自动控制理论-第二章.

1第二章自动控制系统的数学模型2-1控制系统微分方程的建立2-2非线性微分方程的线性化2-3传递函数2-4动态结构图2-5系统的脉冲响应函数2-6典型反馈系统传递函数返回主目录主要内容2基本要求1.了解建立系统动态微分方程的一般方法。2.熟悉拉氏变换的基本法则及典型函数的拉氏变换形式。3.掌握用拉氏变换求解微分方程的方法。4.掌握传递函数的概念及性质。5.掌握典型环节的传递函数形式。返回子目录36.掌握由系统微分方程组建立动态结构图的方法。7.掌握用动态结构图等效变换求传递函数和用梅森公式求传递函数的方法。8.掌握系统的开环传递函数、闭环传递函数，对参考输入和对干扰的系统闭环传递函数及误差传递函数的概念。4•分析和设计任何一个控制系统，首要任务是建立系统的数学模型。•系统的数学模型是描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式。–建立数学模型的方法分为解析法和实验法5什么是数学模型?所谓的数学模型，是描述系统动态特性及各变量之间关系的数学表达式。控制系统定量分析的基础。数学模型的特点1)相似性：不同性质的系统，具有相同的数学模型。抽象的变量和系统2)简化性和准确性：忽略次要因素，简化之，但不能太简单，结果合理3)动态模型：变量各阶导数之间关系的微分方程。性能分析4)静态模型：静态条件下，各变量之间的代数方程。放大倍数数学模型的类型1)微分方程：时域其它模型的基础直观求解繁琐2)传递函数：复频域微分方程拉氏变换后的结果3)频率特性：频域分析方法不同，各有所长2-1数学模型的概念6数学模型的建立方法1)分析法：根据系统各部分的运动机理，按有关定理列方程，合在一起。2)实验法：黑箱问题。施加某种测试信号，记录输出，用系统辨识的方法，得到数学模型。建模原则：选择合适的分析方法－确定相应的数学模型－简化7解析法：依据系统及元件各变量之间所遵循的物理、化学定律列写出变量间的数学表达式，并经实验验证。实验法：对系统或元件输入一定形式的信号（阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信号等），根据系统或元件的输出响应，经过数据处理而辨识出系统的数学模型。8总结：解析方法适用于简单、典型、常见的系统，而实验方法适用于复杂、非常见的系统。实际上常常是把这两种方法结合起来建立数学模型更为有效。9•2-1-1列写微分方程式的一般步骤•1)分析系统运动的因果关系，确定系统的输入量、输出量及内部中间变量，搞清各变量之间的关系。•2)忽略一些次要因素，合理简化。2-1系统微分方程的建立103)根据相关基本定律，列出各部分的原始方程式。4)列写中间变量的辅助方程。方程数与变量数相等！5)联立上述方程，消去中间变量，得到只包含输入输出的方程式。6)将方程式化成标准形。与输出有关的放在左边，与输入有关的放在右边，导数项按降阶排列，系数化为有物理意义的形式。11观察实际物理系统的运动方程，若用线性定常特性来描述，则方程一般具有以下形式：cadtdcadtcdadtcdannnnnn11110rbdtdrbdtrdbdtrdbmmmmmm11110线性微分方程的一般特征12式中，c(t)是系统的输出变量，r(t)是系统的输入变量。从工程可实现的角度来看，上述微分方程满足以下约束：（1）方程的系数为实常数，由系统自身参数决定；（2）左端的阶次比右端的高,n=m。这是因为实际物理系统均有惯性或储能元件；（3）方程式两端的各项的量纲应一致。利用这点，可以检查微分方程式的正确与否。cadtdcadtcdadtcdannnnnn11110rbdtdrbdtrdbdtrdbmmmmmm1111013列写微分方程的一般方法•例2-1列写如图所示RLC网络的微分方程。