电磁场基础钟顺时习题答案

第1章矢量分析1.1/1.1-1矢径zzyyxxrˆˆˆ与各坐标轴正向的夹角分别为,,。请用坐标(x,y,z)来表示,,,并证明1coscoscos222[解]cosˆcosˆcosˆˆˆˆˆ222zyxzyxzzyyxxrrr222222222cos,cos,coszyxzzyxyzyxx1coscoscos222,得证.1.2/1.1-2设xy平面上二矢径ar、br与x轴的夹角分别为、，请利用barr证明sinsincoscos)cos(。[解]设sinˆcosˆaaaryrxrsinˆcosˆbbbryrxr则sinsincoscosbababarrrrrr因ar、br夹角为,如图所示,有)cos(babarrrr比较上二式得sinsincoscos)cos(,得证.1.3/1.1-3zyxAˆ9ˆˆ，3ˆ4ˆ2ˆzyxB，求：(a)BA;(b)BA;(c)BA[解](a)BA=4ˆ5ˆˆ)31(ˆ)49(ˆ)21(ˆzyxzyx(b)BA=3533623ˆˆ4ˆ9ˆ2ˆˆzzyyxx(c)342191ˆˆˆzyxBA14ˆ5ˆ31ˆ)184(ˆ)32(ˆ)427(ˆzyxzyx1.4/1.1-4用两种方法求1.1-3题矢量A和B的夹角。[解1]cosABBA7134.02983359164181135cosABBA49.44[解2]sinˆABnBA7008.029.831182298314531sin222ABBA44.49[解3]222222222cos1544283294235cos0.7134228329240744.49ABABABABABAB1.5/1.1-5设czbyxAˆˆˆ，8ˆ3ˆˆzyxB，若使(a)BA，或(b)BA//，则b和c应为多少？[解](a)BA,则0,AB故13807,813,;2,;8ABbcbccbbc1满足即可如:b=1,c=2(b)BA//,则0AB,故03ˆ8ˆ38ˆ8311ˆˆˆbzcycbxcbzyxBA8308030bccb得b=3,c=-81.6/1.1-6设czbyaxBzyxAˆˆˆ,3ˆ6ˆ9ˆ，为使BA//，且B的模B=1，请确定a、b、c。[解]BA//,则0AB,故069ˆ93ˆ36ˆcba369ˆˆˆabzcaybcxzyxBA2030320cbacba即cacb32又因22221Babc,得21(941)1,14cc123123,,,,141414141414cbacba或1.7/1.1-7已知三个矢量如下：zyxAˆ3ˆ2ˆ，4ˆˆzxB，5ˆ2ˆzxC，请用两种方法计算(a))(CBA；(b))(CBA；(c)CBA)(。[解](a)1.3ˆ8ˆ5ˆyyyCB93ˆˆ3ˆ2ˆyzyxCBA2.12ˆ3ˆ18ˆxzyBA915243ˆ7ˆ12ˆ5ˆ2ˆzyxzxBACCBA(b)1.6ˆ3ˆ3ˆˆ3ˆ2ˆ)(zxyzyxCBA2BACCABCBA)(.6ˆ3ˆ30ˆ12ˆ36ˆ9ˆ425ˆ2ˆ544ˆˆzxzxzxzxzx(c)1.5ˆ2ˆ3ˆ7ˆ12ˆzxzyxCBA14ˆ66ˆ35ˆ35ˆ14ˆ660ˆzyxxzy2.ACBBCABACCBA14ˆ66ˆ35ˆ36ˆ9ˆ22ˆ66ˆ44ˆ94ˆˆ22ˆ3ˆ2ˆzyxzxzyxzxzyx1.8/1.2-1已知2ˆˆ2ˆzzxyyxxA，2ˆˆxyyxB，在点（2，1，2）处，试求：(a)A;(b)B;(c))(BA。[解](a)zxzzyxyxxA22)2(284222,1,2A(b)02yxxyB(c)22223ˆˆˆ2ˆzxxyzyxyzxzBA222322222zxzzxyxyyzxzx122222222,1,2BA1.9/1.2-2设zzyyxxA3ˆˆ2ˆ，22yx，请用两种方法计算)(A在（1，2，3）点的值。[解]1.zzyyxxyxA3ˆˆ2ˆ2222222232yxzzyxyyyxxxA2222222281032222yxyxyyyxxxyx4232103,2,1A2.AAA222222228102462ˆ2ˆ3ˆˆ2ˆ32yxyxyxyyxxzzyyxxzzyyxxyx4232103,2,1A1.10/1.2-3已知矢径zzyyxxrˆˆˆ,21222)(zyxr，试证:(a)0)(3rr;(b)nnrnrr)3()(。