复变函数与积分变换-第8章-拉普拉斯变换

第8章拉普拉斯变换本章学习目标1、理解拉普拉变换的概念与性质；2、掌握拉普拉变换的逆变换；3、了解拉普拉斯变换的应用。第8章拉普拉斯变换8.1拉普拉斯变换的概念与性质在所确定的某一域内收敛,则由此积分所确定的函数可写为8.1.1拉普拉斯变换的概念定义8.1设函数当有定义,而且积分1()Fs()ft0t0()(stftedts是一个复参量）s0()()stFsftedt我们称上式为函数的拉普拉斯变换式,记做()ft()Fsℒ()ft叫做()ft的拉氏变换,象函数.()Fs叫做的拉氏逆变换,象原函数,()ft=ℒ()ft()Fs的增长速度不超过某一指数函数,亦即存在常数拉普拉斯变换存在定理若函数()ft满足下列条件Ⅰ在0t的任一有限区间上连续或分段连续,0t时,()0ftⅡ当t时,()ft0,M及0C,使得0ctftMet成立,则函数的拉氏变换()ft0()()stFsftedt在半平面上一定存在.此时右端的积分绝对收敛而且一致收敛.并且在此半平面内为解析函数ResCFs一些常用函数的拉普拉斯变换【例2】求单位阶跃函数的拉氏变换ut解ℒ0()()1stttedt1t【例1】求单位脉冲函数的拉氏变换t解ℒ011()00ststutedteResss1uts【例3】求函数的拉氏变换()ktfte.kR解()001()ktstsktfteedtedtResksk1kteskℒ【例4】求单位斜坡函数的拉氏变换000tttuttt解200111()00stststttedtteedtRessss21()()ttutsℒ【例5】求幂函数的拉氏变换1ntn解1010nnstnnttedtRess1!nnntsℒ当n为正整数时,1!0nnntRessℒ【例6】求正弦函数的拉氏变换()sin)ftktkR(ℒ00020201()sinsin1sincos01cos1cossin0stststststststftktedtktdesektkektdtsektdtsektkektdts22200sinsinststkkktedtktedtss解则所以ℒ22sin0kktRessk即22sinkktsk同理可得22cossktsk如ℒ22sin204tRessℒ2cos309stRess是周期为当在一个周期上连续或分段连续时,则有周期函数的拉普拉斯变换这是求周期函数拉氏变换公式()ftT的周期函数,即()ftT()(0)ftt()ft可以证明:若01()1tTssTftedteℒ()ft8.1.2拉普拉斯变换的性质1212()()()()ftftFsFs11212()()()()FsFsftft1线性性质,设为常数，则ℒ1()Fs1()ftℒ2()Fs2()ftℒℒ2平移性质（1）象原函数的平移性质0t为非负实常数,则ℒ000()()()stfttutteFs()Fsℒ()ftℒ0100()()()steFsfttutt【例7】求函数)0(10)(bbtbtbtu的拉氏变换解因为ℒ1()()utFss所以ℒ1()sbutbes若（2）象函数的平移性质a为实常数,则ℒ()()ateftFsa(),Fsℒ()ft若这个性质表明，象原函数乘以，等于其象函数做位移atea(为正整数).【例8】求解因为ℒsin,atektℒ1!()atnnnetsanℒ22sinkktskℒ1!nnnts所以ℒ22sin()atkektsakℒatnet3.延滞性质若则sFtfsFeatfas0aℒℒaaseOttf(t)f(t)这个性质表明，时间延迟了个单位，相当于象函数乘以指数因子则4微分性质（1）象原函数的微分性质一般地,ℒ()()(0))ftsFsfResC((),Fsℒ()ft若ℒ()12(1)()()(0)(0)(0)nnnnnftsFssfsff特别地,当(1)(0)(0)(0)(0)0nffff时,ℒ()()()nnftsFs可以证明ℒ()()nnts（2）象函数的微分性质若()Fs则ℒ()tft从而ℒ()()tftFs(),Fsℒ()ftℒ1()()Fstftℒ1()()fttFs这个性质表明，一个函数求导后取拉普拉斯变换，等于这个函数的拉普拉斯变换乘以参数再减去这个函数的初值s【例9】求函数sintkt解因为同理,ℒ2222222cosdssktktdsskskℒℒ22sinkktsk所以,ℒ222222sindkkstktdssksk5积分性质若0()[()