自动控制原理第二章课件数学模型.

自动控制原理第二章控制系统的数学模型1自动控制原理22.1控制系统的时域数学模型2.1.1线性元件的微分方程1、定义：描述控制系统内部变量（物理量）之间动态关系的数学表达式。2、建立数学模型的目的●建立系统的数学模型，是分析和设计控制系统的首要工作（或基础工作）。●自控系统的组成可以是电气的、机械的、液压或气动的等等，通过数学模型来研究自动控制系统，可以摆脱各种不同类型系统的外部特征，研究其内在的共性的运动规律。自动控制原理3例2.1如图RLC电路，试列写以ur(t)为输入量，uc(t)为输出量的网络微分方程。解：RLCi(t)ur(t)uc(t))()()()(tutRitudttdiLrcdttictuc)(1)()()()()(22tutudttduRCdttudLCrccc自动控制原理4dttdyftF)()(1)()()()(2122tFtFtFdttydmFy(t)kfm)()()()(22tFtkydttdyfdttydm整理得：解：阻尼器的阻尼力：例2.2图为机械位移系统。试列写质量m在外力F作用下位移y(t)的运动方程。)()(2tkytF弹簧弹性力：自动控制原理5线性系统微分方程的编写步骤：（1）确定系统和各元部件的输入量和输出量。（2）对系统中每一个元件列写出与其输入、输出量有关的遵循物理定理的微分方程。（3）对上述方程进行适当的简化，比如略去一些对系统影响小的次要因素，对非线性元部件进行线性化等。（4）从系统的输入端开始，按照信号的传递顺序，在所有元部件的方程中消去中间变量，最后得到描述系统输入和输出关系的微分方程。（5）变换成标准形式，将与输入有关的各项放在等号右边，与输出有关的各项放在等号左边，并且分别按降幂排列。自动控制原理2.1控制系统的时域数学模型——微分方程定义：用微分方程来描述系统的运动规律，得到的输入和输出之间的公式。由于微分是针对时间t的，因此又称为时域模型。描述线性系统的微分方程是线性微分方程。c(t)adtdc(t)adtc(t)dadtc(t)da011-n1-n1-nnnnr(t)bdtdr(t)bdtr(t)ddtr(t)db011-m1-m1-mmmmb6其中，系数(i=0,1,2,…n;j=0,1,2…m)均为实数，它们是由系统本身的结构参数所决定的，与输入输出无关。b,aji自动控制原理7例建立RC电路运动方程。r(t)——输入量（电压）c(t)——输出量（电压）（RC=T）RC()it()rt()ct(t))(dtdC(t)TrtC2.1控制系统的时域数学模型——微分方程由于很多物理规律是用微分方程描述的，因此微分方程描述是系统最基本的描述。自动控制原理传递函数是经典控制最基本，最重要的概念之一。定义：线性定常系统在初始条件为零时，输出量的拉氏变换和输入量的拉氏变换之比。设：输入----r(t)，输出----c(t)，则传递函数：那么：C(s)=G(s)R(s)。利用传递函数，输入和输出之间存在简单的乘积关系。8R(s))s(CL[r(t)]L[c(t)]G(s)2.2控制系统的复域数学模型——传递函数自动控制原理如果系统微分方程为：对上式两边进行拉氏变换：9c(t)adtdc(t)adtc(t)dadtc(t)da011-n1-n1-nnnnr(t)bdtdr(t)bdtr(t)ddtr(t)db011-m1-m1-mmmmbR(s)bsR(s)bR(s)sbR(s)sb)s(Ca)s(sCaC(s)saC(s)sa011m-1mmm011n-1nnn011n1nnn011m1mmmasasasabsbsbsbR(s)C(s)可以得到控制系统传递函数的分式表达:自动控制原理jiT和10)1)1)1()1()1)(1()()(2121sTsTsTssssKsRsCnm（（1212112112]12)[()1(]12)[()1()()(njnlpnpnjmimkznkznkillsssssssKsRsCa.表示成典型环节形式：nmabK——系统的稳态增益；其中，称为时间常数，当存在复数时间常数时，常化成二次形式：自动控制原理11njjmiirpzKK11iz——系统的零点；零极点可以是复数或实数，复数必定是成对（共轭）出现。rKK和有如下关系)())(()())(()()(2121nmrpspspsszszszsKsRsCjp——系统的极点，个零极点。其中有——增益因子。rKb.表示成零、极点形式：自动控制原理1)传递函数是系统（或环节）在复数域中的数学模型，是固有特性的描述。2)传递函数只取决于系统本身的结构参数，与外界输入无关。3)传递函数大都是复变量s的有理真分式函数，即mn。（m、n分别为分子、分母多项式的次数。）4)若输入为单位脉冲函数，即R(s)=L[r(t)]=1，则12G(s)G(s)R(s)C(s)这意味着传递函数是单位脉冲函数的拉氏变换。这个事实也说明了传递函数与输入无关，而有系统特征唯一确定。关于传递函数的几点说明：5)闭环系统传递函数G(s)的分母称为系统的特征多项式，对应的方程称为特征方程。自动控制原理)(jGj132.3控制系统的频域数学模型——频率特性sj系统传递函数中的用得到的称为代替,系统的频率特性。1212112112]12)[()1(]12)[()1()()(njnlppjmimkzkzkillsssssssKsRsC1212112112]12)[()1()(]12)[()1()()(njnlppjmimkzkzkilljjjjjjjKjRjC传递函数:频率特性:自动控制原理例建立RC电路运动方程。