聚类分析课件.

1聚类分析2例对10位应聘者做智能检验。3项指标X，Y和Z分别表示数学推理能力，空间想象能力和语言理解能力。其得分如下，选择合适的统计方法对应聘者进行分类。应聘者12345678910X28181121262016142422Y29232223292322232927Z28181622262222242424§1什么是聚类分析3例16种饮料的热量、咖啡因、钠及价格四种变量4•聚类分析是根据“物以类聚”的道理，对样品或指标进行分类的一种多元统计分析方法，它们讨论的对象是大量的样品，要求能合理地按各自的特性来进行合理的分类，没有任何模式可供参考或依循，即是在没有先验知识的情况下进行的。•基本思想是根据事物本身的特性研究个体分类的方法；•聚类原则是同一类中的个体有较大的相似性，不同类中的个体差异较大。5•基本程序：根据一批样品的多个观测指标，具体地找出一些能够度量样品或指标之间距离或相似程度的统计量，然后利用统计量将样品或指标进行归类。•具体进行聚类时，由于目的、要求不同，因而产生各种不同的聚类方法：（1）由小类合并到大类的方法（2）由大类分解为小类的方法（3）静态聚类法、动态聚类法（4）按样本聚类（Q）、按指标聚类（R）6思考：1、样本点之间按什么刻画距离或相似程度2、样本点和类之间按什么刻画距离或相似程度3、类与类之间按什么来刻画距离或相似程度7一、数据的变换处理所谓数据变换，就是将原始数据矩阵中的每个元素，按照某种特定的运算把它变成为一个新值，而且数值的变化不依赖于原始数据集合中其它数据的新值。1、中心化变换中心化变换是一种坐标轴平移处理方法，它是先求出每个变量的样本平均值，再从原始数据中减去该变量的均值，就得到中心化变换后的数据。设原始观测数据矩阵为：npnnppxxxxxxxxx212222111211X§2相似系数和距离8jijijxxx*),,3,2,1;,,3,2,1(pjni中心化变换的结果是使每列数据之和均为0，即每个变量的均值为0，而且每列数据的平方和是该列变量样本方差的(n—1)倍，任何不同两列数据之交叉乘积是这两列变量样本协方差的(n—1)倍，所以这是一种很方便地计算方差与协方差的变换。92、极差规格化变换规格化变换是从数据矩阵的每一个变量中找出其最大值和最小值，这两者之差称为极差，然后从每个变量的每个原始数据中减去该变量中的最小值，再除以极差，就得到规格化数据。即有：jniijijijRxxx,,2,1*)min(),,3,2,1;,,3,2,1(pjniniijijnijxxR,,2,1,,2,1)min()(max10*ijx10经过规格化变换后，数据矩阵中每列即每个变量的最大数值为1，最小数值为0，其余数据取值均在0－1之间；并且变换后的数据都不再具有量纲，便于不同的变量之间的比较。3、标准化变换标准化变换也是对变量的数值和量纲进行类似于规格化变换的一种数据处理方法。首先对每个变量进行中心化变换，然后用该变量的标准差进行标准化。即有：jjijijSxxx*),,3,2,1;,,3,2,1(pjninijijjxxnS12)(1111经过标准化变换处理后，每个变量即数据矩阵中每列数据的平均值为0，方差为1，且也不再具有量纲，同样也便于不同变量之间的比较。变换后，数据短阵中任何两列数据乘积之和是两个变量相关系数的（n－1）倍，所以这是一种很方便地计算相关矩阵的变换。4．对数变换对数变换是将各个原始数据取对数，将原始数据的对数值作为变换后的新值。即：)log(*ijijxx12二、样品间亲疏程度的测度研究样品或变量的亲疏程度的数量指标有两种，一种叫相似系数，性质越接近的变量或样品，它们的相似系数越接近于1或一l，而彼此无关的变量或样品它们的相似系数则越接近于0，相似的为一类，不相似的为不同类；另一种叫距离，它是将每一个样品看作p维空间的一个点，并用某种度量测量点与点之间的距离，距离较近的归为一类，距离较远的点应属于不同的类。