自动控制原理第二章.

1.4自动控制系统的基本要求基本要求的提法典型外作用1.4.2典型外作用在工程实践中，自动控制系统承受的外作用形式多种多样，既有确定性外作用，又有随机外作用，对不同形式的外作用，系统被控量都变化情况（即响应）各不相同，为了便于统一都方法研究和比较控制系统的性能，通常选用几种确定性函数作为典型外作用。选取原则:（1）在现场及实验中容易产生（2）系统在工程中经常遇到，并且是最不利的外作用。（3）数学表达式简单，便于理论分析。目前，在控制工程设计中，常用都典型外作用函数有阶跃函数、斜坡函数、冲击函数以及正弦函数等确定性函数，此外还有伪随机函数。1.阶跃信号（StepFunction）阶跃信号含宽频带谐波分量，产生容易。实际中，电源的突然接通、负载的突变等均可近似看作阶跃信号。在时域分析中，阶跃信号用得最为广泛。时间r（t）R0()()00RtrtRtt单位阶跃信号12.斜坡信号（RampFunction）•斜坡信号为匀速信号，适于测试匀速系统。•当R=1时为单位斜坡信号：r(t)=t0()100RttrtRtt（t)ttg()=Rr(t)3.脉冲信号（PulseFunction）()()dttdt00()000tRrttttr（t）εR当R=1，ε→0时称为单位脉冲δ(t)0()00ttt()1tdttδ（t）f()sin()ftKt振幅：周期：频率：角频率：初相：K21Tf2πf()ftKT20t4.正弦信号（SineFunction）●正弦信号为单频率信号，适于测试系统频率特性。1-5自动控制系统的分析与设计工具Matlab草稿纸式编程语言良好的人机界面结论可做一定等级的理论论据Simulink工具箱求微分方程的特解.15)0(',0)0(029422yyydxdydxyd解输入命令:y=dsolve('D2y+4*Dy+29*y=0','y(0)=0,Dy(0)=15','x')运行结果为:y=3e-2xsin（5x）本章小结重要概念•反馈概念•开环控制、闭环控制、前向通道、反馈通道•自控系统的三个基本要求•4种典型的输入信号•自控系统的分类第二章控制系统的数学模型§2.1傅里叶变换与拉普拉斯变换§2.2控制系统的时域数学模型§2.3控制系统的复域数学模型§2.4控制系统的结构图与信号流图§2.5控制系统建模的MATLAB方法在控制系统系统分析和设计中，首要任务是建立系统的数学模型。控制系统数学模型：描述系统内部物理量（或变量）之间关系的数学表达式；（1）静态数学模型：在静态条件（即变量各阶导数为零）下，描述变量之间关系的代数方程；（2）动态数学模型：描述变量各阶导数之间关系的微分方程。目的：如果已知输入量及变量的初始条件，对微分方程求解，既可以得到系统的输出量表达式，并由此对系统的性能进行分析。建立控制系统数学模型的方法有两种：机理分析法和实验辨识法。分析法：依据描述系统运动规律的定律并通过理论推导来得到数学模型的方法。辨识法：给系统施加某种测试信号，记录输出响应，并用适当的数学模型去逼近系统的输入输出特性。这种方法也称为系统辨识。在控制系统中，数学模型有多种形式，时域中常用的有：微分方程（连续系统）、差分方程（离散系统）及状态方程等，复数域中常用的方法有传递函数、结果图，频域中方法有频率特性曲线等等。本章主要研究：微分方程、传递函数、方框图和信号流图等数学模型的建立和应用，其数学基础为拉普拉斯变换。§2-1傅立叶变换与拉普拉斯变换2.1.1傅立叶级数一周期为T（角频率ω＝2π/T）的函数f(t)可以展开成傅立叶级数的形式：011()(cossin)2nnnftaantbnt2021a()TTftdtT222()cosTTnaftntdtT222()sinTTnbftntdtT(1,2,3)nn=0——直流分量n=1——基波谐波n=2——二次谐波：例1：求周期方波的傅立叶级数展开式。0,24(),440,42TTtTTftAtTTt4T2T4T2Ttf(t)A0方波可以分解为各种频率的谐波分量；各种不同频率的谐波可以合成方波。2402242()coscossinsin42TTTnAnTAnaftntdtAntdtTTnTn222()sin0TTnbftntdtT2202222()TTTTaftdtAdtATT01112()(cossin)sincos222nnnnAAnftaantbntntn211(coscos3cos5)235AAtttt0基波分量一次谐波t0三次谐波合成波形t0五次谐波各种不同频率的谐波可以合成方波。所含谐波越多，越接近方波。低次谐波影响顶部，高次谐波影响跳变沿。tf(t)A0狄里赫莱（Dirichlet）条件•周期函数能展成傅立叶级数必须满足Dirichlet条件：（1）在一个周期内只有有限个不连续点；（2）在一个周期内只有有限个极大值和极小值（3）在一个周期内，信号f(t)满足绝对可积，即：22|()|TTftdt积分存在对非周期函数f(t)不能展开成傅立叶级数的形式，引入傅立叶变换：2.1.2傅立叶变换()jtFftedt－正变换(频谱函数)：（）=()jtfFed－1逆变换（时间函数）：（t）=2|()|ftdt傅立叶变换存在的充分条件：信号f(t)满足绝对可积，即：例2：,()0,,Aatafttataf(t)A0a-atω0|F(ω)|2aAa2a3aa2a3a2()()sinajtjtaAFftedtAedta则：2sin|()||sin|2||AaFaaAa方波的频谱图•对一些函数，由于不能满足傅立叶变换的条件，但引入一衰减因子后，可以满足绝对收敛的条件。