自动控制原理第三章二阶系统的数学模型及单位阶跃响应.

二、二阶系统的数学模型及单位阶跃响应定义：由二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。二阶系统数学模型二阶系统的微分方程一般式为：阻尼比无阻尼振荡频率n2222()()2()()nnndctdctctrtdtdt(0)n二阶系统的反馈结构图)2(2nnss)(sR)(sC2(2)nnss二阶系统的传递函数开环传递函数：222()()2nnnCsRsss2()(2)nnGsss闭环传递函数：二阶系统的特征方程为2220nnss解方程求得特征根：当输入为阶跃信号时，则微分方程解的形式为：12012()ststctAAeAe式中为由r(t)和初始条件确定的待定的系数。012,,AAAs1,s2完全取决于，n两个参数。21,21nns此时s1,s2为一对共轭复根，且位于复平面的左半部。01①特征根分析—（欠阻尼）21,21nnssj典型二阶系统的暂态特性②特征根分析—（过阻尼）此时s1,s2为两个负实根，且位于复平面的负实轴上。21,21nns1③特征根分析—（临界阻尼）此时s1,s2为一对相等的负实根。s1=s2=-n21,21nnns1④特征根分析—（无阻尼）此时s1,s2为一对纯虚根，位于虚轴上。S1,2=jn21,21nnnsj0⑤特征根分析—（负阻尼）此时s1,s2为一对实部为正的共轭复根，位于复平面的右半部。21,21nnsj10⑥特征根分析—（负阻尼）此时s1,s2为两个正实根，且位于复平面的正实轴上。21,21nns1二阶系统单位阶跃响应21111/nnsT1.过阻尼二阶系统的单位阶跃响应22211/nnsT21212111()()()(1)(1)nCssssssTsTss取C(s)拉氏反变换得：1211211211()1,(0)/1/1ttTThteetTTTT(1)222()()2nnnCsRsss由得过阻尼系统单位阶跃响应tc(t)0与一阶系统阶跃响应的比较tc(t)0二阶过阻尼系统一阶系统响应1过阻尼二阶系统分析•衰减项的幂指数的绝对值一个大，一个小。绝对值大的离虚轴远，衰减速度快，绝对值小的离虚轴近，衰减速度慢；（指数关系）•衰减项前的系数一个大，一个小；•二阶过阻尼系统的动态响应呈非周期性，没有振荡和超调，但又不同于一阶系统；•离虚轴近的极点所决定的分量对响应产生的影响大，离虚轴远的极点所决定的分量对响应产生的影响小，有时甚至可以忽略不计。tc(t)01211211211()1,(0)/1/1ttTThteetTTTT过阻尼二阶系统阶跃响应指标分析0.2％响应没有振荡0)]()([lim.1tctretss误差对于过阻尼二阶系统的响应指标，只着重讨论，它反映了系统响应过渡过程的长短，是系统响应快速性的一个方面，但确定的表达式是很困难的，一般取相对量及经计算机计算后制成曲线或表格。stst1/stT12/TTtc(t)02.欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应(01)21,21nnsjdj222()()2nnnCsRsssn为根的实部的模值；21dn为阻尼振荡角频率欠阻尼二阶系统单位响应系统的输出2221()2nnncssss22221()()nnndndssss拉氏反变换得：2()1[cos(sin)]1ntddctett21()1sin(arccos)1ntdctet欠阻尼二阶系统输出分析二阶欠阻尼系统的单位阶跃响应由稳态分量和暂态分量组成。稳态分量值等于1，暂态分量为衰减过程，振荡频率为ωd。右图为二阶系统单位阶跃响应的通用曲线21()1sin(arccos)1ntdctet根据右图分析系统的结构参数、对阶跃响应的影响n•平稳性（％）21nteA暂态分量的振幅为：结论：越大，ωd越小，幅值也越小，响应的振荡倾向越弱，超调越小，平稳性越好。反之，越小，ωd越大，振荡越严重，平稳性越差。21dn振荡角频率为：当＝0时，为零阻尼响应，具有频率为的不衰减（等幅）振荡。n阻尼比和超调量的关系曲线21dn在一定的情况下，越大，振荡频率也越高，响应平稳性也越差。nd结论：对于欠阻尼二阶系统而言，大，小，系统响应的平稳性好。n•快速性从图中看出，对于5％误差带，当时，调节时间最短，即快速性最好。同时，其超调量5％，平稳性也较好，故称为最佳阻尼比。0.7070.707总结：越大，调节时间越短；当一定时，越大，快速性越好。nstn•稳态精度21()1sin(arccos)1ntdhtet从上式可看出，瞬态分量随时间t的增长衰减到零，而稳态分量等于1，因此，上述欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应稳态误差为零。补充说明：稳态分量（steadystatecomponent）即周期性激励作用于有损、线性和时不变的动态电路时，电路中所出现的与激励周期相同的响应分量。