复变函数与积分变换课堂PPT第五章

第五章留数§1孤立奇点§2留数§3留数在定积分计算上的应用§1孤立奇点1.可去奇点2.极点3.本性奇点4.函数的零点与极点的关系5.函数在无穷远点的性态在第二章曾定义函数不解析的点为奇点。如果函数f(z)虽在z0不解析,但在z0的某个去心邻内处处解析,则z0为f(z)的孤立奇点。函数的奇点都是孤立的。例如都以z=0为孤立奇点。但不能认为的一个奇点，此外当n的绝对值逐渐增大时,可任意接近z=0。域例如函数，z=0是它也是它的奇点。换句话说,在z=0的不论怎样小的去心领域内总有f(z)的奇点存在。所以z=0不是孤立奇点。把函数f(z)在它的孤立奇点z0的去心邻域内展开成洛朗级数。根据展开式的不同情况对孤立奇点进行如果在洛朗级数中不含点z0称为f(z)的可去奇点。这时,f(z)在z0的去心邻域内的洛朗级数实际上就是一个普通的幂级数：的负幂项，则孤立奇1.可去奇点如下分类。因此,这个幂级数的和函数F(z)是在z0解析的函数,且时,F(z)=f(z);当z=z0时,F(z0)=c0。由于当从而函数f(z)在z0就成为解析的了.由于这个原因,所以z0称为可去奇点。所以不论f(z)原来在z0是否有定义,如果令f(z0)=c0,则在圆域内就有例如，z=0是的可去奇点，因为这个函数在z=0的去心领域内的洛朗级数中不含负幂项。如果约定在z=0的值为1(即c0)，则在z=0就成为解析的了。2.极点其中如果在洛朗级数中只有有限多个其中关于,即则孤立奇点z0称为函数f(z)的m级极点。上式也可写成的负幂项,且的最高幂为在内是解析的函数,且。反过来,当任何一个函数f(z)能表示为(5.1.1)的形式,且g(z0)0时,则z0是f(z)的m级极点。如果z0为f(z)的极点,由(5.1.1)式,就有例如，对有理分式函数它的三级极点，是它的一级极点。或写作,z=1是3.本性奇点中含有无穷多个z的负幂项。如果在洛朗级数中含有无穷多个孤立奇点z0称为f(z)的本性奇点。的负幂项,则例如，函数以z=0为它的本性奇点。因为在级数在本性奇点的邻域内,f(z)有以下性质(证明从略):在本性奇点的邻域内,f(z)有以下性质(证明从略):如果z0为函数f(z)的本性奇点,则对任意给定的复数A,总可以找到一个趋向于z0的数列,当z沿这个数列趋向于z0时,f(z)的值趋向于A。。则由，可得,显然，当时，，所以，当z沿趋向于i。而趋向于零时，f(z)的值例如,给定复数A=i,可把它写成存在且有限；如果z0为f(z)的极点，则如果z0为f(z)的本性奇点，则不存在且不为反过来结论也成立。这就是说，可以利用上述极限的；。不同情形来判别孤立奇点的类型。综上所述,如果z0为f(z)的可去奇点，则4.函数的零点与极点的关系不恒等于零的解析函数f(z)如果能表示成其中f(z)的m级零点。例如当级零点,根据这个定义,可以得到以下结论：若f(z)在z0解析，则z0是f(z)的m级零点的充要在z0解析且,m为某一正整数,则z0称为时,z=0与z=1是它的一级与三条件是事实上，如果z0是f(z)的m级零点，那么f(z)可表成如下形式：其中,那么f(z)在z0的泰勒展开式为设在z0的泰勒展开式为易证z0是f(z)的m级极点的充要条件是前m项系数从而知z=1是f(z)的一级零点。如z=1是f(z)=z3-1的零点，由于f'(1)=3z2|z=1=30,,这等价于顺便指出，由于在z0的去心邻域内不为零，即的邻域内不为零。这是因为解析函数的零点是孤立的。，必存在，由此得时，有在z0解析且因而它在z0在z0解析,必在z0连续,所以给定，当所以不恒为零，只在z0等于零。也就是说，一个不恒为零的定理如果z0是f(z)的m级极点，则z0就是的m级[证]如果z0是f(z)的m级极点，则有零点，反过来也成立。其中g(z)在z0解析，且m级极点，则有。所以当时，有函数h(z)也在z0解析，且。又由于因此只要令，则可得z0是的m级零点。