系统工程第06讲(2)

系统工程(C类)上海交通大学宋元斌第四章系统模型化第一节系统模型化概述第二节系统结构的模型化第二节系统结构的模型化任何系统都是由两个以上的有机联系、相互作用的要素组成的。结构：组成系统诸要素之间相互关联的方式，结构是决定系统功能的最本质的因素。（石墨与金刚石的差别就在结构方面）大规模复杂系统要素众多、层次丰富、结构复杂系统结构模型化通常是对大规模复杂系统进行数学建模和定量分析的基础。在对大规模复杂系统建模的步骤中通常包括一项重要任务“确定模型结构”。先要建立系统结构的模型，进行系统的结构分析，以求得对问题本质的全面认识，然后建立数学模型，进行定量分析。构造模型的步骤明确目的和要求进行一般语言描述抓住主要变量及关系确定模型结构估计模型参数进行实验研究是否与现实相符？结束修正模型系统结构模型结构模型：定性表示系统要素及要素间的关联情况结构模型突出表现系统要素之间的相互作用的性质。结构分析：建立系统结构模型分析系统的结构解释（经过分析后的）结构模型系统结构分析的重要意义系统结构分析是模型化过程中的一项重要内容。对系统结构的正确认识与描述是数学模型和定量分析所无法取代的。回忆上堂课讲的逻辑模型系统结构的基本表达方式集合有向图矩阵某系统，已经发现有7个要素，分别标记为S1，…,S7。各要素之间的影响关系：S2影响S1，S3影响S4，S4影响S5，S7影响S2，S4和S6互相影响。问题：S1能否间接影响S6？系统结构的集合表达系统中的要素系统由n（n≥2）个要素(S1,S2,…,Sn）所组成，其集合为S，可表述为：S=S{S1,S2,…,Sn}要素之间的关系（二元关系*）要素之间的关联方式可以用S上的二元关系集合Rb表示。Rb是满足某种二元关系R的所有要素对（Si，Sj）的集合。其中，Si，Sj都属于S集合。二元关系二元关系：存在于两个要素Si和Sj之间的关系Rij常见的二元关系有因果关系、包含关系、隶属关系、影响关系、比较关系二元关系是结构分析中所研究的系统要素之间的基本关系，一般有如下三种情形：SiRSj：Si和Sj之间存在某种二元关系RSiRSj：Si和Sj之间不存在某种二元关系RSiRSj：Si和Sj之间的二元关系R不明确SR-~二元关系二元关系的传递性通常情况下二元关系具有传递性有SiRSj和SjRSk，则有SiRSk反映两个要素的间接联系，记作Rt（t为传递次数）,如SiR2Sk注意：有些二元关系不具有传递性，如相交关系，A与B相交，B与C相交，不能退出A与C相交。强连接关系相互关联的二元关系，如有SiRSj同时有SjRSi具有强连接关系的各要素之间存在替换性。系统结构的集合表达该系统的基本结构可表示为：要素集合S={S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7}二元关系集合Rb={（S2，S1），（S3，S4），（S4，S5），（S7，S2），（S4，S6），（S6，S4）}某系统，已经发现有7个要素，分别标记为S1，…,S7。各要素之间的影响关系：S2影响S1，S3影响S4，S4影响S5，S7影响S2，S4和S6互相影响。系统结构的有向图表示节点表示系统构成要素有向弧表示要素之间的二元关系通路长度：节点i(Si)节点j(Sj)间的最少有向弧数，Si和Sj之间二元关系的（最少）传递次数。回路：从某节点出发，沿着有向弧通过其他节点各一次可回到该节点时，形成回路。呈强连接关系的要素节点间存在双向回路。5162374系统结构的矩阵表示邻接矩阵（A）：要素间直接联系，未表示间接联系5162374•如果有一列（如第j列）元素全为0，则Sj要素为系统输入要素，因为该要素节点没有入箭头。如S3和S7•如果有一行（如第i列）元素全为0，则Si要素为系统输出要素，因为该要素节点没有出箭头。