自动控制原理第六讲

自动控制原理第6章频域分析法6.1频率特性6.2典型环节的频率特性6.3稳定性判断6.4稳定裕度频域分析法的基本思想：把控制系统中的各个变量看成为一些信号，而这些信号又是许多不同频率的正弦信号合成的；各个变量的运动就是系统对不同频率的信号的响应的总和。频域分析法的优点：物理意义明确；可以用实验方法求出对象的数学模型；频域分析法的计算量小；由于采用作图，有很强的直观性。6.1频率特性6.1.1频率特性的概念对于线性定常系统，在零初始条件下，输入信号为r(t)=A1sin(ωt+φ1)=A1ej(ωt+φ1)，稳态后，输出信号为c(t)=A2sin(ωt+φ2)=A2ej(ωt+φ2)。设系统的脉冲响应为h(t)，则输出信号可由卷积公式得c(t)=A2ej(ωt+φ2)=h(t)*r(t)=h(t)*A1ej(ωt+φ1)=A1ej(ωt+φ1)×Φ(jω);由A2ej(ωt+φ2)=A1ej(ωt+φ1)×Φ(jω)得Φ(jω)=A2ej(ωt+φ2)/A1ej(ωt+φ1)=A2/A1×ej(φ2-φ1)=A(ω)ejφ(ω)deheAdeAhjtjtj)()()1(1)1)((1•系统的频率特性函数Φ(jω)含义：稳态下正弦输出信号的复数符号与正弦输入信号的复数符号之比。•系统的幅频特性：A(ω)=A2/A1含义：正弦输出信号的振幅与正弦输入信号的振幅之比；•系统的相频特性：φ(ω)=φ2-φ1含义：正弦输出信号对于正弦输入信号的相位领先量。设系统的脉冲响应为h(t)，则输出信号可由卷积公式得c(t)=h(t)*r(t)进行傅里叶变换得)()()(jRjjC)()()(jRjCjC(jω)：输出信号的傅里叶变换；R(jω)：输入信号的傅里叶变换；Φ(jω)：系统的频率特性函数。•新定义：当输入信号与输出信号为非周期函数时，频率特性函数为输出信号的傅里叶变换象函数与输入信号的傅里叶变换象函数之比。6.1.2频率特性的几何表示•频率特性的表示：Φ(jω)=|Ф(jω)|ejφ(ω)=A(ω)ejφ(ω)=U(ω)+jV(ω)=A(ω)cosφ(ω)+jA(ω)sinφ(ω)；实频特性U(ω)=A(ω)cosφ(ω)；虚频特性V(ω)=A(ω)sinφ(ω)；幅频特性；相频特性。)()()(|)(|22VUAj)()(arctan)(UV•频率特性G(jω)与传递函数G(s)的关系对于如图所示RC网络，T＝RC。设输入一正弦信号，则输入的拉氏变换为而输出的拉氏变换为11)()()(TssUsUiosGtUtuinisin)(22)(sUiinsU2211)()()(sUTsioinsUsGsU对上式进行拉氏反变换得输出的时域表达式显然稳态输出为：频率特性：TtetuTUTTUoinTtinarctan)sin()(222211)sin()(221tuTUoin2211)(TA＝则幅频特性为：输入的幅值输出的幅值Tarctan)(:12＝－为相频特性输出与输入的相角之差)()()(jeAjG另一方面,系统传递函数当取s=jω把上式化成指数函数形式得：因此，也就是说在传递函数中的s用jω代入，其模值和幅角可以完全表示系统的幅频特性和相频特性。即1111||)(TjjsTsjssGTjTjsesGarctan1122|)(TTarctan2211幅角为，该复数的模为显然，)())((),(|)(|GArgAsGjsjssGjG)()(•频率特性一个重要的优点：是可以用图象表示。从频率特性图象上很方便地得到关于系统稳定性和动态特性的一些信息。应用广泛的有幅相频率特性图、对数频率特性图和对数幅相特性图。