胡广书《现代信号处理教程》第二章

第2章短时傅立叶变换与Gabor变换2.1连续信号的短时傅立叶变换2.2短时傅立叶反变换2.3离散信号的短时傅立叶变换2.4Gabor变换的基本概念2.5临界抽样时连续信号展开系数的计算2.6过抽样情况下连续信号展开系数的计算2．1连续信号的短时傅立叶变换（ShortTimeFourierTransform，STFT）*,,STFT(,)()()(),()xtttxgdxg)()(2RLtx其STFT定义为:式中1||)(||g窗函数应取对称函数。*STFT(,)()()(),()jxjtxgtedxgte概念：,()()jtggte)()(3tgxτx(τ)0)()(1tgx)()(2tgx1t2t3tFTFTFTΩ01t2t3tt的频谱的形状取决于，接近于有限支撑的。而频率中心由来决定，这样，利用STFT可实现对时－频定位的功能。由于是窗函数，因此它在时域应是有限支撑的;同理，在时域也是有限支撑的;由于在频域是线谱，所以STFT的基函数()g()xt,()()()()()()()jjtjtjtjtGgteedegtedtGe,()()jtggtejeje,,()()()jttggteGv()Gv,,*()1(),()(),()21()()2ttjtxtgXGXGed由于*1STFT(,)()()2jtjtxteXGed所以：STFT的频域表达式对在时域加窗对在频域加窗()x()gt()Xv()Gv等效有了时－频定位功能，下面再关心其时－频分辨率。时—频分辨率时间中心由的中心位置所决定，即0()g12,,,nttt频率中心由G(v)的中心决定，即0v12,,,ndg222|)(|时宽：与时移无关tdG22212|)(|带宽：与频移无关思考：各与什么有关时间中心在处频率中心在处分辨“细胞”为Ω2Ω1)(,vGt)(,vGtvv1t2t,()tg,()tgvktlSTFT的基函数分辨“细胞”和无关，即不论和处在何处，分辨细胞的形状都保持不变。这是STFT的特点。ktlktl,()()lkljtkggte该例说明，STFT的时间分辨率由窗函数的宽度而决定。令，可以求出其)()(0x000STFT(,)()()()jxjtgtedgte)(g例1STFT的频率分辨率由频谱的宽度来决定。若，则0)(jex00()0STFT(,)()()jjxjttegtedGe)(g例2若，则，这时，STFT减为简单的FT，这将给不出任何的时间定位信息。其实，由于为无限宽的矩形窗，故等于没有对信号作截短。1)(g)()(GSTFT(,)()xtX)(g-0.500.5RealpartSignalintime084168LinearscaleEnergyspectraldensity2040608010012000.10.20.30.4|STFT|2,Lh=63,Nf=64,lin.scale,contour,Thld=5%Time[s]Frequency[Hz]例3高斯Chirp调制信号令，则)()(gSTFT(,)()jtxtxte例4-0.500.5RealpartSignalintime084167LinearscaleEnergyspectraldensity2040608010012000.10.20.30.4|STFT|2,Lh=0,Nf=64,lin.scale,contour,Thld=5%Time[s]Frequency[Hz]可准确地实现时域定位，但无法实现频域定位。例5设由两个时频“原子”构成,一个时间中心在处，时宽是32，另一个时间中心在处时宽也是32，调制信号的归一化频率都是0.25。选择为Hanning窗)(g-0.500.51RealpartSignalintime020454091LinearscaleEnergyspectraldensity2040608010012000.10.20.30.4|STFT|2,Lh=27,Nf=64,lin.scale,contour,Thld=5%Time[s]Frequency[Hz]-0.500.51RealpartSignalintime020454091LinearscaleEnergyspectraldensity2040608010012000.10.20.30.4|STFT|2,Lh=6,Nf=64,lin.scale,contour,Thld=5%Time[s]Frequency[Hz]窗函数的宽度为13窗函数的宽度为55()xt150t290t22STFT(,)()()(,)jxxtxgtedSt谱图是恒正的，且是实的。1||)(||gxxEdtdtS),(概念：“谱图（spectrogram）”由于所以谱图是信号能量的分布。