RCur(t)uc(t)L14解：（1）确定输入量为ur(t)，输出量为uc(t)，中间变量为i(t)。rcuuRidtdiL（4）列写中间变量i与输出变量uc的关系式:dtduCic（5）将上式代入原始方程，消去中间变量得RCur(t)uc(t)L（2）网络按线性集中参数考虑且忽略输出端负载效应。（3）由KVL写原始方程：i(t)15（6）整理成标准形，令T1=L/R，T2=RC，则方程化为rcccuudtduTdtudTT22221rcccuudtduRCdtudLC2216三个基本的无源元件：质量m,弹簧k,阻尼器f对应三种阻碍运动的力:惯性力ma;弹性力ky;阻尼力fv例2-2弹簧-质量-阻尼器串联系统。试列出以外力F(t)为输入量，以质量的位移y(t)为输出量的运动方程式。解：遵照列写微分方程的一般步骤有：（1）确定输入量为F(t)，输出量为y(t)，作用于质量m的力还有弹性阻力Fk(t)和粘滞阻力Ff(t)，均作为中间变量。（2）设系统按线性集中参数考虑，且无外力作用时，系统处于平衡状态。MKF(t)y(t)f17（3）按牛顿第二定律列写原始方程，即kytFk)()(dtdyffvtFf（5）将以上辅助方程式代入原始方程,消去中间变量,得)(22tFdtdyfkydtydm（6）整理方程得标准形)(122tFkydtdykfdtydkm)()()(22dtydmtFtFtFFfk（4）写中间变量与输出量的关系式MKF(t)y(t)f18222d()d()2()()ddytytTTytkFtttT称为时间常数，为阻尼比。显然，上式描述了m－K－f系统的动态关系，它是一个二阶线性定常微分方程。令，即/TmK2/TfK/2fmK，则上式可写成1/kK1922()dydymfkyFtdtdt221rdqdqLRqudtdtC相似系统的定义：任何系统，只要它们的微分方程具有相同的形式。在方程中，占据相同位置的量，相似量。上面两个例题介绍的系统，就是相似系统。例2-1例2-2令uc=q/CrcccuudtduRCdtudLC22模拟技术：当分析一个机械系统或不易进行试验的系统时，可以建造一个与它相似的电模拟系统，来代替对它的研究。20直流电动机是将电能转化为机械能的一种典型的机电转换装置。在电枢控制的直流电动机中，由输入的电枢电压ua在电枢回路产生电枢电流ia，再由电枢电流ia与激磁磁通相互作用产生电磁转矩MD，从而使电枢旋转，拖动负载运动。Ra和La分别是电枢绕组总电阻和总电感。在完成能量转换的过程中，其绕组在磁场中切割磁力线会产生感应反电势Ea，其大小与例2-3电枢控制的直流电动机MRauaLaiaif=常数Ea21激磁磁通及转速成正比，方向与外加电枢电压ua相反。下面推导其微分方程式。（1）取电枢电压ua为控制输入，负载转矩ML为扰动输入，电动机角速度为输出量；（2）忽略电枢反应、磁滞、涡流效应等影响，当激磁电流不变if时，激磁磁通视为不变，则将变量关系看作线性关系；（3）列写原始方程式电枢回路方程：aaaaaauEiRdtdiLuaMRaLaiaif=常数Ea22电动机轴上机械运动方程：LDMMdtdJJ—负载折合到电动机轴上的转动惯量;MD—电枢电流产生的电磁转矩;ML—合到电动机轴上的总负载转矩。（4）列写辅助方程Ea=keke—电势系数，由电动机结构参数确定。MD=kmiakm—转矩系数，由电动机结构参数确定。