自动控制原理(第2版)(余成波)_第5章习题解答-

108第5章频率特性法教材习题同步解析5.1一放大器的传递函数为：G(s)=1TsK测得其频率响应，当=1rad/s时，稳态输出与输入信号的幅值比为12/2，稳态输出与输入信号的相位差为－π/4。求放大系数K及时间常数T。解：系统稳态输出与输入信号的幅值比为221221KAT，即222172KT稳态输出与输入信号的相位差arctan45T，即1T当=1rad/s时，联立以上方程得T=1，K=12放大器的传递函数为：G(s)=121s5.2已知单位负反馈系统的开环传递函数为5()1KGss根据频率特性的物理意义，求闭环输入信号分别为以下信号时闭环系统的稳态输出。（1）r（t）=sin（t+30°）；（2）r（t）=2cos（2t－45°）；（3）r（t）=sin（t+15°）－2cos（2t－45°）；解：该系统的闭环传递函数为65)(ss闭环系统的幅频特性为109365)(2A闭环系统的相频特性为6arctan)(（1）输入信号的频率为1，因此有37375)(A，()9.46系统的稳态输出537()sin(20.54)37ssctt（2）输入信号的频率为2，因此有10()4A，()18.43系统的稳态输出10()cos(263.43)2ssctt（3）由题（1）和题（2）有对于输入分量1：sin（t+15°），系统的稳态输出如下5371()sin(5.54)37ssctt对于输入分量2：－2cos（2t－45°），系统的稳态输出为102()cos(263.43)2ssctt根据线性系统的叠加定理，系统总的稳态输出为)4363.632cos(210)537.5sin(37375)(tttcss5.3绘出下列各传递函数对应的幅相频率特性与对数频率特性。（1）11.010)(ssG（2）G(s)=10(0.1s1)（3）)2(4)(sssG110（4))2)(1(4)(sssG（5）)02.0(2.0)(ssssG（6）)1)(1(10)(2ssssG（7）1)(2.0sesG解：（1）11.010)(ssG幅相频率特性开环系统110()0.11Gss是一个不稳定的惯性环节，频率特性为110()10.1Gjj相频特性为1()(180arctan0.1)arctan0.1180相频特性从－180连续变化至－90。可以判断开环奈氏曲线起点为(－10，j0)点，随的增加，A1()逐渐减小至0，而1()逐渐增加至－90°，绘制出系统开环频率特性G1(j)的轨迹，如图5.1(a)虚线所示，是一个直径为10的半圆。而开环系统210()0.11Gss则是一个典型的惯性环节，其幅相频率特性G2(j)如图5.1(a)实线所示。对数频率特性(a)幅相频率特性Im－10Re→0→0→(b)对数频率特性图5.1题5.3（1）系统频率特性10/(rad·s－1)L()/（dB）20()/－90－4500[－20]/(rad·s－1)101001[0]－180－1351()Gj2()Gj2()1()111开环系统110()0.11Gss与210()0.11Gss的对数幅频特性完全相同，仅对数相频特性不同，如图5.1(b)所示。（2）G(s)=10(0.1s1)幅相频率特性开环系统G1(s)=10(0.1s－1)的频率特性为1()10(0.11)Gjj，其相频特性为1()180arctan0.1相频特性从180连续变化至90。其开环频率特性G1(j)的轨迹，如图5.2(a)虚线所示。而开环系统G2(s)=10(0.1s+1)则是一个典型的一阶微分环节，其幅相频率特性G2(j)如图5.2(a)实线所示。对数频率特性同题（1），二者的对数幅频特性完全相同，仅对数相频特性不同，如图5.2(b)所示。（3）)2(4)(sssG系统开环传递函数的时间常数表达式为2()(0.51)Gsss幅相频率特性(a)幅相频率特性Im－10Re→0→0→(b)对数频率特性图5.2题5.3（2）系统频率特性10/(rad·s－1)L()/（dB）20()/904500[－20]/(rad·s－1)101001[0]1801351()Gj2()Gj2()1()→01121）系统为Ⅰ型系统，A(0)=∞，(0)=－90º，低频特性始于平行于负虚轴的无穷远处。低频渐近线如下确定：将频率特性表达式分母有理化为22222(10.5)2()(0.51)(10.5)(10.5)(10.25)1210.25(10.25)jjjGjjjjjj则低频渐近线为20001limRe[()]lim()lim110.25xGjR同时可知，频率特性实部与虚部均0，故曲线只在第三象限。2）n－m=2，则()=－180，幅相特性沿负实轴进入坐标原点。3）此系统无开环零点，因此在由0增大到过程中，特性的相位单调连续减小，从－90º连续变化到－180。奈氏曲线是平滑的曲线，从低频段开始幅值逐渐减小，沿顺时针方向连续变化最后终于原点。系统的幅相频率特性G(j)见图5.3(a)。对数频率特性1）可知系统包含有放大、积分、一阶惯性环节，转折频率为T=2rad·s－1。低频段斜率为－20dB/dec，低频段表达式为L(ω)=20lg2－20lgω，并通过点L(2)=0dB。经过转折频率T后斜率为－40dB/dec。