自动控制理论第七章.

1HARBININSTITUTEOFTECHNOLOGY自动控制理论第七章非线性系统的分析本章重点1.非线性系统概念和特点；2.相平面法；3.描述函数法；4.改善非线性系统性能的措施。2HARBININSTITUTEOFTECHNOLOGY自动控制理论第七章非线性系统的分析本章难点1.奇点的类型和相平面分析法的原理；2.描述函数法及物理意义；3.极限环的分析。3HARBININSTITUTEOFTECHNOLOGY自动控制理论第七章非线性系统的分析第七章非线性系统的分析§7.1非线性系统的概述§7.2二阶线性和非线性系统的相平面分析§7.3非线性系统的相平面分析§7.4非线性系统的描述函数分析法§7.5典型非线性系统的稳定性4HARBININSTITUTEOFTECHNOLOGY自动控制理论第七章非线性系统的分析•严格地说线性系统在实地实际中不存在，而非线性系统是普遍存在的。•构成系统的环节中有一个或一个以上的非线性特性时，即称此系统是非线性系统。•非线性系统千差万别。•线性系统中引入非线性控制可以改善系统的性能。线性控制系统：由线性元件组成，输入输出间具有叠加性和均匀性性质。非线性控制系统：系统中含有非线性元件组成，输入输出间具有叠加性和均匀性性质。5HARBININSTITUTEOFTECHNOLOGY自动控制理论第七章非线性系统的分析非线性系统和线性系统之间的本质差别：１非线性系统叠加原理不能应用。3非线性系统不能求出完整的解，只能对非线性系统的运动情况进行估计，例如系统的稳定性和动态品质等等。非线性科学耗散结构论、突变论、协同论、混沌、分形。更具有前沿性、交叉性和普适性。2线性系统可以用常微分方程来描述，而非线性的微分方程只在某些特殊的情况下才有解析解。4非线性系统呈现出更为复杂和多样的动力学特性。6HARBININSTITUTEOFTECHNOLOGY自动控制理论第七章非线性系统的分析§7.1非线性系统的概述一、非线性系统的数学描述描述大多数非线性系统的数学模型是n阶非线性非线性常微分方程，形式为：)(,,,,),(,1122tudtyddtyddtdytythdtydnnnnh(·)表示非线性函数。u(t)是输入，y(t)是输出。7HARBININSTITUTEOFTECHNOLOGY自动控制理论第七章非线性系统的分析二、控制系统中非线性特性的分类非本质非线性：光滑连续可以局部线性化。本质非线性：当输入信号超出其线性范围后，输出信号不再随输入信号变化而保持恒定。放大器的饱和输出特性磁饱和元件的行程限制功率限制等等。1.饱和特性atxtxkaatxtkxty)()(sgn)()()(axyM－M-a8HARBININSTITUTEOFTECHNOLOGY自动控制理论第七章非线性系统的分析输入输出2.死区特性（不灵敏区特性）很小时作为线性特性处理较大时将使系统静态误差增加，系统低速不平滑性各类液压阀的正重叠量；系统的库伦摩擦；测量变送装置的不灵敏区；调节器和执行机构的死区；弹簧预紧力；等等。atxtxatxkatxty)()](sgn)([)(0)(数学描述为：a－为死区宽度9HARBININSTITUTEOFTECHNOLOGY自动控制理论第七章非线性系统的分析输出输入输出输入3.滞环特性铁磁部件的元件：电液伺服阀中的力矩马达非单值非线性10HARBININSTITUTEOFTECHNOLOGY自动控制理论第七章非线性系统的分析axy-abc4.间隙特性（回环）齿轮传动中的齿隙液压传动中的油隙0)()(sgn0)(])([0)(])([)(tytxctyatxktyatxkty数学描述为：间隙输出相位滞后，减小稳定性裕量，动特性变坏自持振荡。同时使稳态误差增大。