自动控制_05g章复习

第5章线性系统的频域分析法控制系统中的信号可以表示为不同频率正弦信号的合成，控制系统的频率特性反映正弦信号作用下系统响应的性能。5-2频率特性可对频率特性作如下定义：线性定常系统（或元件）的频率特性是零初始条件下稳态输出正弦信号与输入信号的复数比。若用表示，则有)(jG)185)......(()()()()(AeAjGj称为系统（元件）的频率特性，它描述了在不同频率下系统（或元件）传递正弦信号的能力。)(jG)(jG还可以用实数部分和虚数部分组成的复数形式进行描述，即)()()(jQPjG式中和分别称为系统（或元件）的实频特性和虚频特性。)(P)(QP图5-3频率特性在复平面上的表示由图5-3的几何关系知，幅频、相频特性与实频、虚频特性之间的关系为)()(arctan)()()()()(sin)()()(cos)()(22PQQPAAQAP2、频率特性和传递函数的关系设系统的输入信号、输出信号分别为，其拉氏变换分别为，则系统的传递函数为)()(tctr、)()(sCsR、)()()(sRsCsG则)()()(sRsGsC)195......()()(jssGjG3、频率特性的几何表示法在工程分析和设计中，通常把线性系统的频率特性画成曲线，再运用图解法进行研究。常用的频率特性曲线有三种：序号名称图形常用名坐标系1幅相频率特性曲线极坐标图、Nyquist图极坐标2对数幅频相频特性曲线对数坐标图、Bode图半对数坐标3对数幅相频率特性曲线对数幅相图Nichols图对数幅相坐标一、幅相频率特性曲线幅相频率特性曲线又称Nyquist曲线，由于它是在复平面上以极坐标的形式表示，故又称极坐标图。二、对数频率特性曲线对数频率特性曲线又叫Bode曲线。它由对数幅频特性和对数相频特性两条曲线所组成，是频率法中应用得最广泛的一组图线。Bode图是在半对数坐标系上绘制出来的。所谓半对数坐标，是指横坐标采用对数刻度，因而刻度是不均匀的，而纵坐标则采用线性的均匀刻度。Bode图中，对数幅频特性是的对数值和频率的关系曲线；对数相频特性是的相角和频率的关系曲线。)(jG)(lg20jG)(jG在画对数频率特性曲线时，必须掌握对数刻度的概念。横坐标上标的是的实际值，而坐标上的距离是按值的常用对数的大小来刻度的。因此坐标上任意的距离应为，而不是lg21、12lglg12图5-6对数分度图5-6中，P2至P1点的距离为：11lg10lgP3至P2点的距离为：110lg100lg12lg20lgP5至P4点的距离为：频率每变化10倍称为一个十倍频程或十进程，记作decade或简写为dec。每个十进程沿横坐标走过的间隔为一个单位长度，如图5-6所示。对数幅频特性的纵坐标为)(lg20)(AL称为对数幅值，单位是分贝。纵坐标按分贝做线性刻度。对数相频特性的纵坐标为相角，单位是度，因不取对数，故采用线性刻度。)(L)(三、对数幅相特性曲线对数幅相特性曲线又称Nichols曲线。绘有这一特性曲线的图形称为对数幅相图或Nichols图。对数幅相特性是由对数幅频特性和对数相频特性合并而成的曲线。由图5-7所示的Bode图求得的相应对数幅相特性如图5-8所示。图5-8对数幅相特性5-3.1、开环系统的典型环节分解一、典型环节)12/(122TssT由于开环传递函数的分子和分母多项式的系数都是实数，因此系统开环零极点或为实数或为复数。根据开环零极点可以将分子分母多项式进行因式分解，得典型环节。常见的典型环节有比例环节K，积分环节1/s，惯性环节1/(Ts+1)，比例微分环节1+τs，微分环节s，振荡环节，延迟环节se1、比例环节比例环节的传递函数为KsG)(其频率特性表达式为0)()()(QKPKjG→00arctan)(0)(2KKKA对数幅频特性为一水平线，相频特性与横坐标重合。比例环节的极坐标图为一点。二、典型环节的频率特性图5-9比例环节频率特性2、惯性环节惯性环节的传递函数为11)(TssG其频率特性的表达式为jTjG11)()()(11)1)(1(1)(22jQPTjTjTjTjTjG分母有理化：式中22221)(,11)(TTQTP故222211)()()(TQPATPQarctan)()(arctan)(由于TPQ)()(所以有22221111PQTP化简后有222)21()21(QP图5-10惯性环节的幅相频率特性所以，在复平面上，惯性环节的幅相频率特性是符合圆的方程，圆心在处，半径为1/2。)0,2/1(j其中1)(,0)(QP故90)()(arctan)(,1)(PQA3、积分环节积分环节的传递函数为ssG1)(其频率特性表达式为11)(jjjG图5-11积分环节的幅相频率特性4、振荡环节振荡环节的传递函数为222222121)(nnnssTssTsG其频率特性为nnnnnjjjjG2])(1[1)(2)()(2222直接利用幅角运算方法求和)(A)(222)2(])(1[1)(nnA2)(12arctan)(nn图5-12振荡环节的幅相频率特性5、微分环节（1）纯微分环节纯微分环节的传递函数为ssG)(其频率特性表达式为jjG)(从而得90)()(arctan)(,)(PQA)(,0)(QP其中图5-13微分环节的幅相频率特性故arctan)(,1)(22A(2)一阶微分环节其传递函数为ssG1)(其频率特性式jjG1)(其中)(,1)(QP图5-14一阶微分环节的幅相频率特性三、典型环节的对数频率特性对数频率特性由对数幅频特性和对数相频特性构成。