如S1和S5系统结构的三种描述方式比较S＝{S1,S2,S3,S4,S5,S6,S7}Rb={(S2,S1),(S3,S4),(S4,S5),(S4,S6),(S6,S4),(S7,S2)}集合S1S2S3S4S5S6S7有向图0000000100000000010000000110000000000010000100000邻接矩阵S1S2S3S4S5S6S7S1S2S3S4S5S6S7Rb中联系元素数目有向弧数目矩阵中“1”的数目系统结构的矩阵表示可达矩阵（M）使用矩阵形式表示有向图中各个节点之间通过任意长的路径可以到达（即间接影响）的情况。或者说，是系统要素之间任意次传递的二元关系若M=（mij）nxn，且在无回路条件下的最大路长或传递次数为t，0=t=r,r为最长路径（传递次数）：当t=0时，表示Si自身到达（反射性二元关系）,M=I当t=1时，表示基本的二元关系，M=A当t=2时，表示传递的二元关系可达矩阵可达矩阵求解：可以用邻接矩阵A加上单位矩阵I，再经过若干次自乘运算求得。M=(A+I)r最大传递次数按下式确定(A+I)1≠(A+I)2≠(A+I)3≠…≠(A+I)r-1≠(A+I)r=(A+I)r+1=…=(A+I)n系统结构的有向图表示系统结构的有向图表示C）可达矩阵系统结构的有向图表示(A+I)3就是反映总体通达(传递)关系的可达矩阵最大路径长度（传递次数）r=3.区域划分5162374延续前例：进行可达矩阵计算(A+I)2=(A+I)3解释结构模型解释结构模型（InterpretativeStructuralModeling，ISM）技术是美国J·N·沃菲尔德教授于1973年作为分析复杂的社会经济系统结构问题的一种方法而开发的。基本思想：通过各种创造性技术，提取问题的构成要素，利用有向图、矩阵等工具和计算机技术，对要素及其相互关系等信息进行处理，明确问题的层次和整体结构，最后用文字加以解释说明。解释结构模型应用ISM可以提高分析员对问题的认识和理解程度。该技术广泛适用于认识和处理各类系统的结构分析问题不需高深的数学知识模型直观且有启发性各种背景人员可参加ISM工作原理意识模型要素及要素关系可达矩阵区域划分级位划分解释结构模型有向图邻接矩阵多级递阶有向图提取骨架矩阵优势：可以求出利用其他方法无法找出的间接联系。这些间接联系对研究系统的整体特性具有重要意义。修正？递阶结构模型分析报告YesNo如何划分区域（1）将与要素Si（i=1，2，…，n）相关联的所有要素划分成两类集合：可达集R（Si）：由Si可到达的诸要素所构成的集合先行集A（Si）：可到达Si的诸要素所构成的集合如何划分区域（2）求共同集C(Si)：Si的可达集和先行集的交集。SiR(Si)A(Si)R(Si)∩A(Si)111,2,7121,22,7233，4，5，63344，5，63,4，64，6553，4，5，6564，5，63，4，64，671，2，777可达集、先行集、共同集的关系区域划分的集合A(Si)R(Si)C(Si)SiSi本身一定在C(Si)中与Si强连接的要素一定在C(Si)中区域划分的集合可达集R（Si）由Si可到达的诸要素所构成的集合，R（Si）：R（Si）={Sj|Sj∈S，mij=1，j=1，2，…，n}i=1，2，…，n先行集A（Si）可到达Si的诸要素所构成的集合，A（Si）：A（Si）={Sj|Sj∈S，mji=1，j=1，2，…，n}i=1，2，…，n共同集C（Si）是Si的可达集和先行集的交集，C（Si）：C（Si）={Sj|Sj∈S，mij=1，mji=1，j=1，2，…，n}i=1，2，…，n区域划分起始集在S中只影响（到达）其他要素而不受其他要素影响（不被其他要素到达）的要素所构成的集合，记为B（S）：B（S）={Si|Si∈S，C（Si）=A（Si），i=1，2，…，n}当Si为起始集要素时，A（Si）=C（Si