11HARBININSTITUTEOFTECHNOLOGY自动控制理论第七章非线性系统的分析5.继电器特性0)(,)(0)(,)()()(sgn0)(,)(00)(,)(0)(txmatxMtxmatxMatxtxMtxmatxatxatxmatyxM－Mama-a-maya－为继电器的吸合电压。ma－为继电器的释放电压。M－为常值输出。xyM－MxyM－MxyM－Ma-aa-a几种特殊的继电器特性12HARBININSTITUTEOFTECHNOLOGY自动控制理论第七章非线性系统的分析输入输出在不同输入幅值下，元件或环节具有不同的增益。6.非线性增益大偏差时，具有较大增益加快系统响应。小偏差时，具有较小增益提高零位附近的系统稳定性。13HARBININSTITUTEOFTECHNOLOGY自动控制理论第七章非线性系统的分析三、非线性系统的特点与分析方法（一）非线性系统的特点1.系统的稳定性动态特性和稳定性不仅和系统的结构和参数有关，还和初始条件有关。同一结构和参数的系统可能因为初始条件的不同运动的最终状态可能完全不同。2.系统的自持振荡线性系统只能当其参数不位于稳定边界时，只能收敛于平衡状态或者发散，只有处于临界稳定时，才能产生振荡。非线性系统中即使没有外界的激励也可能发生某一固定幅值和频率的振荡，称为自持振荡。14HARBININSTITUTEOFTECHNOLOGY自动控制理论第七章非线性系统的分析3.频率响应的畸变在非线性系统中，输入是正弦函数时，输出则是包含了高次谐波分量的非正弦周期函数，因此不能应用频率特性、传递函数这些线性系统常用的方法来分析和综合非线性系统，也不能应用象单位阶跃等典型输入信号作为评价非线性系统性能的试验信号。因此目前尚无一般通用的方法来分析和设计非线性控制系统。4.系统的共振现象线性系统中，如外施信号的频率与系统本身固有的无阻尼自振频率相同时，系统将产生共振。而非线性系统不会发生线性系统那样的共振现象。15HARBININSTITUTEOFTECHNOLOGY自动控制理论第七章非线性系统的分析（二）非线性系统的分析和设计方法非线性方程没有统一的求解方法，不能应用叠加原理。对于非线性不严重的系统可用小偏差线性化的方法，对于本质非线性可采用分段线性化的方法。对于非线性控制系统，在许多实际问题中，并不需要求得其响应的精确解。而是讨论问题①系统是否稳定；②系统是否产生自持振荡，如产生，其幅值和频率是多少；③如何消除自持振荡。分析方法：频域上有描述函数法和波波夫法；时域上有相平面法和李亚普诺夫第二法。计算机仿真的方法也可以分析复杂的非线性系统。16HARBININSTITUTEOFTECHNOLOGY自动控制理论第七章非线性系统的分析§7.2二阶线性和非线性系统的相平面分析一、相平面、相轨迹和平衡点二阶系统的二阶微分方程可以用两个一阶的微分方程来表示：)(),(,)(2111txtxtftx)(),(,)(2122txtxtftx状态平面是一个二维的平面，[x1(t),x2(t)]表示一个解，t固定时，其解对应相平面上的一个点。当t变化时x1(t)对应于x2(t)在状态平面上形成的运动轨迹称为状态平面轨迹。（7-2-1)（7-2-2)当（7-2-1)为)()(21txtx这种形式时，状态平面轨迹称为相平面轨迹，或是相轨迹。17HARBININSTITUTEOFTECHNOLOGY自动控制理论第七章非线性系统的分析平衡点：状态[x10,x20]称为在时刻平衡点，条件为对于所有的t≥t0,有0,,20101xxtf0,,20102xxtf奇点：在相轨迹上满足条件0012dxdx为不定值的点为奇点。也可以写作0012dtdxdtdx奇点也是平衡点。