或多条通道连中存在一条或多条通道连中存在一条或多条通道连中存在一条或多条通道连接接接接)(1xp和和和和)(2xp，，，，则称参数空间是连通的则称参数空间是连通的则称参数空间是连通的则