例如：阶跃函数1(t)不满足但增加衰减因子后，满足则：令：s=σ＋jω则得到拉普拉斯变换。2.1.2拉普拉斯变换1(t)dt1(t)tedtte()01()1(t)tjtjtFeedtedtj1.拉普拉斯变换()()jstftFseds－j逆变换：1=2j()()stFsftedt＋－（）=正换：双边变0()()stFsftedt＋（）=单边()()ftFs——原函数；——象函数引入的目的是加快收敛速度，但是当t—-∞的时候，所起到的是反作用，为此需假设t0时，f(t)=0。te在实际工程中，这个假设是可以做到的，因为我们可以将外作用加到系统的开始瞬间选为t=0，而t0的行为，即外作用施加到系统之前的行为，可以在初始条件内考虑。的拉氏变换。：求正弦函数例tsin32f(t)00221sin()21()(sin)sin()2111()2jtjtstjtjtstteejFsLttedteeedtjjsjsjs解：欧拉公式：的拉氏变换。：求单位脉冲函数例(t)421//)1(lim)1(1lim)](1)(1[1lim)](1)(1[1lim))((/])1)(1[lim)(000000000000000000000000dtsdtdtedestdtettttdtetttttLtttttsttsttsttsttt所以由于解：2.常用函数拉普拉斯变换21(1)(2)(3)(4)(111()1()(11!5)1)natnttttnsssaes222222222(6)(7)(8)(sincossinco1()()()9)(0s1)atatattetsassssasasetatet拉普拉斯积分下限说明：0t00t0[0,0]0在拉氏变换定义中，积分下限，有左极限和右极限之分，对于在处连续或只有第一类间断点的函数，的左极限与右极限是相同的，对于处有无穷跳跃的函数，两种极限则是不同的。在实际中，右极限没有体现出区间内的跳跃性，而左极限包含这一区间，所以型的拉式变换反应了客观事实，因此在拉氏变换过程中，如不特殊声明，均认为是左极限变换。3.拉普拉斯变换基本性质基本运算原函数象函数1线性2时域平移3尺度变换4对t微分5对t积分6对s微分00()1()ftt12()()aFsbFs12()()aftbft0()seFs()ft()Fs()fat1()sFaa()nndftdt11()0()(0)nnnrrrsFssf()ftdt(1)1[()(0)]Fsfs()tft()dFsds3.拉普拉斯变换基本性质（续）基本运算原函数象函数7对s积分8s域平移9初值10终值11卷积()ft()Fs()sFsds1()ftt()ateft()Fsa0lim()tftlim()ssFslim()tft0lim()ssFs12120()*()()()tftftfftd12()()FsFs•查表法（P32表2－3）•部分分式展开法（海维赛德展定理）√将复杂函数展开成简单函数的和，再应用拉氏变换对照表。•留数法4.拉普拉斯逆变换已知象函数F(s)，求原函数f(t)部分分式展开法1011111()()()mmmmnnnnbsbsbsbBsFsAssasasaF(s)可表示成两个关于s的多项式比的形式（mn）：ns——极点101112()()()()()()mmmmnbsbsbsbBsFsAsssssss将F(s)因式分解：(1)A(s)=0F(s)nA(s)F(s)B()=|()(iinini12i=112iniiiiis-sisscccccF(s)=+=s-ss-ss-ss-ss-scsc=lim(s-s)F(s)scAsft无重根此时，可展开为个简单的部分分式之和，每个部分分式都以的一个因式作为分母，即式中，为待定常数，成为在极点处的留数，可按如下公式计算：或根据拉氏变换的线性性质，可求得原函数为：111)[()][]innstiii=1iicLFsLces-s例3:求的原函数f(t)。22()43sFsss解：12222()43(1)(3)(1)(3)ccssFsssssss1111221(1)()|(1)||(1)(3)(3)2ssssscsFsssss2313221(3)()|(3)||(1)(3)(1)2ssssscsFsssss1122()(1)(3)Fsss311()22ttftee(2)F(s)含有多重极点时，可展开为11111111()()()()()()nrrrrrrncccccFsssssssssss111lim[()()]|rrsssscFsss1111lim{[()()]}|rrssssdcFsssds111:1lim{[()()]}|!:jrrjssjssdcFsssjds1111111lim{[()()]}|(1)!rrssrssdcFsssrdslim[()()]|kkkkssssaFsss111111111111