2）系统的相频特性为积分环节（－90º）与惯性环节（0º~－90º）相频特性的叠加，为(a)幅相频率特性Im－1Re→0→(b)对数频率特性图5.3题5.3（3）系统频率特性/(rad·s－1)L()/（dB）20()/－900[－20]/(rad·s－1)1100.12－180－135()Gj[－40]110113()90arctan0.5转折频率处相位为(2)=－135°，对数相频特性曲线对应于该点斜对称。绘制开环伯德图L()、()，如图5.3（b）所示。（4）)2)(1(4)(sssG系统开环传递函数的时间常数表达式为2()(1)(0.51)Gsss幅相频率特性1）系统为0型系统，A(0)=2，(0)=0º，开环奈氏曲线起点为(2，j0)点；n－m=2，则()=－180。随的增加，A()逐渐单调连续减小至0，而()滞后逐渐增加至－180°，幅相特性沿负实轴进入坐标原点。2）将频率特性表达式分母有理化为222222222(1)(10.5)()(1)(10.5)(1)(10.25)2(10.5)3(1)(10.25)(1)(10.25)jjGjjjj频率特性虚部均0，故曲线在第三、第四象限。3）相位有()=－90，因此与虚轴的交点为22222(10.5)Re[()]0(1)(10.25)2/,Im[()]0.94GjradsGj此系统无开环零点，因此在由0增大到过程中，奈氏曲线是平滑的曲线，G(j)见图5.4(a)。(a)幅相频率特性2Im－j0.94Re→0→(b)对数频率特性图5.4题5.3（4）系统频率特性2/(rad·s－1)L()/（dB）20()/－180－9000[－20]/(rad·s－1)1100.1[0]()Gj62[－40]0114对数频率特性1）可知系统包含有放大、两个一阶惯性环节，转折频率分别为1=1rad·s－1、2=2rad·s－1。系统为0型，低频段斜率为0dB/dec，低频段表达式为L(ω)=20lg2=6dB。经过转折频率1、2后斜率分别为－20、－40dB/dec。2）系统的相频特性是两个惯性环节相频特性的叠加，为()arctanarctan0.5两个转折频率处相位分别为(1)=－72°，(2)=－109°。绘制开环伯德图L()、()，如图5.4（b）所示。（5）)02.0(2.0)(ssssG系统开环传递函数的时间常数表达式为0.2(51)10(51)()0.02(501)(501)ssGsssss幅相频率特性1）系统为Ⅰ型系统，A(0)=∞，(0)=－90º，低频特性始于平行于负虚轴的无穷远处。低频渐近线如下确定：22210(51)10(51)(150)45010(2501)()(501)(150)(150)12500(12500)jjjjjGjjjjjj(a)幅相频率特性(b)对数频率特性图5.5题5.3（5）系统频率特性/(rad·s－1)L()/（dB）20()/－1800[－20]/(rad·s－1)0.020.20.002－90[－40]0.020.24060[－20]－135ImRe→0→()Gj－450115低频渐近线为2000450limRe[()]lim()lim45012500xGjR同时可知，频率特性实部、虚部均0，故曲线只在第三象限。2）n－m=1，则()=－90，幅相特性沿负虚轴进入坐标原点。3）此系统有开环零点，因此在由0增大到过程中，特性曲线有凹凸，最后终于原点。系统的幅相频率特性G(j)见图5.5(a)。对数频率特性1）系统转折频率分别为1=0.02rad·s－1、2=0.2rad·s－1。系统为I型，低频段斜率为－20dB/dec，低频段表达式为L(ω)=20lg10－20lgω，因此L(0.02)=54dB。经过转折频率1、2后斜率分别为－40dB/dec、－60dB/dec。2）系统的相频特性为两个惯性环节相频特性的叠加，为()arctan590arctan50两个转折频率处相位分别为，(0.02)=(0.2)=－129°。系统的对数频率特性L()、()见图5.5(b)。（6）)1)(1(10)(2ssssG幅相频率特性1）系统为0型系统，A(0)=10，(0)=0º，开环奈氏曲线起点为(10，j0)点；n－m=3，则()=－270，幅相特性沿正虚轴进入坐标原点。2）同上，频率特性表达式分母有理化为2222222221010(12)(2)()(1)(1)(1)[(1)(1)(10.25)kGjjjj3）相位有()=－90，因此与虚轴的交点为0.71Re[()]00.71/,Im[()]9.43GjradsGj相位有()=－180，因此与实轴的交点为2Im[()]02/,Re[()]3.3GjradsGj此系统无开环零点，因此在由0增大到过程中，奈氏曲线是平滑的曲线，G(j)见图5.6(a)。对数频率特性1161）系统惯性环节、二阶振荡环节的转折频率均为T=1rad·s－1。系统为0型，低频段斜率为0dB/dec，低频段表达式为L(ω)=20lg10=20dB，经过转折频率T后斜率为－60dB/dec。渐近线上各点坐标可以通过坐标系直接读出，也可根据简单的计算求出。例如，点L(2)与L(1)=20dB位于同一条斜线，斜率为－60dB/dec，则L(2)的纵坐标值满足(1)(2)60lg1lg2LL求出L(2)=2dB。2）系统的相频特性为惯性环节与二阶振荡环节相频特性的叠加，为2()arctanarctan1转折频率处