自动控制原理第七章z变换

•线性离散系统的分析与校正第七章栗忍83#D103在线性连续系统中，连续时间函数f(t)的拉氏变换为F(s);同样在线性离散系统中，也可以对采样信号f*(t)作拉氏变换。课前复习-z变换的定义采样信号f*(t)拉氏变换TSez0kkFzfkTz**0kTSkLftFsfkTe栗忍83#D103课前复习-z变换的级数求和法z变换的级数求和法0kkFzfkTz1230023kkFzfkTzffTzfTzfTz例求指数函数f（t）的z变换000)(ttetfat栗忍83#D1031230023kkFzfkTzffTzfTzfTz0,1,2,kekTfakT)(aT1aT33aT22aT1aT0kkakTatezzze11zezeze1zeeZzF][)(解：课前复习-级数求和法栗忍83#D1037.1z变换与反变换1.z变换部分分式法2.z变换留数法3.z变换性质4.z反变换方法（部分分式、幂级数法、留数法）栗忍83#D1037.1.2、z变换-部分分式法设连续信号f(t)没有直接给出，但给出了f(t)的拉氏变换式F(s)，求它所对应的z变换式F(z)。首先为了进行拉氏变换，将F(s)写成部分分式之和的形式，即：niiissAsF1)(式中，n为F(s)的极点数目；Ai为常数，Si为F(s)的极点。然后，由拉氏反变换得出f(t)为nitsiieAtf1)(0kkFzfkTz栗忍83#D103nitsiieAtf1)(对上式中的每一项，都可以利用指数函数的z变换直接写出它所对应的z变换式，这样就得到了F(z)如下：aTatezzeZzF][)(niTsiiezzAzF1)(指数函数z变换niiissAsF1)(7.1.2、z变换-部分分式法栗忍83#D103例：已知函数f(t)的拉氏变换如下式所示，求f(t)的z变换。niTsiiezzAzF1)()()(assasFaT-aT-2-aTaT-eze1ze1zezz1zzzF)()()(assassasF11)()(解：由可得7.1.2、z变换-部分分式法niiissAsF1)(栗忍83#D103例：已知函数f(t)的拉氏变换如下式所示，求f(t)的z变换。解：22)(asasFjasjjasjasasF2/12/1)(2221111cos21sin11211121)(zaTzaTzzejzejzFjaTjaTsincosiei7.1.2、z变换-部分分式法niiissAsF1)(栗忍83#D103例：已知函数f(t)的拉氏变换如下式所示，求f(t)的z变换。解：)1(1)(2sssF1)1(1)(32212sAsAsAsssF1)(021ssFsA1)1(1)(02022ssssFsdsdA1)()1(13ssFsA1111)(2ssssF12121112111)1()1()1(1111)1()(zezzTeezeTzezzTzzFTTTTT7.1.2、z变换-部分分式法niiissAsF1)(栗忍83#D1037.1.3、z变换-留数法若已知连续函数f(t)的拉氏变换式F(s)及全部极点si，则f(t)的z变换可用留数计算法求取，即：iiiiiissnnisTrirriniTsisssTniezzsFssdsdrezzsFszesFszF11111111)()()!1(1)(Re11)(Re)(栗忍83#D103式中，为F(s)的n1个单极点；),,2,1(1nisi),,2,1(11nnnisi为F(s)的n-n1个重极点；为重极点的阶数；T为采样周期；irissRe为极点处的留数。issiiiiiissnnisTrirriniTsisssTniezzsFssdsdrezzsFszesFszF11111111)()()!1(1)(Re11)(Re)(7.1.3、z变换-留数法栗忍83#D103例：已知函数f(t)的拉氏变换如下式所示，求f(t)的z变换。)()(assasFassTssTassTisssTnizeassaaszeassaszeassaszesFszFi101,01211111)()(11)(11)(Re11)(Re)()1)(1()1(111111111zezzezezaTaTaT解：7.1.3、z变换-留数法栗忍83#D103例：已知函数f(t)的拉氏变换如下式所示，求f(t)的z变换。解：22)(asasFisssTnizesFszF1111)(Re)(jassTizeasas1222111Re21111)cos2(1)(sin11211121zzaTzaTzejzejjaTjaTjassTjassTzeasajaszeasajas12212211)(11)(7.1.3、z变换-留数法栗忍83#D103例：已知函数f(t)的拉氏变换如下式所示，求f(t)的z变换。