[证](a)033ˆˆˆ3222222212222322223222232222322232322223222232223zyxzyxzyxzyxzyxzzzyxyyzyxxxrrzyxzzzyxyyzyxxxrr(b)nnnrrrrrr2122222222ˆˆˆ223nnnnnrrzzyyxxzyxnzyxrzzyyxxrnnnnrnnrrrrrr3321.11/1.2-4设电场强度yzzxyyxxEˆˆˆ2,对直角坐标系第一象限内的正立方体，每边均为单位长，其中一个顶点位于坐标原点，请验证散度定理成立。[证]参看图1.2-5,但各边长为1,则2212332101010dxdydzyxdvyxxdvAvvdxdzyzzxyxxdydzxyzzdydzxyzzyyxsdAsˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ1010210101010dxdyzxyyxxdxdyzyzxyyxxdxdzyxxˆˆˆˆˆˆˆˆˆ101021010210102221211上二积分结果相同,故vssdAdvA1.12/1.2-5应用散度定理计算下述积分：sdzyxyzzyxyxzxIs)]2(ˆˆˆ[2322,s是z=0和21222)(yxaz所围成的半球区域的外表面，球坐标体积元为drdrdrsin2。[解]dvzyxyzzyxyxzxIv23222ˆˆˆ520002020532222522cos51sinarddrdrrdvyxzaav1.13/1.3-1设yxyyxxA1)ˆˆ(，求点（1，0，0）处的旋度及沿2/)ˆˆ(ˆ1zyl方向和2/)ˆˆ(ˆ2yxl方向的环量面密度。[解]yAxAzXAzAyzAyAxAxyZxyzˆˆˆyxzyxxyz1ˆˆ2zAˆ0,0,121ˆ0,0,11lA0ˆ0,0,12lA1.14/1.3-2求下列矢量场的旋度：(a)zzyyxxA3ˆ2ˆˆ2；(b))(ˆ)(ˆ)(ˆ222222xzzzyyyxxB。[解](a)02ˆ3ˆ23ˆ22xyyxzzxxzyyzzyxA(b)222222222222ˆˆˆyxyzyxzxzxyxzyzyzxzyxByzxyzxyzxyzxˆˆˆ22ˆ2ˆ2ˆ1.15/1.3-3设常矢量zyxczcycxcˆˆˆ，矢径zzyyxxrˆˆˆ，试证crc2)([证]xcyczzcxcyyczcxrcyxxzzyˆˆˆCcczccyccxxcyczcxcyczczyxzyxrczzyyxxyxxzzy2ˆˆˆˆˆˆ1.16/1.3-4已知zzyyxxrˆˆˆ,21222)(zyxr，试证(a)0ˆr;(b)0)](ˆ[rfr，rrrˆ，)(rf是r的函数。[证](a)212222122221222ˆˆˆˆzyxzzyxyzyxxzyxzyxrrr0222ˆ222ˆ222ˆ232222322223222zyxyxxyzzyxxzzxyzyxzyyzx(b)212222122221222ˆˆˆˆzyxrzfzyxryfzyxrxfzyxzyxrfr2222322221222212222322222222222ˆzyxzrfyzyxzryfzyxyzyxrfzzyxyrzfx222232222222322222222222ˆzyxxrfzzyxxrzfzyxzrfxzyxzrxfy022222222ˆ2222322222223222zyxyrfxzyxyrxfzyxxrfyzyxxryfz1.17/1.3-5设xyxyxA2ˆˆ，试计算面积分ssdAI)(，s为xy平面第一象限内半径为3的四分之一圆，即x的积分限为(0,29y),y的积分限为（0,3）,并验证斯托克斯定理。[解]2ˆ02ˆˆˆxzxxyzyxzyxAdxdyxdszxzIyS290302ˆ2ˆ2191sin96272273sin29922612992921