自适应控制.

第二章基于优化控制策略的自校正器•PID控制器：广泛应用于各种过程控制，但难以进行在线参数调整•自校正调节/控制器：自动调整参数•最小方差控制：被控过程结构和参数已知，系统处于随机扰动和干扰之中，使系统输出的稳态方差为最小2.1最小方差调节器2.1.1被控过程随机干扰的描述研究单输入/单输出、线性、定常离散系统的调节问题，被控过程由下列差分方程描述：)()1()()()1()()()1()(1101cnbnannkvckvckvndkubdkubdkubnkyakyakycba（2.1）式中：yk()uk()vk()Evk22()d：响应滞后拍数。：k时刻输出；：k时刻控制输入；：零均值白噪声序列，且有：(2.2a)q1AqykBqqukCqvkd()()()()()()111ykBqAqqukCqAqvkq()()()()()()()1111为单位后向平移算子，于是(2.1)式可写成：令或式中：(2.2b)AqaqaqBqbbqbqCqcqcqnnnnnnaabbcc()()()111101111111nkCqAqvk()()()()11vk()由(2.2)式可见随机扰动对过程的影响等效为n(k)：已不再是白噪声序列。(2.2)式称为CARMA模型，即：被控自回归滑动平均模型。(2.3)是高斯平稳序列，具有有理谱密度，但它被控过程的结构方框图u(k)+y(k)C(q)-1A(q)-1n(k)v(k)-dqB(q)-1A(q)-11q1()Bq1q1()Cq)(kv22E[v(k)]要使最小方差自校正调节器的解存在，必须满足下列假设：(1)受控系统的时延d及延迟算子多项式A,B和C的阶次及系数都是已知的；圆外；(2)多项式的所有零点都位于复平面单位(3)多项式的所有零点都位于圆外；复平面单位(4)为白噪声序列，。该系统为最小相位系统，否则为非最小相位系统。1()Bq1q1()Bq1q1()Bq1()Cq系统为逆稳定系统，否则为逆不稳定系统。如果的零点全在复平面单位圆外，则称有时称的零点全在复平面单位圆外的之所以要求和的零点全在单位圆外，与闭环系统的稳定性有关。2.1.2性能指标和最小方差控制律问题的提法1）性能指标性能指标：输出y的方差对于调节器：参考输入为零，ykr()0EekEykykEykr222()[()()]()即，则y的方差就是y的均方值：2）容许控制律•控制律u(k):k时刻及其以前所有输出y(k),y(k-1),...，与所有过去时刻的控制序列u(k-1),u(k-2),...的函数•最小方差调节的基本思想:系统中信号传递存在d步延迟，对输出量中的可控干扰部分提前d步进行预测，根据预测值来设计最小方差调节律u(k)，以补偿可控部分的随机扰动在(k+d)时刻对输出的影响。•实现最小方差调节的关键在于预测。3）问题提法实际上性能指标应表示为：JEykd12()最小方差控制问题：对(2.2)式描述的系统求使(2.4)为极小时的容许控制律，该控制律被称为最小方差控制律。(2.4)2.1.3d步预测模型自适应预测：用给定的直到当前时刻k的数据调整预测器中参数，使得过去预测值接近相应的观测值，然后用这些参数产生未来的预测值。ykdCqAqvkdBqAquk()()()()()()()1111(2.5)由式(2.2)可得下式：干扰滤波器CqAq()()11CqAq()()11CqAqFqqGqAqd()()()()()()11111与以前所测量输出y(k),y(k-1),...线性无关以及线性相关两部分(2.6)被分解成一个恒等式：必须被分成两部分：其中：FqfqfqGqggqgqnnnnffgg()()11110111Fq()1CqAq()()11Gq()1qdCqAq()()11Fq()1Fq()1Gq()1是的商式，是的余式。如果v(k+d)为y(k)，y(k-1)，...独立的部分，则的nf阶次就应当是(d-1)，而的阶次应当等于(na-1)，即有：ndnnfga11ykdFqvkdqGqAqvkdBqAqukFqvkdGqAqvkBqAqukd()()()()()()()()()()()()()()()()()()1111111111将(2.6)式代入(2.5)式，可得将v(k+d)分解后的结果为：Fq()1)()()()()()()()(1111kuqCqBqkyqCqAkvdykdFqvkdGqCqykBqFqCquk()()()()()()()()()()111111另一方面，假定多项式的所有零点都在单位圆内，则(2.2)式可以改写成：(2.7)将(2.7)式代入上面的式中可得：(2.8)我们称(2.8)式为预测模型。对比(2.8)式和(2.5)式，(2.8)式是将(2.5)式的干扰项中的可预测部分分解出后所得到输出预测模型。利用此预测模型，就可以利用最小方差求得消除可控干扰后的最优预测器，或利用最小方差，求出消除可控干扰的控制律。