若，则tjetxty0)()(0STFT(,)STFT(,)yxtt),(),(0tStSxy若，则)()(0ttxty00STFT(,)STFT(,)jtyxttte),(),(0ttStSxySTFT和谱图的性质2.2短时傅立叶反变换短时傅里叶反变换有不同的表示形式：STFT(,)()()jxtxgted取反变换1STFT(,)2jxted左边＝()1()()2jxgtedd右边()()()()()xgtdxgtlett1()STFT(,)2(0)jtxxttedgSTFT的一维反变换表示STFT的二维反变换来表示：1()STFT(,)()2jxxtgtedtd用的对偶函数来表示()gt()ht1()STFT(,)()2jxxthtedtd1)()(*dtthtg1()STFT(,)2(0)jtxxttedg区别STFT(,)()()jxtxgted2.3离散信号的短时傅立叶变换*STFT(,)()()jnxnmxngnmNeDTFT2*STFT(,)()()MjnkxknmxngnmNeDFT*2,()()()kkletxngnmNxnM210STFT(,)()MMjnkxnmkxneNM是在时间轴上窗函数移动的步长，是一个周期的分点数。(2)：窗函数移动的序号m窗函数宽度2.4Gabor变换的基本概念,,2,()()()mnmnmnjmbtmnmnxtChtChtnae早在1946年，Gabor就提出：可用时－频平面上离散栅格上的点来表示一个连续的一维信号：banambt：栅格的时间长度：栅格的频率长度ab,,()()mnmnmnxtCht,mnCGabor展开系数；()ht母函数2,()()jmbtmnhthtnae展开的基函数()ht()hta()htna0anattt()exp(2)htajbt()exp(2)htajmbt移位＋调制1.如何选择a和b？2.如何选择母函数3.如何求Cm,n?4.是否任一能量有限信号都可作Gabor分解？()ht5.时－频平面离散栅格上的任一个二维函数是否都唯一地对应一个一维的信号？如果，即栅格过稀，我们将缺乏足够的信息来恢复原信号；如果过小，必然会出现信息的冗余。类似于对一维抽样时抽样频率过大的情况。1abab：临界抽样（CriticalSampling）：欠抽样（Undersampling）：过抽样（Oversampling）1ab1ab欠抽样将引起信息的丢失，因此很少被研究；1abGabor最早提出：,,()()mnmnmnxtCht使用高斯窗取临界抽样临界抽样最简单；高斯窗满足不定原理的下限；高斯窗的傅里叶变换仍然是高斯的。原因但是，由于展开系数计算的困难，Gabor展开长期没有被重视；从1946年～1980年，人们也不断地提出一些计算的方法，但都不理想。直到Bastians于1980年提出了用“对偶”函数计算Gabor系数的方法，这一问题才初步的被解决。当时，考虑的是的临界情况1ab,,2,()()()mnmnmnjmbtmnmnxtChtChtnae2.5临界抽样情况下连续信号Gabor展开系数的计算如何计算2,()()jmbtmngtgtnae选择一母函数，移位加调制：()gt,*2,(),()()()mnjmbtmnxtgtxtgtnaedtC假定内积结果就是,,()()mnmnmnxtCht目标：找到的关系：(),()gtht,,(),()mnmnCxtgt,,*,,*,,()(),()()[()()]()()[()()]mnmnmnmnmnmnmnmnmnxtxtgthtxtgtdthtxtgthtdt*,,()()()mnmnmngthttt()ifxtthen*,,()()()mnmnmngthttt满足该条件的被认为是完备的，从而可实现对的准确重建。,()mnht()xt2()()jmbtmngthtnaedt双正交关系()()1gthtdt0ifmn求解Gabor系数的方法：（1）选择一个母函数；（2）求其对偶函数，使之满足双正交关系；（3）做内积，从而得到。()ht()gt,mnC,(),()mnxtgt可以证明，若矩形窗函数的宽度等于Gabor展开中移位的步长，那么该矩形窗的移位之间是正交的，其对偶函数仍是同样的矩形窗。对高斯窗1222()expthtTT可求出1232202121()exp211exp2nntTKtgtTTn01.85407468K式中()gt()ht可以看出，在临界抽样的情况下，尽管是高斯的，但却是非高斯的，而且完全不具备能量集中的性能。可以设想，用这样的对偶函数来重建原信号，重建结果将是不稳定的。()gt()ht*STFT(,)()()jxtxgted,STFT(,)mnxCmnGabor展开和STFT的关系即：Gabor系数是在离散栅格上求出的STFT1990年，Welex和Ras将对偶函数的概念扩展到过抽样的情况，即1ab02000()()jmbtmnabgthtnaedt时，用表示将会产生冗余。这说明不是正交的基函数，那么，将不唯一。为了讨论该问题，需要标架理论。用来研究构成标架的条件、边界A和B的计算、对偶标架的求解，直至导出的有效计算方法。1ab,mnC()xt,mnh,mnC,mng2.6过抽样情况下连续信号Gabor展开系数的计算临界抽样，线性独立，对偶函数存在，且唯一。有好的时－频定位，却不一定；1ab,()mnht()gt()ht,()mngt1ab欠抽样，基函数不完备，构不成标架；,()mnht简单的结论：1a