对数幅频特性常采用分段直线来近似表示。1、比例环节的Bode图前面我们已求得比例环节0)(,)(KA所以KALlg20)(lg20)(图5-16比例环节的Bode图2、惯性环节的Bode图由于TTAarctan)(,11)(22所以22221lg2011lg20)(TTL利用上式可计算并描出较精确的对数幅频特性。但实际一般采用渐近线近似法。思路如下：在低频段，很小。当即时略去此时T11T22TdBL0)(在高频段，很大。当即时略去1。此时T11T)(lg20)(dBTL高频渐近线与低频渐近线在处相交，这交点处的频率称为交接频率。用渐进特性近似表示存在误差。T1)(01.3011lg20)(dBL这就是3分贝误差的由来伯德图如图5-18所示。图5-18惯性环节的Bode图3、积分环节Bode图已知1)(A90)(则lg201lg20)(L图5-19积分环节的Bode图4、微分环节的Bode图（1）纯微分环节已知90)(,)(A则lg20)(L图5-20纯微分环节的Bode图（2）一阶微分环节22221lg20)(,arctan)(,1)(LA利用渐近线分段表示对数幅频特性图5-20一阶微分环节的Bode图5、振荡环节Bode图2222)(12arctan)(,)2(])(1[1)(nnnnA222222)2(])(1[lg20)2(])(1[lg201lg20)(nnnnL振荡环节的对数幅频特性曲线也可采用分段直线近似法描绘，如图5-22。低频段，当，即时，略去项，此时n1nn)(01lg20)(dBL高频段，当，即时，略去1和项，此时n1nn2)(lg40)lg(20)(2dBLnn斜率为40dB，交接频率为，在此附近会导致较大的误差。当时按上面公式计算而按准确方程有，则，即误差的大小与阻尼比有关。若在之间，渐近线可不作修正，否则，应作修正。nndBL01lg40)(2lg20)(L2lg20)(L7.03.0图5-22振荡环节的Bode图5-3.2、开环频率特性曲线的绘制一、开环幅相曲线的绘制根据系统开环频率特性的表达式可以通过取点、计算和作图绘制系统开环幅相曲线。概略开环幅相曲线应反映开环频率特性的三个重要因素：1、开环幅相曲线的起点（ω=0+）和终点（ω=∞）。2、开环幅相曲线与实轴的交点设ω=ωx时，G(jωx)H(jωx)的虚部为...2,1,0,)()()(0)()(ImkkjHjGjHjGxxxxx或称ωx为穿越频率，而开环频率特性曲线与实轴交点坐标值为：)()()()(RexxxxjHjGjHjG例5-2设某Ⅰ型系统的开环传递函数为)1)(1()(21sTsTsKsG试绘制系统的开环幅相频率特性曲线。解该系统的开环频率特性为)1)(1()(21jTjTjKjG将上式进行有理化处理有)1)(1()()(22222121TTTTKP)1)(1()1()(222221221TTTTKQ而,arctanarctan90)(1111)(21222221TTTTKA当ω＝0时表90)0(,)0(,)(),()0(21AQTTKP明低频率段的渐近线是一条过实轴－K(T1+T2)点且平行于虚轴的直线。当ω→∞时270909090)(,0)(,0)(,0)(AQP可见，此时高频段是以－270°作为极限角而卷入坐标原点的。完整的幅相频率特性曲线如图5-26所示。曲线从点[－K(T1+T2)，－jω]出发，跨越负实轴进入第二象限，并以正虚轴为渐近线卷向坐标原点。为精确求得曲线与负虚轴的交点，可令虚频特性为0，解之得交点角频率将此值代入实频特性表达式可求得曲线与实轴交点21/1TT2121TTTKT交点为：图5-26例5-2系统的幅相频率特性在绘制系统的开环极坐标时，应注意曲线所具有的一些特征。例如：当ω→0时低频段曲线从何处出发？而当ω→∞时的高频段特性曲线以什么姿态卷向原点？曲线在ω值为多大时跨越实轴或虚轴？跨越点的坐标值如何？等等。下面给出经验公式。2)0(,)0(,22)0(,)0(,22)0(,)0(,10)0(,)0(,00vAvvVAvAvKAv型系统：Ⅱ型系统：型系统：型系统：当ω→∞时的高频段，由于mn所以0)(limjG根据相角特性得2)()(limmnjG当，特性曲线沿负虚轴卷向原点；1mn当，特性曲线沿负实轴卷向原点；2mn当，特性曲线沿正虚轴卷向原点；3mn图5-27极坐标图的低频段图5-28极坐标的高频段二、开环对数频率特性的绘制含有多环节的系统的开环对数频率特性的绘制思路：确定低频渐近线的斜率和位置→确定线段交接的频率以及交接后线段斜率的变化量→由低频到高频绘制开环系统的特性曲线。1、低频渐近线段的确定vKjGA)()(则lg20lg20)(lg20)(vKAL上式是一个线性方程，易知直线的斜率为即低频渐近线的斜率与系统阶数V有关，如图5-31。decvdB/20图5-31低频段的斜率与位置的关系2、交接频率及交接后斜率变化量