1幅相频率特性图（极坐标图，又称奈奎斯特(Nyquist)图）•特点：当ω:0→∞时，将其幅频特性A(ω)和相频特性φ(ω)同时表示在复平面上。Φ(jω)=A(ω)ejφ(ω)可看作向量，幅值为A(ω)，相位为φ(ω)。•当ω:0→∞时，该向量的端点将在复平面上画出一条曲线，即幅相频率特性图。例6.1绘制惯性环节的幅相图解频率特性函数为实频特性虚频特性TssG11)(222211111)()(TTjTTjsGjGjs2211)(TU221)(TTV幅频特性相频特性φ(ω)=arctan(V(ω)/U(ω))=-arctanωTNyqiust图：222211)()()(|)(|TVUAj2对数频率特性图（又称伯德(Bode)图）将角频率ω和幅频特性函数|G(jω)|都取对数，记•L(ω)：对数幅频特性函数。•θ(ω)：对数相频特性函数。（注意：θ不取对数）•对数频率特性函数：总称。)()arg)((dB))(lg20)(lgoG(jjGL•Bode图：对数幅频特性图和对数相频特性图同画在一张图上，共用一个μ横坐标轴。但μ坐标轴上所标的仍是ω值，以便读取实际角频率值。•μ的单位为十倍频程(dec)。注意：十倍频程只用于度量μ的某两个值之差，而不是用于度量一个μ值本身。如：如果ω=10，因而μ=1,并不说μ等于1个十倍频程。若ω2=10ω1（因而μ2=μ1+1），则常说μ2比μ1高1个十倍频程，或ω2比ω1高1个十倍频程。若ωa=500，ωb=5（因而μa=μb+2），就说ωa与ωb相差2个十倍频程。例6.2绘制惯性环节近似的对数频率特性图解惯性环节的频率特性函数为得当ω从零到无穷取值时，计算出相应的对数值，即可绘制出Bode图。TssG11)()arctan(2)(1111)()(TjjseTTjsGjG)(arctan)()((dB))(1lg20)(lg20)(o2TjArgGTjGL工程上采用近似画法：当ω«1/T，对数幅频特性可近似为L(ω)≈-20lg1=0(dB)即：当频率很低时，对数幅频特性可以用零分贝线近似表示。当ω»1/T，对数幅频可近似表示为L(ω)≈-20lgωT(dB)即：当频率很高时，对数幅频特性可用一条直线来近似，直线斜率为-20dB/dec，即ω每增加10倍，L(ω)减少20dB。22)/1(1lg20)(1lg20)(lg20)(TTjGLBode图为L(ω)≈-20lgωTL(ω1)≈-20lgω1T,设ω2=10ω1，L(ω2)≈-20lg10ω1T=-20-20lgω1T即ω每增加10倍，L(ω)减少20dB，直线斜率为-20dB/dec。采用Bode图的优点•可以展宽视界。在例6.1中，高频区|G(jω)|的值很小，而且挤在一小段，看不清变化规律；在例6.2中，高频区、低频区都被展宽，变化规律看得清楚。•曲线形状比较简单，容易画。•当两个频率特性函数相乘时，只需要把对数频率特性曲线相加。3对数幅相特性图(Nichols图)•以对数幅频特性L作纵坐标，以对数相频特性θ作横坐标，以角频率ω为参变量绘制的频率特性图。•Nichols图与Bode图的区别Nichols图以对数相频特性作横坐标；Bode图以lgω为横坐标。例6.3绘制惯性环节近似的对数幅相图。解对数幅频特性对数相频特性当ω:0→∞，计算出相应的L(ω)和θ(ω)，即可绘制Nichols图。