解：2)(1)(assF2112111221211111)(1)()!12(111)(1Re11)(Re)(zezTezezTezeasasdsdzeasszesFszFaTaTassTsTassTassTsssTi7.1.3、z变换-留数法栗忍83#D1037.1.3、z变换)(t)(1tt2/2tateattetsintcos1s121s31sas12)(1as22s22ss11zz2)1(zzT32)1(2)1(zTzzaTezz2)(aTaTezzTe1sin2sin2TzzTz1cos2cos22TzzTzz栗忍83#D1037.1.4、z变换性质1线性定理)()]([zFtfZ若)()]([zGtgZ)()()(tgtftx)()()(zGzFzX相加与相乘乘以后的z变换？k)()]([1zFkfZk)())(()()]([1010zFzkfzkfkfZkkkkkk证明：0kkFzfkTz栗忍83#D1032.实数平移定理（位移定理）0)(0)()()]([knknkkznTkTfzznTkTfnTtfZ证明：)()]([zFznTtfZn10])()([)]([nkknzkTfzFznTtfZnkm令)()()]([zFzzmTfznTtfZnnmmn滞后超前0kkFzfkTz7.1.4、z变换性质栗忍83#D1030kkFzfkTz例：求、、和的z变换。)1(kf)2(kf)(nkf)(nkf是向左移了n个采样周期的序列（时间超前）)(nkf)(nkf)0()()]1([zfzzFkfZ)1()0()()]2([22zffzzFzkfZ)1()2()1()0()()]([21nzffzfzfzzFznkfZnnnn)()]([zFznkfZn是向右移了n个采样周期的序列（时间滞后）7.1.4、z变换性质栗忍83#D1030kkFzfkTz3.复数平移定理)()(zFtfZ证明：)())(()()(00aTkkaTkkakTatzeFzekTfzekTftfeZ)()(aTatzeFtfeZ7.1.4、z变换性质栗忍83#D1030kkFzfkTz例：求的z变换。atte211)1(zTztZ211)1(zezTeteZaTaTat7.1.4、z变换性质栗忍83#D1030kkFzfkTz4.初值定理)()(zFtfZ存在)(limzFz)(lim)0(zFfz5.终值定理)()1(lim)(lim)(11zFzkffzk假设当k0时f(k)=0，它的z变换F(z)的所有极点都在单位圆内，可能的例外是在单位圆上z=1处有单极点。7.1.4、z变换性质栗忍83#D1030kkFzfkTz例：如果的z变换由下式给出，试确定其初始值f(0)。)(tf)1)(1()1()(111zezzezFTT0)1)(1()1(lim)(lim)0(111zezzezFfTTzz例：用终值定理确定下式的终值f()。111111)(zezzFT1)111lim)1111)(1(lim)()1(lim)(111111111zezzezzzFzfTzTzz7.1.4、z变换性质栗忍83#D103小结-z变换方法与性质niTsiiezzAzF1)()()()(zGzFzX)()(aTatzeFtfeZ)(lim)0(zFfz)()1(lim)(11zFzfz栗忍83#D1037.1.5、z反变换z变换在离散控制系统中所起的作用与拉氏变换在连续控制相同中所起的作用是同样的。z反变换的符号为。F(z)的z反变换产生相应的时间序列f(k)。注意：由z反变换获得的仅是在采样瞬时的时间序列。因而，F(z)的z反变换获得的仅是单值的f(k)，而不是单值的f(t)。1Z栗忍83#D103Z反变换的方法1部分分式法（查表法）2幂级数法（综合除法）3留数法（反演积分法）栗忍83#D103首先，对F(z)的分母多项式进行因式分解，并求其极点：nmazazazbzbzbzbzFnnnnmmmm1111110)()())(()(211110nmmmmpzpzpzbzbzbzbzF注意：若分母和分子多项式的系数都是实数的话，那么任何一个复数极点或复数零点，都分别伴有共扼复数的极点或零点。7.1.5、z反变换-部分分式法栗忍83#D103当F(z)的极点全部是低阶极点，并且至少有一个零点是在坐标原点（即bm=0）时，一般采用的反变换求解步骤是，用z去除F(z)表达式的两端，然后将F(z)/z展开成部分分式。展开后的F(z)/z，将是下列形式nnpzapzapzazzF2211)(ipziizzFpza)(单极点7.1.5、z反变换-部分分式法栗忍83#D103若F(z)/z有多重极点，例如，在处有二重极点且无其他极点，那么F(z)/z将有如下形式：12211)(pzcpzczzF1)(211pzzzFpzc