18HARBININSTITUTEOFTECHNOLOGY自动控制理论第七章非线性系统的分析二、二阶线性系统的特征022xxxnn二阶线性系统的微分方程为2122212xxxxxnn令x=x1,2122212xxxxxnn也可以写作2122212xxxdxdxnn又知二阶系统的特征根为1,221nn1.ζ＝0时，系统处于无阻尼状态，λ1、λ2为共轭虚根。12221xxdxdxn19HARBININSTITUTEOFTECHNOLOGY自动控制理论第七章非线性系统的分析分离变量，然后对两侧分别积分得到22221Rxxn其中2202102nxxRx10、x20为初始状态。ζ＝0时二阶线性系统的相轨迹每一个椭圆对应一个周期运动，原点处有一孤立奇点，叫做中心点。20HARBININSTITUTEOFTECHNOLOGY自动控制理论第七章非线性系统的分析2.0＜ζ＜1时，系统处于欠阻尼状态，λ1、λ2为左半平面共轭复根。0＜ζ＜1时二阶线性系统的相轨迹方程的解为)cos(tAexdt)sin()cos(teAteAxdtddt•运动收敛于平衡状态(坐标原点)，系统是稳定的。平衡点称为稳定焦点。•运动趋向于平衡状态的过程是周期性的振荡过程。21HARBININSTITUTEOFTECHNOLOGY自动控制理论第七章非线性系统的分析3.ζ＞1时，系统处于过阻尼状态，λ1、λ2为左半平面负实根。)(121122tttececexttececx)1(22)1(2122)1()1(方程的解为•运动收敛于平衡状态，系统是稳定的。•运动趋向于平衡状态的过程是非周期性的。•平衡点为稳定节点。根与相轨迹j0j0j0节点稳定焦点中心不稳定节点不稳定节点鞍点λ1j0λ2j0λ2λ1j0λ1λ223HARBININSTITUTEOFTECHNOLOGY自动控制理论第七章非线性系统的分析二、二阶非线性系统的特征二阶线性系统的相轨迹和奇点的性质由系统的特征根决定，即由系统本身的结构和参量决定，与系统的初始状态无关。不同初始状态只能形成一组形态相似的相轨迹，不能改变相轨迹的性质。不同初始状态决定的相轨迹不会相交，可能有部分重合。只有在奇点处，才能有无数条相轨迹逼近或离开它。局部相轨迹可以推知全局。不会形成在全部时间内有定义的孤立封闭曲线形状的相轨迹。对于二阶非线性系统，由于没有一般的求解非线性微分方程的方法，通常用解析方法求出时间解是不可能的。24HARBININSTITUTEOFTECHNOLOGY自动控制理论第七章非线性系统的分析可以用小范围线性化方法求出其在平衡点附近的线性化方程。再分析系统的相轨迹和奇点的情况。利用相平面分析法研究二阶非线性系统的基本思想是：对于二阶非线性系统，先用图解方法作出其相轨迹曲线，然后通过相轨迹来研究系统的运动。二阶系统时间解x对时间的导数曲线相轨迹图25HARBININSTITUTEOFTECHNOLOGY自动控制理论第七章非线性系统的分析§7.3非线性系统的相平面分析一、绘制相轨迹的方法求解二阶系统相轨迹的方法：解析法和图解法。系统的微分方程可写成如下相变量方程的形式：),(21221xxfxxx(一）解析法22112),(xxxfdxdx对其积分，得到x1和x2的关系式，就是相轨迹方程。26HARBININSTITUTEOFTECHNOLOGY自动控制理论第七章非线性系统的分析M－M＋－21sR(s)C(s)例：含理想继电器特性的非线性系统如图所示，线性部分的输入输出的关系为：ydtcd22非线性部分（理想继电器特性）输入与输出的关系为：)sgn(sgncrMeMy试绘制相轨迹。解：选择状态变量，令,1cx,2cx则系统的相变量方程为)sgn(221crMxxx27HARBININSTITUTEOFTECHNOLOGY自动控制理论第七章非线性系统的分析相除得：)sgn(12crMdxdx