航天控制

航天控制2最优控制2.1月球探测器数学模型的建立假设月球探测器月面软着陆的终端运动状态为垂直月面向下,由于终端运动状态临近月面,可以近似认为月球重力加速度g为常值。以垂直月面向上为正方向建立系统的动力学方程如下:𝑥̈=−𝑘𝑚̇𝑚−𝑔月球探测器的制动受力如图1所示。图1制动受力图设系统的状态变量为:月球探测器高度𝑥,垂直方向速度𝑣,月球探测器质量m,令𝑥=𝑥1,𝑥1̇=𝑥2,𝑥3=𝑚,则系统状态方程如下:{𝑥1̇=𝑥2≜𝑓1𝑥2̇=−𝑝1𝑥3−𝑔≜𝑓2𝑥3̇=𝑢≜𝑓3(2)式中,p1为发动机推力且𝑃1=𝑉𝑟𝑢,𝑢代表流量,为最优控制系统的控制量,由于选用常推力发动机,所以u为常量;Vr为液体发动机的流速。在软着陆阶段,月球探测器垂直月面的高度和速度分别可以通过雷达高度表和多普勒雷达分别测量得知。2.2燃料最省控制问题月球探测器从垂直降落段的初始条件降落到悬停指定高度过程中,常推力液体发动机工作完成此任务。此过程以燃料消耗最省为最优指标,燃料消耗最省意味着到达终端状态探测器的剩余质量最大,即:𝐽=𝑚(𝑡𝑓)=𝑥3(𝑡𝑓)(3)在实现燃料最省的垂直降落过程中,系统的控制量为液体发动机的推力。系统从初始阶段到实现悬停的过程中,实现燃料最省的推力程序包括零推力段(即自由降落)和全推力段[3]。即:𝑃1={0𝑓(ℎ,𝑣)−𝑅0𝑝𝑓(ℎ,𝑣)−𝑅=0(4)式中,𝑓(ℎ,𝑣)−𝑅为液体发动机开关曲线的方程,𝑅为悬停高度。液体发动机开始工作时刻系统的初始条件:𝑋(𝑡0)=(𝑦0,𝑉0,𝑚0)𝑇(5)终端条件:𝜓=(𝑦(𝑡𝑓)−𝑅𝑉(𝑡𝑓)−0)=0(6)横截条件:𝜆(𝑡𝑓)=𝜕𝐽𝜕𝑥+(𝜕𝜓𝜕𝑥)𝑇𝜈(7)𝜈为拉格朗日乘子。共轭方程:𝜆=−𝜕𝐻𝜕𝑥(8)展开如下:{𝜆1̇=0𝜆2̇=−𝜆1𝜆3̇=−𝜆2𝑉𝑟(𝑥3)2𝑢(9)引入Hamilton函数:𝐻=𝜆1𝑥2−𝜆2𝑉𝑟𝑥3𝑢−𝜆2𝑔+𝜆3𝑢=(𝜆3−𝜆2𝑉𝑟𝑥3)𝑢+𝐻2=𝐻1(𝑢)+𝐻2(10)式中𝜆=(𝜆1,𝜆2,𝜆3)𝑇为协状态变量。𝐻2表示与控制量无关的部分。根据庞特里金极大值原理,最优控制使𝐻最大,也就是使𝐻1最大,从𝐻1的表达式,可知最优控制律为𝒖(𝑡)={−𝛼𝜆3(𝑡)−𝑉𝑟𝑥3(𝑡)𝜆2(𝑡)00𝜆3(𝑡)−𝑉𝑟𝑥3(𝑡)𝜆2(𝑡)0(11)式中,𝛼为液体发动机的流量。2.3最优控制问题的求解由动力学方程可以看出,动力学方程不显含时间𝑡,故系统为一自治系统,Hamilton函数𝐻=0。根据文献[4]介绍的改进的邻近极值法选择初值。具体步骤如下:1给定𝜆10=−1,再给定𝜆30,利用自治系统𝐻(𝑡0)=0的特性可求出另一初值𝜆20,即𝜆20=−(𝜆10𝑓1+𝜆30𝑓3)𝑓2⁄;2把𝜆10,𝜆20,𝜆30,𝜆40,𝜆50作为一组初值,将最优控制律(11)带入动力学方程(2)和协状态方程(9)积分轨道,以𝑦(𝑡𝑓=𝑅)作为一条轨道计算的结束;3如果由2得到的轨道满足终端对速度的约束,则该轨道就是满足燃料最省的最优轨道。如果不满足对终端速度的约束,则要调整𝜆30转到1;4以满足终端对速度的约束作为计算的结束。