]tFsftdtsℒ则10()()tFsftdtsℒ(),Fsℒ()ft（1）象原函数的积分性质一般地0001[()]()tttnndtdtftdtFss次ℒ且积分收敛若()[]()sftFsdstℒ则11()()sftFsdstℒ(),Fsℒ()ft（2）象函数的积分性质一般地()[]()nsssnftdsdsdsFst次ℒ()sFsds或推论若则(),Fsℒ()ft且积分收敛()sFsds00()()ftdtFsdst【例10】求ℒ0sinttdtt解因为ℒ21sin1ts所以0sinarctan2ttdtstℒ2sin1[]arctanarctan12sstdssstsℒ2000sin1arctan12tdtdssts亦可得拉普拉斯还有一些其他性质，如相似性质若=ℒ()Fs()ft0a则ℒ()fat1sFaaℒ1()()sFafata有兴趣者可以查阅相关书籍第8章拉普拉斯变换8.2拉普拉斯变换的逆变换求拉普拉斯逆变换的方法主要有留数法、部分分式法、查表法等.查表法是一种简单、快速、有效的求拉普拉斯逆变换的基本方法,但是它局限于表中类型.根据拉普拉斯变换的定义102jstjftFsedstj右端的积分称为拉氏反演积分.它是一个复变函数的积分,但计算比较麻烦.8.2.1利用部分积分法求拉普拉斯逆变换在用拉普拉斯变换解决工程技术中的应用问题时，经常遇到的象原函数是有理分式，一般可将其分解为部分分式之和，然后再利用拉普拉斯变换表求出象原函数.【例1】求的拉普拉斯逆变换.解先将函数分解为部分分式之和6592ssssF323596592sBsAssssss用待定系数法求得所以则有67B,A36276592ssssstteessssssstf3211121673162173627659　　　　　　　　ℒℒℒℒ8.2.2利用拉普拉斯变换表和性质求拉普拉斯逆变换()()nnts22cossktsk一些常用函数的拉氏变换()1t1()uts1ktesk1!nnnts22sinkktsk拉氏逆变换的性质1()()sftFsdstℒ11212()()()()FsFsftftℒ1()()sFafataℒ0100()()()steFsfttuttℒ1()()atFsafteℒ1()()Fstftℒ11212()()()()FsFsftft10()()tFsftdtsℒℒ【例2】已知11Fsss求()ft解11111Fsssss所以1tfte【例3】已知211sFses求()ft解所以sin11fttutℒ121sin1tsℒ01000()()(),1steFsfttuttt325sssFss【例4】已知求()ft解所以5ftttt322551sssFsssss22529sFss【例5】已知求()ft解所以2212cos3sin33ttftetet222222225133292323ssFssss利用留数定理求拉氏逆变换，可以参考第5章及相关书籍.第8章拉普拉斯变换8.3拉普拉斯变换的应用8.3.1常系数线性微分方程的拉普拉斯变换解法利用拉普拉斯变换可以比较方便地求解常系数线性微分方程（或方程组）的初值问题,其基本步骤如下:（1）根据拉普拉斯变换的微分性质和线性性质,对微分方程（或方程组）两端取拉普拉斯变换,把微分方程化为象函数的代数方程;（2）从象函数的代数方程中解出象函数;（3）对象函数求拉普拉斯逆变换,求得微分方程（或方程组）的解.【例1】求微分方程23tyyye满足初始条件00y01y的解解设ℒ()ytYs对方程两边取拉氏变换,并考虑到初始条件,则得211231sYssYsYss3112884()113113sYsssssss解得所以3131488tttyteee8.3.2电路问题的拉普拉斯变换解法【例8.2】在RLC电路中。串接直流电源E(如图).求回路电流解根据基尔霍夫定律，有其中即tiRLCUUUEdtdUCti,tiRUR　　　tCdttiCU01而将它们代入上式可得两边取拉普拉斯变换，设，则有解出，得求的拉普拉斯逆变换，得dt)t(diLUL00010)(i)(i,Edt)t(diL)t(iRdt)t(iCtsItisIsEsLsIsRsICs1CRsLsECsRLssEsI112sIsIti1　　ℒℒ特别地，若则查表得10211E,L,R,C22224741477458741210121011210ssssssssItsinetsinetitt47720477454141