（5）消去中间变量，得LmmmLmDaMkdtdkJkMdtdJkMi123aaaaaauEiRdtdiLLmmmLmDaMkdtdwkJkMdtdwJkMi1dtdMkkLMkkRukdtdkkJRdtdkkJLLmeaLmeaaemeamea12224dtdMkkLMkkRukdtdkkJRdtdkkJLLmeaLmeaaemeamea122meamkkJRT令机电时间常数Tm:令电磁时间常数Ta:aaaRLT1)当电枢电感较小时，可忽略，可简化上式如下：LmaemMJTukdtdT10aT2-22一阶系统dtdMJTTMJTukdtdTdtdTTLmaLmaemma122二阶系统（2-21）252)对微型电机，转动惯量J很小，且Ra、La都可忽略eaaekuuk1测速发电机3)随动系统中，取θ为输出LmaemMJTukdtddtdTdtd1224)在实际使用中，转速常用n（r/min）表示,设ML=0aemmaukndtdnTdtndTT'2213022230602'eekknn，令代入0meamkkJRT0aaaRLTdtdMJTTMJTukdtdTdtdTTLmaLmaemma122LmaemMJTukdtdT1262－2非线性微分方程的线性化•在实际工程中，构成系统的元件都具有不同程度的非线性，如下图所示。返回子目录27于是，建立的动态方程就是非线性微分方程，对其求解有诸多困难，因此，对非线性问题做线性化处理确有必要。对弱非线性关系的线性化如上图（a），当输入信号很小时，忽略非线性影响，近似为放大特性。对图（b）和图（c），当死区或间隙很小时（相对于输入信号）同样忽略其影响，也近似为放大特性，如图中虚线所示。平衡位置附近的小偏差线性化输入和输出关系具有如下图所示的非线性特性。28在平衡点A（x0，y0）处，当系统受到干扰，y只在A附近变化，则可对A处的输出、输入关系函数按泰勒级数展开，由数学关系可知，当很小时，可用A处的切线方程代替曲线方程（非线性），即小偏差线性化。x290000(,)(,)||xyxyvffzxyxy经过上述线性化后，就把非线性关系变成了线性关系，从而使问题大大简化。但对于如图（d）所示的强非线性，只能采用第七章的非线性理论来分析。对于线性系统，可采用叠加原理来分析系统。可得，简记为。若非线性函数有两个自变量，如，则在平衡点处可展成（忽略高次项）0d|dxfyxkxxykx(,)zfxy30叠加原理叠加原理含有两重意义，即可叠加性和均匀性（或齐次性）。例2-3：设线性微分方程式为22d()d()()()ddctctctrttt若时，方程有解，而时，方程有解，分别代入上式且将两式相加，则显然，当时，必存在解为，这就是可叠加性。1()()rtrt1()ct2()()rtrt2()ct12()()()rtrtrt12()()()ctctct31上述结果表明，两个外作用同时加于系统产生的响应等于各个外作用单独作用于系统产生的响应之和，而且外作用增加若干倍，系统响应也增加若干倍，这就是叠加原理。若时，为实数，则方程解为，这就是齐次性。1()()rtart1()()ctacta322－3传递函数传递函数的定义：线性定常系统在零初始条件下，输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比。返回子目录一、拉普拉斯变换的概念以时间t为自变量的函数，它的定义域是则积分式拉普拉斯变换()ft0t0()()stFsftedt（是一个复变量）s称上式为函数的拉普拉斯变换式()ft()Fsℒ()ft叫做()ft的拉氏变换,称为象函数.()Fs叫做的拉氏逆变换,称为原函数,()ft()Fs()ft=ℒ)(1sF（2）在的任一有限区间上连续或分段连续；（1）时,一个函数可以进行拉氏变换的充分条件是0t0t()0ft二、拉普拉斯变换存在定理dtetfst0)(（3）拉普拉斯变换例1求单位阶跃函数的拉氏变换ut解0100)(tttusstsstedtetuL10101)]([一些常用函数的拉普拉斯变换即stuL1)]([根据定义dtetftfLst0)()]([拉普拉斯变换例2求指数函数的拉氏变换ktetf)(解：根据定义kseksdtedteetfLtkstksstkt