2.1.4最优预测器输出量的d步预测估计：(/)ykdk)/(ˆ)()(~kdkydkydky)(~21dkyEJ预测误差：通过使性能指标求方差最小的d步最优预测：最小化来221ˆJEy(kd)E[y(kd)y(kd/k)]1111211G(q)B(q)F(q)ˆE[F(q)v(kd)y(k)u(k)y(kd/k)]C(q)C(q)11112211G(q)B(q)F(q)ˆE[F(q)v(kd)]E[y(k)u(k)y(kd/k)]C(q)C(q)1111112G(q)B(q)F(q)ˆEF(q)v(kd)[y(k)u(k)y(kd/k)]C(q)C(q)也是独立的，v(k)具有零均值，所以上式右边最后一项为0值。另外上式右边第一项是不可预测的，所以欲使J1最小，只有使上式右边第二项为0，此时有：(/)ykdk(/)ykdk由于v(k+1)，v(k+2)，...,v(k+d)与测量数据独立，而是测量数据的线性组合，所以v(k+1)，v(k+2)，...,v(k+d)与ykdkykdkGqCqykBqFqCquk*(/)(/)()()()()()()()11111JEFqvkdffdmin[()()]()121212212Aq()1Bq()1Cq()1Fq()1Gq()1(2.9)最小预测方差为：(2.10)其中，为v(k)的方差。方程(2.9)称为最优预测器方程，方程(2.6)称为丢番，(Diophantine)方程。当，和d已知时，可由它解出和。2.2最小方差控制律Cq()1ykdFqvkdykdk()()()*(/)1JEFqvkdykdkykdEFqvkdEykdkykdrr[()()*(/)()][()()][*(/)()]12122假设多项式是Hurwitz多项式，将最优预测器(2.9)式，代入预测模型(2.8)式中，可得：所以有：ykdkykdr*(/)()CqykdkGqykBqFquk()*(/)()()()()()1111上式右边第一项不可控，所以欲使J最小，必须使(2.11)由(2.9)式可得：(2.12)整理后可得最小方差控制律为：BqFqukykdCqykdkGqykr()()()()[()]*(/)()()11111(2.13a)从以上推导过程可以看出，最小方差控制律实际上是令(k+d)时刻的最优输出预测值为期望输出时所得到的控制。ykdr()0BqFqukGqyk()()()()()111ukGqBqFqyk()()()()()1110011()[()()]gfbnnniiiiiukgykifbukib对于调节器问题，可以设，此时最小方差控制律可以简化为：(2.14)或最小方差控制问题的设计步骤：AqykBqqukCqvkd()()()()()()111vk()N(,)02ukGqBqFqyk()()()()()111Fq()1Gq()1na11）设被控过程的差分方程为：其中，是独立高斯随机白噪声序列，假定B和C的零点都落在单位圆内，那么，最小方差控制律为：其中，多项式和的阶分别为d-1和丢番方程来确定：，多项式的系数可通过求解下列CqFqAqqGqd()()()()1111)()1()()()(~11111dkvqfqfdkvqFdkyddEykdfiid[~()]()2211212)(~dky2）输出误差是v(k+d)的d-1阶滑动平均：3）输出的最小方差为：其中为v(k)的方差。调节律。ykdr()0ykaykbukvkcvk()()()()()101121【例2.1】求解以下被控过程的预测模型和最优预测，并计算其最小预测误差的方差，以及当期望输出时的最小方差AqaqnBqbCqcqda(),()()111101111112Gq()1Fq()1na1GqgFqfq()()101111解：根据题意，已知：根据对和阶分别为和d-1的要求，可得：1111111111021110112cqaqfqgqfaqgafq()()()()0110111fagcaffcagaac1110111,()由丢番方程(2.6)可得：令上式两边q的同幂次项系数相等，得下列代数方程组：解之得：ykgykbfqukcqfqvk()()()()()()2111200111111ykkgykbfqukcq*(/)()()()211001111Eykf~()()212221ukGFBykbaaccaqyk()()[()()]()110111111由此可求出预测模型，最优预测，最优预测误差的方差，以及当期望输出时的最小方差控制律分别为：abc101090507.,.,.gf0114416.,.ykykukukqvkvk().().().().().()21440508110721611ykkykukukq*(/).().().().2144050811071Eyk~()(.).22222116356ukqyk()...()14405081ukykuk().().()288161若给定值：则有：所以可得：或最小方差调节的结构图u(k)+y(k)C(q)-1A(q)-1n(k)v(k)G(q)-1F(q)-1B(q)-1--dqB(q)-1A(q)-12ykykvkvk().()().()091071EykEykvkvk~()[.()().()]220910711)若d=1，则一步预测误差方差为，这说明预测误差随着预测长度d的增加而恶化，预测精度随之降低。此时的输出方差为：2)未加控制（即u(k)=0）时，由过程方程可得：讨论：EykvkEykvkEykEyk()(),()(),()()11101222uk()0