13变量之间的聚类即R型聚类分析，常用相似系数来测度变量之间的亲疏程度。而样品之间的聚类即Q型聚类分析，则常用距离来测度样品之间的亲疏程度。141、定义距离的准则定义距离要求满足第i个和第j个样品之间的距离如下四个条件（距离可以自己定义，只要满足距离的条件）;0成立和对一切的jidij;0成立当且仅当jidij;0成立和对一切的jiddjiij.成立和对于一切的jidddkjikij15把n个样本点看成p维空间的n个点•（1）绝对距离（Block距离）•（2）欧氏距离(Euclideandistance)pkjkikijxxd112112)(2pkjkikijxxd2、常用距离的算法16•（3）闵可夫斯基距离(Minkowski)•（4）兰氏距离•（5）马氏距离•（6）切比雪夫距离(Chebychev)qpkqjkikijxxd11)(pkjkikjkikijxxxxLd1211jijiijxxSxxMdjkikpkijxxd1max)(17(3)闵可夫斯基距离主要有以下两个缺点：①闵氏距离的值与各指标的量纲有关，而各指标计量单位的选择有一定的人为性和随意性，各变量计量单位的不同不仅使此距离的实际意义难以说清，而且，任何一个变量计量单位的改变都会使此距离的数值改变从而使该距离的数值依赖于各变量计量单位的选择。②闵氏距离的定义没有考虑各个变量之间的相关性和重要性。实际上，闵可夫斯基距离是把各个变量都同等看待，将两个样品在各个变量上的离差简单地进行了综合。18(5)马氏距离这是印度著名统计学家马哈拉诺比斯(P．C．Mahalanobis)所定义的一种距离，其计算公式为：)()(2ji1jixxxxijd分别表示第i个样品和第j样品的p指标观测值所组成的列向量，即样本数据矩阵中第i个和第j个行向量的转置，表示观测变量之间的协方差矩阵。在实践应用中，若总体协方差矩阵未知，则可用样本协方差矩阵作为估计代替计算。19马氏距离又称为广义欧氏距离。显然，马氏距离与上述各种距离的主要不同就是马氏距离考虑了观测变量之间的相关性。如果假定各变量之间相互独立，即观测变量的协方差矩阵是对角矩阵，则马氏距离就退化为用各个观测指标的标准差的倒数作为权数进行加权的欧氏距离。因此，马氏距离不仅考虑了观测变量之间的相关性，而且也考虑到了各个观测指标取值的差异程度，为了对马氏距离和欧氏距离进行一下比较，以便更清楚地看清二者的区别和联系，现考虑一个例子。2019.09.01,002N19.09.0119.011两点。和设)1,1()1,1(BA05.1)(MdA20)(MdB2)(UdA2)(UdB例如，假设有一个二维正态总体，它的分布为：213、相似系数的算法（1）相似系数设和是第和个样品的观测值，则二者之间的相似测度为:ipiixxx,,,21ix),,,(21jpjjxxxjxijpkpkjjkiikpkjjkiikijxxxxxxxx11221])(][)([))((其中22（2）夹角余弦夹角余弦时从向量集合的角度所定义的一种测度变量之间亲疏程度的相似系数。设在n维空间的向量niiiixxx,,,21xnjjjjxxx,,,21xnknkkjkinkkjkiijijxxxxc11221cos221ijijCd234、距离和相似系数选择的原则一般说来，同一批数据采用不同的亲疏测度指标，会得到不同的分类结果。产生不同结果的原因，主要是由于不同的亲疏测度指标所衡量的亲疏程度的实际意义不同，也就是说，不同的亲疏测度指标代表了不同意义上的亲疏程度。因此我们在进行聚类分析时，应注意亲疏测度指标的选择。