矩阵理论作业

二、复内积空间与实内积空间的比较与分析1.线性空间设V是个非空集合，其中元素以,，……，表示；F是一个数域，其中元素以,kl，……，表示.在V的元素中间定义了一种称为加法的运算，即对V中依次取出的两个元素,，根据一定的规则，在V中唯一的一个元素与它们对应，称它为和的和，记为，且加法满足下面规则：,,V，有（1）（交换律）（2）()()（结合律）（3）存在零元素，即在V中有一个元素0，使对于V中任一元素都有0；（4）存在负元素，即对V中每个元素，存在V中的元素，使0，称为关于加法的负元素，记为.在数域F中与几何V中的元素之间定义了一种称为数乘的运算，即对F中任一数k与V中任一元素，根据一定规则，在V中唯一的一个元素与它们对应，记为k，称为k与的数乘，而且数乘满足下面规则：,klF和,V，有（5）1；（6）()()klkl（结合律）加法与数乘两个运算之间满足下面规则：（7）()klkl（分配率）；（8）()kkk（分配率）如此，称V为数域F上的线性空间，V中元素不论其本来的性质如何，统称为向量，简称V为线性空间或向量空间.如果数域是实数域，就称V为实线性空间；如果数域是复数域，就称V为复线性空间.2.实内积空间和复内积空间的不同概念定义：实内积空间定义：设V是实数域上的线性空间，如果对于V中的任意两个向量,都有一实数与之对应，记为()且满足下列四个条件，那么称这数()为和的内积（1）,,,,V；（对称性）（2）,,,,kkkRV；（线性性）（3）,,,,,,V；（线性性）（4）,0；当且仅当0时，,0.（非负性）此内积运算的实线性空间称为实内积空间，也称为欧式空间.在复线性空间nC中会出现0，而长度0的情形，所以定义满足的条件不同复内积空间定义：设V是复数域上的线性空间，如果对于V中的任意两个向量,都有一复数与之对应，记为()且满足下列四个条件，那么称复数()为和的内积（1）,(,),,V；（对称性）（2）,,,kkkC和,V；（线性性）（3）,,,,,V；（线性性）（4）,0；当且仅当0时，,0.（非负性）定义了内积运算的复线性空间称为复内积空间，也称为酉空间注1：对任意实数，，此时复内积空间与实内积空间是一直的注2：在复内积空间中，,,kk夹角定义：设,是实内积空间的任意两个非0向量，定义,的夹角为(,),arccos0,若,0，则称向量,是正交向量.设,是复内积空间的任意两个非0向量，定义,的夹角为(,)(,)2(,)(,)cos,0,若,0，则称向量,是正交向量实内积空间定理：设n维实内积空间V的两个基12,,,n与12,,,n的度量分别是和，则矩阵和是合同的，即存在可逆阵，使.推论4.2.3：设是n阶可逆方阵，则存在n阶正交阵Q和可逆上三角阵R，使QR.这称为方阵的QR分解.定理：实内积空间的任一子空间W必有唯一正交补，记这正交补为W，则WVW复内积空间在复内积空间中有新的概念，酉阵、正规阵：若复方阵适合，则称为酉阵.实酉阵即是正交阵定义：设是复方阵，如果，则为正规阵.定理4.6.1：任意复方阵必定酉相似于上三角阵.定理4.6.2：设是n阶复方阵，则酉相似于对角阵的充分必要条件是为正规矩阵.3.实内积空间和复内积空间相同部分定理：设V是实的或复的内积空间，设,V，为常数（实数或复数），则（1）kk（2）柯西-许瓦兹（Cauchy-Schwarz）不等式(,)当且仅当,线性相关时，等号成立（3）三角不等式（4）都可以进行施密特正交化，在内积空间中找到一个标准正交基（5）若实（复）内积空间V的子空间12,,,sVVV两两正交，则和12sVVV必为直和.（6）正交变换：设是实（复）内积空间V的线性变换，若对V中任意向量有(),(),即保持向量的长度不变，则称为正交变换定理：设是实（复）内积空间V的线性变换，则下面的叙述都是为正交变换（酉变换）的等价条件.,V，a)(),(),，即保持向量的长度不变；b)(),(),，即保持内积不变；c)若12,,,neee是V的一个标准正交基，则12(),(),,()neee也是V的一个标准正交基；d)若12,,,neee是V的一个标准正交基，且在这个基下的矩阵为，即1212(,,,)(,,,)nneeeeee则是正交阵，即（则是酉阵，即）（7）厄米特阵：在复内积空间，矩阵中满足，称为厄米特阵；在实内积空间中，实Hermite阵就是实对称阵.