自动控制原理--根轨迹法.

自动控制原理第四章根轨迹法3第四章线性系统的根轨迹法4-3广义根轨迹在控制系统中，除根轨迹增益K*以外，其它情形下的根轨迹统称为广义根轨迹。如系统的参数根轨迹，开环传递函数中零点个数多于极点个数时的根轨迹，以及零度根轨迹等均可列入广义根轨迹这个范畴。通常，将负反馈系统中K*变化时的根轨迹叫做常规根轨迹。41.参数根轨迹以非开环增益为可变参数绘制的根轨迹为参数根轨迹，以区别以开环增益K*为可变参数的常规根轨迹。绘制参数根轨迹的法则与绘制常规根轨迹的完全相同。只要在绘制参数根轨迹之前，引入等效单位反馈系统和等效传递函数概念，则常规根轨迹的所有绘制法则，均适用于参数根轨迹的绘制。5为此，需要对闭环特征方程10()()GsHs1)()(sQsPA11()()()()PsGsHsAQs做如下等效变换，变成下面形式：A为除K*以外的任意可变参数，P(s)和Q(s)为两个与A无关的首一多项式。由于上述两个式子等效，于是得到等效的单位反馈系统开环传递函数：利用此式画出的根轨迹，就是以参数A为变量的参数根轨迹。611()()()()PsGsHsAQs关于等效的概念：此处的等效仅在闭环极点相同这一点上成立，而闭环零点未必相同。由于闭环零点对系统的性能也有影响，所以由闭环零极点分布来分析和估算系统性能时，可采用参数根轨迹上的闭环极点，但必须采用原来闭环系统的零点。这一处理方法和结论，对绘制开环零极点变化时，同样适用。7例：计算等效传递函数5151()()()()aTsGsHsss以Ta为变量绘制参数根轨迹。10()()GsHs0)1(5)15(sTssa05552sTssa解：8552ss015552sssTa112555021()()(.)aaTssGsHsTssss)0:(aT同除得：05552sTssa910C(s)R(s)-151()ss51()dTsC(s)R(s)-151()ss5C(s)R(s)-151()ss51dTs系统　I：系统　II：系统　III：1112例：设单位反馈系统的开环传递函数为)1)(1()(sTssKsGa其中开环增益K可自行选定。分析时间常数对系统性能的影响。解：闭环特征方程KssssTsGKssssTssTKssKsTssaaaa)1()1()(0)1()1(10)1(])1([0)1)(1(2122aT130)1(1ssKKp41212,1等效开环极点:注：若分母多项式为高次时，无法解析求解等效开环极点，则运用根轨迹法求解。如本例，求解分母特征根的根轨迹方程为：在本例中，K可自行选定，选定不同K值，然后将G1(s)的零、极点画在s平面上，在令绘制出变化时的参数根轨迹。aaTT0aT140aT2K1K12/K2K1K12/K10aTaT0aT12/150j25.0K162.附加零点的作用1.附加适当的开环零点可以改善系统的稳定性。设开环传递函数为)22()()()(21*ssszsKsHsG1z1z附加的开环实数零点，其值可在s左半平面内任意选择，当时，表明不存在有限零点。1z令为不同的数值，对应的根轨迹如下所示：（a）无开环零点；（b）（c）（d）31z21z01z17182.附加开环零点的目的，除了改善系统稳定性之外，还可以改善系统的动态性能。1z0j1p3p2p2s1s3s0j3s3p2p1p2s1s1znn结论：只有当附加零点相对原有系统开环极点的位置选配适当，才有可能使系统的稳定性和动态性能同时得到明显的改善。19前面讨论的系统根轨迹，其闭环系统特征方程需要满足的相角条件是(2k+1)π=180o(2k+1)，k=…-2，-1,0，1,2…。这种根轨迹称作180o根轨迹。有些情况下，根轨迹的幅角满足的条件不是180o(2k+1)，而是2kπ+0o=360ok+0o，这样的根轨迹就是零度根轨迹。零度根轨迹的特征方程的表现形式为：11112*()()mjjniiszKksp3.零度根轨迹20其特点是系统闭环特征方程中右侧为-1时，左侧s的首一多项式的最高次项前有“-”号。故根轨迹的幅值条件不变：11*||||niimjjspKsz1102()()mnjijiszspk但相角条件改变了：21零度根轨迹的来源：一是系统在s平面的右半侧有开环零极点，并且这种系统包含s最高次幂的系数为负的因子；这一般由于被控对象，如飞机，导弹的本身特性所产生的，或者是在系统结构图变换过程中所产生的。二是控制系统中包含有正反馈内回路。这一般是由于某种性能指标要求，使得在复杂的控制系统设计中，必须包含正反馈内回路所致。222211()()()()()()KsKsGsHsssss10()()GsHs解：闭环特征方程：ksssK211)()(12故：例：如图示系统，其中有一开环零点在s的右半平面上。(为常数)21,23)()()(sHsGsGK0)()(1sHsGksHsGsGK211)()()(解：闭环特征方程：所以：例：正反馈系统如图G(s)和H(s)均为正的首一多项式。24零度根轨迹的绘制方法，与常规根轨迹的绘制方法略有不同。根据零度根轨迹方程与常规根轨迹方程对照可知，它们的模值条件完全相同，仅相角条件有所改变。因此，常规根轨迹的绘制法则，原则上可以应用于零度根轨迹的绘制，但在与相角条件有关的一些法则中，需作适当调整，从这种意义上说，零度根轨迹也是常规根轨迹的一种推广。25绘制零度根轨迹时，应调整的绘制法则计有：法则3：根轨迹的渐近线：交点不变，交角变为：)1,2,1,0(2mnkmnka法则4：实轴上的根轨迹：实轴上的某一区域，若其右边开环零、极点个数之和为偶数，则该区域为根轨迹。法则6：根轨迹的起始角与终止角：nijjpjpimjzjpipi11njpjzimijjzjzizi1126法则1：起点：终点：两个无穷远处。除上述三个法则外，其他法则不变。2322*2()()()()KsGsHssss（＋）例：设单位正反馈系统前向通路的传递函数为：试绘制系统的概略根轨迹。jpjpp1,1,332121z解：27间]3,[],,2[法则2：实轴上的根轨迹：31121.531ajj法则3：根轨迹的渐近线：n=3，m=1，故有二条渐近线。)1,0(2kmnka)0(0ka)1(180ka2841111iizdpd21111131djdjdd法则4：分离点：得：2(0.8)(4.76.24)0.8dddd即：op6.713法则5：确定起始角：oooop6.716.2690452%den=[2112010]%p=roots(den)291122332*||||njimijspKsz3*K法则6：临界开环增益：s=0时，若想使系统稳定，则需：sys=tf([-1-2],[1586])30第四章线性系统的根轨迹法4-4系统性能的分析220()(20)(22)ssss1.闭环零极点与时间响应主导极点10()10.0241.55cos(129)ttohteet312.系统性能的定性分析稳定性运动形式超调量调节时间实数零、极点影响偶极子及其处理主导极点