TssG11)()(arctan)()((dB))(1lg20)(lg20)(o2TjArgGTjGLNichols图：6.2典型环节的频率特性1比例环节传递函数G(s)=K,频率特性函数G(jω)=K,幅频特性|G(jω)|=K,相频特性φ(ω)=0,对数幅频特性L(ω)=20lgK对数相频特性θ(ω)=0°比例环节的Bode图L(ω)20lgK0dBω110θ(ω)0oω1102积分环节传递函数G(s)=1/s，G(s)=K/s频率特性函数G(jω)=1/jω=-j1/ω,G(jω)=-jK/ω幅频特性|G(jω)|=1/ω,|G(jω)|=K/ω相频特性φ(ω)=-90°对数幅频L(ω)=20lg1/ω=-20lgω(dB)L(ω)=20lgK/ω(dB)对数相频θ(ω)=arctan(V(ω)/U(ω))=-90°积分环节的Bode图L(ω)0dBωω=1θ(ω)ω0o-90o3振荡环节传递函数自然振荡频率1/T0,0ξ1。频率特性对数幅频(dB)对数相频特性(°)121)(22TssTsG22222222)2()1(211)(2)(1)(TTTjTjTjTjG2222)2()1(lg20)(TTL2212arctan)(TT•当ω«1/T，忽略Tω，对数幅频特性为L(ω)≈20lg1=0(dB)；当ω»1/T，忽略1和2ξTω，对数幅频特性为L(ω)≈-20lgT2ω2=-40lgTω(dB).•当ω«1/T，θ=0；当ω=1/T，θ=-90o；当ω»1/T，θ=-180o。2222)2()1(lg20)(TTL2212arctan)(TT振荡环节的Bode图：4理想微分环节传递函数G(s)=s；频率特性函数G(jω)=jω；对数幅频特性L(ω)=20lgω；对数相频特性θ(ω)=90o。L(ω)0dBω=1ωθ(ω)90o0oω5一阶微分环节传递函数G(s)=；频率特性函数G(jω)=；对数幅频特性(dB)对数相频特性(°)•当，L(ω)≈20lg1=0(dB);θ(ω)=0°;•当，L(ω)=10lg2(dB);θ(ω)=45°;•当，。1s1j1lg20)(22Larctan)(/1/1/1o90)((dB);lg20)(L一阶微分环节的Bode图6最小相位系统•最小相位系统：传递函数的极点和零点均在左半s平面的系统。•非最小相位系统：传递函数有极点和（或）零点在右半s平面的系统。最小相位系统Ga(s)=(1+T2s)/(1+T1s)Ga(jω)=(1+jωT2)/(1+jωT1)非最小相位系统Gb(s)=(1-T2s)/(1+T1s)Gb(jω)=(1-jωT2)/(1+jωT1)0T2T1由于|1+jωT2|=|1-jωT2|,所以两个系统的幅频特性完全相同。相频特性θa(ω)=arctanT2ω-arctanT1ωθb(ω)=-arctanT2ω-arctanT1ω当ω:0→∞，系统a的相位变化量为0°，系统b的相位变化量为-180°。即，最小相位系统的相位变化量总小于非最小相位变化量。•最小相位系统的重要特征：如果确定了最小相位系统的对数幅频特性，则其对应的相频特性也就被唯一地确定了。反之，亦然。因此，对于最小相位系统，只要知道它的对数幅频特性曲线，就能估计出系统的传递函数。•判别：当ω→∞时，最小相位系统和非最小相位系统对数幅频特性斜率均为-20(n-m)dB/dec。最小相位系统θa(ω)=-90°(n-m)，非最小相位系统θb(ω)≠-90°(n-m)。6.3系统对数频率特性图的绘制1开环系统对数频率特性图绘制设系统由G1(s)、G2(s)、G3(s)串联而成。系统频率特性函数G(jω)=G1(jω)G2(jω)G3(jω),A(G)ejθ(G)=A(G1)A(G2)A(G3)ej[θ(G1)+θ(G2)+θ(G3)]∴A(G)=A(G1)A(G2)A(G3);θ(G)=θ(G1)+θ(G2)+θ(G3)。•频率特性函数应相乘，相频特性函数应相加。lgA(G)=lgA(G1)+lgA(G2)+lgA(G3)L(G)=L(G1)+L(G2)+L(G3)•对