）A(Si)R(Si)C(Si)Si区域划分终止集在S中只被其他要素到达影响（到达）的要素所构成的集合，记为E（S）：E（S）={Si|Si∈S，C（Si）=R（Si），i=1，2，…，n}当Si为起始集要素时，R（Si）=C（Si）A(Si)R(Si)C(Si)Si区域划分判断系统要素集合S是否可分割（是否相对独立）只需判断起始集B（S）中的要素及其可达集能否分割，例如B(S)={S1，S3}R（S1）={S2，S4，S5}R（S1）={S5，S6，S7}或者，只需判断终止集E（S）中的要素及其先行集要素能否分割区域划分的结果可记为：∏（S）=P1，P2，…，Pk，…，Pm（其中Pk为第k个相对独立区域的要素集合）。不可分割区域划分利用起始集B（S）判断区域能否划分在B（S）中任取两个要素bu、bv：如果R（bu）∩R（bv）≠ψ（ψ表示空集），则bu、bv及R（bu）、R（bv）中的要素属同一区域。若对所有u和v均有此结果（均不为空集），则区域不可分。如果R（bu）∩R（bv）=ψ，则bu、bv及R（bu）、R（bv）中的要素不属同一区域，系统要素集合S至少可被划分为两个相对独立的区域。利用终止集E（S）来判断区域能否划分只要判定“A（eu）∩A（ev）”（eu、ev为E（S）中的任意两个要素）是否为空集即可。区域划分可达集、先行集、共同集和起始集例表SiR（Si）A（Si）C（Si）B（S）123456711，23，4，5，64，5，654，5，61，2，71，2，72，733，4，63，4，5，63，4，671234，654，6737延续前例：进行区域划分先列Si的可达集R（Si）、先行集A（Si）、共同集C（Si），再找出起始集B（S）（类似地，可以找出E（S））OO34561273456127M（P）=P1P21.区域划分（7）因为B（S）={S3，S7},且有R（S3）∩R（S7）={S3，S4，S5，S6}∩{S1，S2，S7}=ψ（空集），所以两个可达集分属两个相对独立的区域，即有：∏（S）=P1，P2={S3，S4，S5，S6},{S1，S2，S7}。这时的可达矩阵M变为如下的块对角矩阵，记为M（P）：1110110011110010011101111级位划分在某个区域内进行级位划分，即确定某区域内各要素所处层次地位的过程。也有教材称为“层级划分”。建立多级递阶结构模型的关键工作。设P是由区域划分得到的某区域要素集合，若用Li表示从高到低的各级要素集合，则级位划分的结果：∏（P）=L1，L2，…，LI（其中l为最大级位数）最高级位的要素即该系统的终止集要素。级位划分级位划分的基本做法是：找出整个系统要素集合的最高级要素（终止集要素）后，可将它们去掉，再求剩余要素集合（形成部分图）的最高级要素，依次类推，直到确定出最低一级要素集合（即Li）。令LO=ψ（最高级要素集合为L1，没有零级要素），则有：L1={Si|Si∈P-L0，C0（Si）=R0（Si），i=1，2，…，n}L2={Si|Si∈P-L0-L1，C1（Si）=R1（Si），in}Lk={Si|Si∈P-L0-L1-…-Lk-1，Ck-1（Si）=Rk-1（Si），in}式中的Ck-1（Si）和Rk-1（Si）是由集合P-L0-L1-…-Lk-1中的要素形成的子矩阵（子图）求得的共同集和可达集。级位划分级位划分要素集合SiR（S）A（S）C（S）C（S）=R（S）∏（P1）P1-L034563，4，5，64，5，654，5，633，4，63，4，5，63，4，634，654，6√L1={S5}P1-L0-L13463，4，64，64，633，4，63，4，634，64，6√√L2={S4，S6}P1-L0-L1-L23333√L3={S3}如对前例中P1={S3，S4，S5，S6}进行级位划分级位划分111011001