r(t)——输入量c(t)——输出量时域：(RC=T)——微分方程复域:——————传递函数频域:——频率特性14RC()it()rt()ct(t))(dtdC(t)TrtC11R(s)C(s)G(s)Ts1jT11RCj1c)G(jωωωr自动控制原理二.“三域”数学模型及其相互关系微分方程（时域）系统传递函数（复域）频率特性（频域）LFts1F1Lsjsj15自动控制原理2-1数学模型微分方程、传递函数和频率特性分别是系统在时间域、复数域和频率域中的数学模型。人们在研究分析一个控制系统的特性时，可以根据对象的特点和工程的需要，人为地建立不同域中的数学模型进行讨论。习惯上把用微分方程的求解、分析系统的方法称为数学分析法，把用传递函数、频率特性求解、分析系统的方法称为工程分析法。一般来说，工程分析法比数学分析法直观、方便，这也是我们引入复域、频域数学模型的主要原因。16自动控制原理2.4典型环节的数学模型特点：输出量按一定比例复现输入量，无滞后、失真现象。运动方程:c(t)=Kr(t)K——放大系数，通常都是有量纲的。传递函数：频率特性：K)(sR)(sC17KR(s)C(s)G(s)K)R(j)C(j)G(j由于传递函数可以分解成因子的乘积，实数范围内的因子最多为两次，这些因子称为典型因子，相对的系统称为典型环节。1.比例环节（又叫放大环节）自动控制原理例1：输入：(t)——角度E——恒定电压输出：u(t)——电压Eu(t)K)(s)(sU++-()t18运动方程：u(t)=K(t)传递函数：K——比例系数，量纲为伏/弧度。频率特性：G（j）=KK(s)U(s)G(s)自动控制原理例2：输入：n1(t)——转速Z1——主动轮的齿数输出：n2(t)——转速Z2——从动轮的齿数12zz1Ns2Ns1()nt2()nt1Z2Z19运动方程：传递函数：频率特性：(t)nzz(t)n1212Kzz(s)N(s)NG(s)2112Kzz)(jωN)(jωN)G(jω2112自动控制原理其它一些比例环节()rt()ct1r2r()RsCs212rrr()RsCs21RRK+-()rt()ct1R2R3R+cER()cit()bit()cIs()bIs20自动控制原理2、微分环节)(sR)(sCS21特点：动态过程中，输出量正比于输入量的变化速度。运动方程：传递函数：频率特性：dtdr(t)KC(t)KSR(s)C(s)G(s)jKω)R(jω)C(jω)G(jω自动控制原理例1RC电路设：输入——电压ur(t)输出——电流ic(t)于是得到：运动方程：传递函数：频率特性：G（j）=jC22i(t)dtC1(t)ur)(i(t)uC(t)dtiC1(t)ucrcrt或者sC(s)U(s)IG(s)rcur(t)ir(t)注意：同一个系统输入输出的物理量不同会有不同的传递函数！自动控制原理例2：测速发电机CF的数学描述输入：(t)——电动机D转子（与测速发电机同轴）的转角输出：uf(t)——测速发电机的电枢电压运动方程：传递函数：G（s）=Ks频率特性：G（j）=jKF()futD()dut()t23dt(t)dK(t)uf自动控制原理)(sR)(sCs1243、积分环节特点：输出量的变化速度和输入量成正比。运动方程：传递函数：频率特性：ttrtcd)(K)(sKG(s)jωK)G(jω自动控制原理例：如右电路运动方程：传递函数：（T=R1C）频率特性：K+-()rt()ct1R3RC()cit1()it)(sR)(sCCsR11jTK)R(j)C(j)G(j25r(t)dtT1r(t)dtCR1(t)dtiC1c(t)1csKTs1R(s)C(s)G(s)11cRr(t)(t)i(t)i输入为r(t)，输出为c(t)自动控制原理其它积分环节举例D()nt()xtDs()Ns()Xs()ut()it1Cs()Is()Us26自动控制原理4、惯性环节(又叫非周期环节)特点：此环节中含有一个独立的储能元件，以致对突变的输入来说，输出不能立即复现，存在时间上的延迟。运动方程：传递函数：频率特性：)(sR)(sC11Ts27Kr(t)c(t)dtdc(t)T1TsKG(s)1jTωK)G(jω自动控制原理例1：直流电机输入量:ud——电枢电压输出量：id——电枢电流因为运动方程：传递函数:式中Ld——电枢回路电感；Rd——电枢回路电阻；τd——电枢绕组的时间常数；+dudiDdddRL28ddddduiRidtdLddddRuidtd11)()(G(s)sRsUsIdddd自动控制原理其他一些惯性环节例子r(t)11LsR()Rs()CsM()ft()vtB()Fs()Vs()Tt()tJB()Ts()sc(t)RL11sBJB11sBJB29自动控制原理5、振荡环节特点：包含两个独立的储能元件，当输入量发生变化时，两个储能元件的能量进行交换，使输出带有振荡的性质。运动方程：传递函数：式中：——阻尼比，T——振荡环节的时间常数。频率特性：)(sR)(sC12122TssTTjTjRjCjG2)1(1)()()(2230Kr(t)c(t)dtdc(t)T2ζdtc(t)dT222)(sR)(sC12122TssT自动控制原理例1：RLC电路ωωωωωjRC)LC-(111)RC(j)LC(j1)G(j22c(t)r(t)RLC+_()it+__31i(t)dtC1c(t)i(t)dtC1ri(t)dtdi(t)Lr(t)