反过来，如果z0是的m级零点，那么这里在z0解析，且，由此，当时，得而在z0解析，并且，所以z0是f(z)的m级极点。这个定理为判断函数的极点提供了一个较为简单的方法。例1函数有些什么奇点？如果是极点，指出它的级。[解]函数1/sinz的奇点显然是使sinz=0的点。这些奇点是。因为从sinz＝0得或。显然它们是孤，从而有，所以立奇点。由于所以都是sinz的一级零点,也就是点。的一级极注意：在求函数的孤立奇点时，不能一看函数表面极点，其实是一级极点。因为其中的z=0解析，并且.类似地，z=0是的2级极点而不是3级极点。形式急于作结论。像函数，初看似乎z=0是它的2级例下列函数有些什么奇点？如果是极点，指出它的级。[解](1)显然是三级极点，是二级极点。所以是可去奇点。例下列函数有些什么奇点？如果是极点，指出它的级。[解](3)显然是函数的奇点。所以是六级极点。又5.函数在无穷远点的性态如果函数f(z)在无穷远点z=的去心邻域R|z|内解析，称点为f(z)的孤立奇点。作变换规定这个变换把扩充z平面上的无穷远点扩充t平面上的点，并且映射成，则扩充z平面上每一个向无穷到现在为止，讨论函数f(z)的解析性和它的孤立奇点时，都设z为复平面内的有限远点。至于函数在无穷远点的性态，尚未提及。现在在扩充复平面上对此加以讨论。与扩充t平面上向零收敛的序列对应。反过来也是这样。无穷远点收敛的序列相对应。反过来也是这样。同时，把扩充z平面上的去心领域映射成扩充t平面上原点的去心领域，又这样，可把在去心领域对f(z)的研究化为在内对的研究。显然在内解析，所以z=0是的孤立奇点。规定，如果t=0是本性奇点，则称点z=是f(z)的可去奇点，m级极点或本性奇点。由于f(z)在R|z|+内解析，所以在此圆环域内可以展开成洛朗级数,即有的可去奇点，m级极点或其中C为R|z|+内绕原点任何一条简单正向闭曲线。如果在上面级数中因此，在圆环域内的洛朗级数可由得到上式得到为为最高幂,i)可去奇点,则t=0是iii)含有无穷多的负幂项,ii)含有有限多的负幂项,且i)不含负幂项,的ii)m级极点,iii)本性奇点。因此，根据前面的规定，有：i)不含正幂项；ii)含有限多的正幂项,且zm为最高幂；iii)含有无穷多的正幂项；则z=是f(z)的i)可去奇点；ii)m级极点；iii)本性奇点。如果在级数中，这样一来，对于无穷远点来说，它的特性与其洛朗级数之间的关系就跟有限远点的情形一样，不过只是把正幂项与负幂项的作用互相对调就是了。例下列函数中，∞的奇点类型。[解](1)显然是二级极点，所以是二级极点。当z=∞，令，则例下列函数中，∞的奇点类型。[解]所以是本性奇点。由前面分析又知道，要确定t=0是不是去奇点，极点或本性奇点，可以不必把展开成洛值)，为无穷大或即不存在又不为无穷大数就可以了。，对于无穷远点也有同样的确定方法，即z=是f(z)的可去奇点,极点或本性奇点,完全看是否存在(有限值)，为无穷大或即不存在的可朗级数来考虑，只要分别看极限是否存在(有限又不是无穷大来决定。由于极限的，只要取当z=是f(z)的可去奇点,可以认为f(z)在是解析例如函数在圆环域内可展开成它不含正幂项,所以是f(z)的可去奇点。若取f()=1，则f(z)在解析。。又如函数项，所以为它的一级极点。含有无穷多的正幂项，所以是它的本性奇点。，含有正幂项，且z为最高正幂函数sinz的展开式：－1是f(z)的2级极点。例2函数类型的奇点？如果是极点，指出它的级。以1与-1为一级零点，所以1与因[解]易知，函数f(z)除使分母为零的点外，在内解析。零点。所以这些点中除去1,-1,2外都是f(z)的三级极点。在扩充平面内有些什么在由于处均不为零，因的一级零点，从而是此这些点都是的三级所以z=2是f(z)的可去奇点。关于，因为至于z=2，因为使分母为零，当n=1时，可知，即z=1；当n=2时，，即z=2。这两点上面已经讨也就是不是f(z)的孤立奇点。为论过。所以当n2时，的极点。显见当。