瞬态分量（transientcomponent）周期性激励作用于有损、线性和时不变的动态电路时，从全响应中减去稳态分量的剩余部分。稳态分量就是时间趋向正无穷，也就是电路稳定时的量。瞬态分量就是开关打开或闭合后瞬时值。欠阻尼二阶系统单位阶跃响应性能指标1.上升时间：令，则st()1rht211sin(arccos)11ntdet所以：arccosrdt根据极值定理有：0)(pttdttdc该项不可能为零2sin1npt21nptne02.峰值时间：pt2sin10npt21(01,2)nptnn，取n=1得:21pdnt3.超调量：%将峰值时间代入下式/pdt21()1sin(arccos)1ntdhtet得:22/1/1max2()()1sin(arccos)11pehthte所以:2/1()()%100%100%()phtheh4.调节时间st写出调节时间的表达式相当困难。在分析设计系统十，经常采用下列近似公式。当阻尼比时0.83.5(snt取5％误差带）4.5(snt取2％误差带）二阶系统特征参数与暂态性能指标之间的关系•由阻尼比判断一个二阶系统的暂态品质：过阻尼时，单调线性，无超调，无振荡，时间长。小于等于零时，有等幅振荡或发散振荡，系统不稳。•一般欠阻尼工作。阻尼比过小，超调量大，振荡次数多，调节时间长，品质差。最大超调量只与阻尼比有关，由其来选择阻尼比。•调节时间与阻尼比和自然振荡角频率的乘机成反比。•阻尼比在0.4-0.8之间，此时超调量在1.5%-25%三、改善二阶系统响应的措施1.误差信号的比例－微分控制系统开环传函为：2(1)()()()(2)ndnTsCsGsEsss闭环传函为：2222(1)()()()(2)ndndnnTsCssRssTs等效阻尼比：12ddnT可见，引入了比例－微分控制，使系统的等效阻尼比加大了，从而抑制了振荡，使超调减弱，可以改善系统的平稳性。微分作用之所以能改善动态性能，因为它产生一种早期控制（或称为超前控制），能在实际超调量出来之前，就产生一个修正作用。前面图的相应的等效结构由此知道：12()()()ctctct2222(1)()()()(2)ndndnnTsCssRssTs和及的大致形状如下1()ct2()ct()ct一方面，增加项，增大了等效阻尼比，使曲线比较平稳。另一方面，它又使加上了它的微分信号，加速了c(t)的响应速度，但同时削弱了等效阻尼比的平稳作用。dTd1()ct1()ct2()ctd2222(1)()()()(2)ndndnnTsCssRssTs12ddnT总结：引入误差信号的比例－微分控制，能否真正改善二阶系统的响应特性，还需要适当选择微分时间常数。若大一些，使具有过阻尼的形式，而闭环零点的微分作用，将在保证响应特性平稳的情况下，显著地提高系统的快速性。dTdT1()ct2.输出量的速度反馈控制将输出量的速度信号c(t)采用负反馈形式，反馈到输入端并与误差信号e(t)比较，构成一个内回路，称为速度反馈控制。如下图示。闭环传函为：2222()()()(2)nntnnCssRssKs等效阻尼比：12ttnK等效阻尼比增大了，振荡倾向和超调量减小，改善了系统的平稳性。3.比例－微分控制和速度反馈控制比较从实现角度看，比例－微分控制的线路结构比较简单，成本低；而速度反馈控制部件则较昂贵。从抗干扰来看，前者抗干扰能力较后者差。从控制性能看，两者均能改善系统的平稳性，在相同的阻尼比和自然频率下，采用速度反馈不足之处是其会使系统的开环增益下降，但又能使内回路中被包围部件的非线性特性、参数漂移等不利影响大大削弱。四、二阶系统举例2设位置随动系统，其结构图如图所示，当给定输入为单位阶跃时，试计算放大器增益KA＝200，1500，13.5时，输出位置响应特性的性能指标：峰值时间tp，调节时间ts和超调量，并分析比较之。)5.34(5ssKARC例题解析(1)•输入：单位阶跃)(1)(ttrssR1)(闭环传递函数：AAKssKs55.345)(2)5.34(5ssKARC例题解析(2)当KA＝200时10005.341000)(2sss系统的闭环传递函数：与标准的二阶系统传递函数对照得：34.50.5452n20.121pdnt峰值时间：秒2113%e超调量：％3.00.17snt调节时间：秒6.311000n1rads例题解析(3)当KA＝1500时75005.3415005)(2sss系统的闭环传递函数：与标准的二阶系统传递函数对照得：6.867500n34.50.22n20.03784.851pnt峰值时间：秒2152.7%e超调量：％3.00.17snt调节时间：秒1rads例题解析(4)当KA＝13.5时5.675.345.67)(2sss系统的闭环传递函数：与标准的二阶系统传递函数对照得：21.85.67n34.52.12n?pt峰值时间：0％超调量：1(6.451.7)1.44snt调节时间：秒无1rads系统在单位阶跃作用下的响应曲线c(t)10tKA=1500KA=200KA=13.5