通常，选择亲疏测度指标时，应注意遵循的基本原则主要有：24(1)所选择的亲疏测度指标在实际应用中应有明确的意义。如在经济变量分析中，常用相关系数表示经济变量之间的亲疏程度。25(2)亲疏测度指标的选择要综合考虑已对样本观测数据实施了的变换方法和将要采用的聚类分析方法。如在标准化变换之下，夹角余弦实际上就是相关系数；又如若在进行聚类分析之前已经对变量的相关性作了处理，则通常就可采用欧氏距离，而不必选用斜交空间距离。此外，所选择的亲疏测度指标，还须和所选用的聚类分析方法一致。如聚类方法若选用离差平方和法，则距离只能选用欧氏距离。26(3)适当地考虑计算工作量的大小。实践中，在开始进行聚类分析时，不妨试探性地多选择几个亲疏测度指标，分别进行聚类，然后对聚类分析的结果进行对比分析，以确定出合适的亲疏测度指标。27三、样本点与类、类与类之间的度量最短距离（NearestNeighbor)x21•x12•x22•x11•13d28最长距离（FurthestNeighbor）•••x11•x21••••12d29••••••991dd组间平均连接（Between-groupLinkage)30组内平均连接法（Within-groupLinkage)1234566ddddddx21•x12•x22•x11•31重心法（Centroidclustering):均值点的距离••11,xy22,xy32离差平方和法连接2，41，56，522(23)(43)222(65.5)(55.5)0.522(13)(53)833红绿（2，4，6，5）8.75离差平方和增加8.75－2.5＝6.25黄绿（6，5，1，5）14.75离差平方和增加14.75－8.5＝6.25黄红（2，4，1，5）10－10＝0故按该方法黄红距离最近。34•系统聚类法（层次聚类法）：在聚类分析的开始，每个样本自成一类；然后，按照某种方法度量所有样本之间的亲疏程度，并把最相似（近）的样本首先聚成一小类；接下来，度量剩余的样本和小类间的亲疏程度，并将当前最接近的样本或小类再聚成一类；再接下来，再度量剩余的样本和小类间的亲疏程度，并将当前最接近的样本或小类再聚成一类；如此反复，直到所有样本聚成一类为止。越是后来合并的类，距离就越远。§3系统聚类方法351、根据样品的特征，规定样品之间的距离，共有个。将所有列表，记为D（0）表，该表是一张对称表。所有的样本点各自为一类。2、选择D（0）表中最小的非零数，不妨假设，于是将和合并为一类，记为。pqdpGqGqprGGG，2nCijd（一）方法开始各样本点自成一类。363、利用递推公式计算新类与其它类之间的距离。分别删除D（0）表的第p，q行和第p，q列，并新增一行和一列添上的结果，产生D（1）表。374、在D（1）表再选择最小的非零数，其对应的两类有构成新类，再利用递推公式计算新类与其它类之间的距离。分别删除D（1）表的相应的行和列，并新增一行和一列添上的新类和旧类之间的距离。结果，产生D（2）表。类推直至所有的样本点归为一类为止。38（二）常用的种类1、最短距离法设抽取五个样品，每个样品只有一个变量，它们是1，2，3.5，7，9。用最短距离法对5个样品进行分类。首先采用绝对距离计算距离矩阵：)0(D1G2G3G4G5G1G2G3G4G5G0102.51.50653.50875.52039然后和被聚为新类，得：1G2G6G)1(D6G3G5G3G4G01.5053.5075.5206G4G5G4003.505.5207G4G5G7G4G5G4103.508G7G8G7G42各步聚类的结果：(1,2)(3)(4)(5)(1,2,3)(4)(5)(1,2,3)(4,5)(1,2,3,4,5)43最短距离法的递推公式qpijpqGGdMinDjixx，：定义距离：qplDD