所以不是时，的孤立奇点，例判定z=∞是下列函数的什么奇点？[解](1)所以是可去奇点。所以是本性奇点。所以是可去奇点。§2留数1.留数的定义及留数定理2.留数的计算规则3.在无穷远点的留数1.留数的定义及留数定理但是,如果z0为f(z)的一个孤立奇点,则沿在z0的某一般就不等于零。如果函数f(z)在z0的邻域内解析,那末根据柯西－古萨基本定理个去心邻域其中C为z0领域内任意一条简单闭曲线。内包含z0的任意一条正向简单闭曲线C的积分因此将f(z)在此邻域内展开为洛朗级数其中c-1就称为f(z)的留数,也就是上面积分两边除以后，两端沿C逐项积分,右端各项积分除留下的一项等于外,其余各项积分都等于零,所以后所得的数称为f(z)在z0的留数,记作Res[f(z),z0],即即从而有也就是说，f(z)在z0的留数就是f(z)在以z0为中心的圆环域内的洛朗级数中负幂项的系数。定理一(留数定理)设函数f(z)在区域D内除有限个Dz1z2z3znC1C2C3CnC孤立奇点z1,z2,...,zn外处处解析。C是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线,则关于留数，有下面的基本定理(k=1,2,...,n)用互不包含的正向[证]把在C内的孤立奇点zk简单闭曲线Ck围绕起来,则根据复合闭路定理有即利用这个定理，求沿封闭曲线C的积分，就转化为求被积函数在C中的各孤立奇点处的留数。由此可见，留数定理的效用有赖于如何能有效地求出是f(z)以除等式两边，得在孤立奇点处z0处的留数。一般说来,求函数在奇点z0处的留数即求它在以z0为中心的圆环域内洛朗级数中对求留数可能更有利。如果z0是f(z)的可去奇点,则Res[f(z),z0]=0,因为此时f(z)在z0的展开式是泰勒展开式。如果z0是本性奇点,则没有太好的办法,只好将其按洛朗级数展开。如果z0是极点,则有一些对求项的系数即可。但如果知道奇点的类型,110()czzc-1有用的规则。2.留数的计算规则规则II如果z0为f(z)的m级极点,则规则I如果z0为f(z)的一级极点,则事实上,由于以乘上式的两端，得令两端zz0,右端的极限是(m-1)!c-1,两端除以(m-1)!就是Res[f(z),z0],因此即得规则II,当m=1时就是规则I。两边求m-1阶导数，得规则III设，P(z)及Q(z)在z0都解析，则z0为f(z)的一级极点，而如果事实上，因为及，所以为Q(z)的一级零点，从而z0为的一级极点。因此其中在z0解析，且。故z0为f(z)的一级极点。由此得其中在z0解析，例1计算积分，C为正向圆周|z|=2。[解]由于有两个一级极点而这两个极点都在圆周|z|=2内，所以由规则I,得而根据规则I，令，即得规则III。所以因此我们也可以用规则III来求留数:这比用规则1要简单些.例求下各函数f(z)在有限奇点处的留数：[解](1)有两个一级极点方法一由规则I,得例求下各函数f(z)在有限奇点处的留数：[解](1)有两个一级极点方法二由规则III,得例求下各函数f(z)在有限奇点处的留数：[解](2)的极点为(一)为一级极点。所以例求下各函数f(z)在有限奇点处的留数：[解](2)的极点为(二)的一级极点，是从而是的二级极点，所以例求下各函数f(z)在有限奇点处的留数：[解](3)有一个n+1级极点方法一由规则II,得例求下各函数f(z)在有限奇点处的留数：[解](3)方法二将函数在上展开成洛朗级数，即所以有一个n+1级极点例求下各函数f(z)在有限奇点处的留数：[解](4)方法一将函数在上展开成洛朗级数，所以有一个4级极点例求下各函数f(z)在有限奇点处的留数：[解](4)方法二由规则II，取m比实际级数高，即m=5，有有一个4级极点例2计算积分，C为正向圆周|z|=2。[解]被积函数有四个一级极点都在圆周|z|=2内，所以由规则III，，故例3计算积分，C为正向圆周|z|=2。[解]z=0为被积函数的一