测量平差的数学模型

本节重点：（1）测量平差的函数模型定义，类型；测量平差的数学模型包括：条件平差法模型、间接平差法模型、附有参数的条件平差法模型、附有限制条件的间接平差法模型、综合平差模型；（2）测量平差的随机模型。本节教学思路：首先说明平差的数学模型分两类：函数模型与随机模型，进而分别阐述其定义、分类及建立的方法和模型的具体形态。教学内容：一、平差模型的定义与分类1．从模型的性质分：函数模型、随机模型，函数模型连同随机模型称平差的数学模型；2．函数模型又分为：条件平差法模型、间接平差法模型、附有参数的条件平差法模型、附有限制条件的间接平差法模型、综合平差模型；二、各类函数模型的建立（一）概述1．函数模型定义：在科学技术领域，通常对研究对象进行抽象概括，用数学关系式来描述它的某种特征或内在的联系，这种数学关系式就称为函数模型。2．函数模型的意义与特点函数模型是描述观测量与待求量之间的数学函数关系的模型。对于一个平差问题，建立函数模型是测量平差中最基本、最重要的问题，模型的建立方法不同，与之相应就产生了不同的平差方法。函数模型有线性与非线性之分，测量平差通常是基于线性函数模型，当函数模型为非线性时（如（2-1-4）式），总是要将其线性化。（二）各种经典平差方法及其线性函数模型的建立方法。1.条件平差法及其函数模型首先通过两个例子，来说明条件平差函数模型的建立方法。在图2-1中，观测了三个内角，n=3，t=2，则r=n-t=1,存在一个函数关系式（条件方程），可以表示为：令=[111]=[]=[-180]则上式为（2-2-1）再如图2-2水准网，D为已知高程水准点，A、B、C均为待定点，观测值向量的真值为]其中n=6，t=3，则r=n-t=3，应列出3个线性无关的条件方程，它们可以是：令0180~~~321LLL31A13~L1~L2~L3~LT0A0~0ALA116~[~hL2~h3~h4~h5~h6~h0~~~)~(4211hhhLF0~~~)~(5322hhhLF0~~~)~(6313hhhLF图2-2Dh1h2h3h5h4h6ABC则上面条件方程组可写为（2-2-2）一般而言，如果有n个观测值，必要观测个数为t，则应列出r=n-t个条件方程，即（2-2-3）如果条件方程为线性形式，则可以直接写为（2-2-4）将代入（2-2-4）式，并令（2-2-5）则（2-2-4）式为（2-2-6）（2-2-4）或（2-2-6）式即为条件平差的函数模型。以此模型为基础的平差计算称为条件平差法。2.附有参数的条件平差法及其函数模型在平差问题中，设观测值个数为n，必要观测个数为t，则可以列出r=n-t个条件方程，现又增设了u个独立量作为未知参数，且0ut,每增加一个参数应增加一个条件方程，因此，共需列出r+u个条件方程，以含有参数的条件方程为平差函数模型的平差方法，称为附有参数的条件平差法。如图2-3的三角形ABC中，观测了三个内角、、，n=3，t=2，r=n-t=1，平差时选∠A为平差参数，即u=1，此时条件方程个数应为r+u=2个，它们可以写成：10010101011000101163A0~LA1nL0)~(LF11010~rrnnrALALL~)(0AALW0WA1L2L3LX~0180~~~321LLLS3S2S1L3L2L1BACX~图2-3令，，则上式可写成一般而言，在某一平差问题中,观测值个数为n，必要观测个数为t，多余观测个数为r=n-t，再增选u个独立参数，0ut，则总共应列出c=r+u个条件方程，其一般形式为(2-2-7)如果条件方程是线性的，其形式为(2-2-8)将代入上式，并令(2-2-9)则得(2-2-10)(2-2-8)或(2-2-10)式为附有参数的条件平差的函数模型。3.间接平差法(参数平差法)及其函数模型由前所述，一个几何模型可以由t个独立的必要观测量唯一的确定下来，因此，平差时若把这t个量都选作参数，即u=t（这是独立参数的上限），那么通过这t个独立参数就能唯一地确定该几何模型，换句话说，模型中的所有量都一定是这t个独立参数的函数，每个观测量也都可以表达为所选t个独立参数的函数。选择几何模型中t个独立量为平差参数，将每一个观测量表达成所选参数的函数，共列出r+u=r+t=n个这种函数关系式，以此作为平差的函数模型的平差方法称为间接平差。如图2-3三角形ABC中，观测了三个内角、、，n=3，t=2，r=n-t=1，平差时选∠A、∠B为平差参数，即，u=2，共需列出r+u=3个函数关系式，列立方法是将每一个观测量表达成所选参数的函数，由图知：0~~1XL001111A10B01800A0~~12012121332AXBLA0)~,~(1XLFc0~~1011cuucnncAXBLALL~)(0AALW0~111cuucnncWXBA1L2L3L21~~XX、TXXX）、（21~~~（2-2-11）方程的个数恰好等于观测值的个数。令，，则（2-2-11）式可写为（2-2-12）一般而言，如果某一平差问题中,观测值个数为n，必要观测个数为t，多余观测个数为r=n-t，再增选u个独立参数，u=t，则总共应列出c=r+u=n个函数关系式，其一般形式为如果这种表达式为线性的，一般为（2-2-13）将代入上式，并令（2-2-14）则（2-2-13）式可写为（2-2-15）以上（2-2-13）或（2-2-15）就是间接平差的函数模型。其中（2-2-13）称为观测方程。4.附有限制条件的间接平差及其函数模型如果在某平差问题中，选取ut个参数，其中包含t个独立参数，则多选的s=u-t个参数必定是t个独立参数的函数，即在u个参数之间存在着s个函数关系式。方程的总数c=r+u=r+t+s=n+s个，建立模型时，除了列立n个观测方程外，还要增加参数之间满足的s个条件方程，以此作为平差函数模型的平差方法称为附有条件的间接平差。180~~~~~~~2132211XXLXLXLTXXX）、（21~~~TLLLL）、、221~~~(~111001B18000d13122313~~dXBL1~uX)~(~1XFLn111~~nttnndXBLLL~dLl111~nttnnlXB其函数模型的一般形式为线性形式的函数模型为（2-2-16）（2-2-17）将代入（2-2-16）式，并令（2-2-18）则（2-2-16）和（2-2-17）式可写为（2-2-19）（2-2-20）这就是附有条件的间接平差的函数模型。其中（2-2-20）称为限制条件方程。5.附有条件的条件平差（综合平差模型）及其函数模型上面几种模型的建立，对参数的选择都提出了相应的要求，如：条件平差u=0；附有参数的条件平差0ut,且要求参数间独立；间接平差u=t,也要求参数间独立；附有条件的间接平差ut，要求包含t个独立参数。附有条件的条件平差的基本思想是：对于一个平差问题，若增选了u个参数，不论ut、u=t或是ut，也不论参数是否独立，每增加一个参数则肯定相应地增加1个方程，故方程的总数为r+u个。如果在u个参数中有s个是不独立的，或者说在这u个参数中存在着s个函数关系式，则应列出s个形如（2-2-20）的限制条件方程，除此之外再列出c=r+u-s个形如（2-2-8）的一般条件方程，形成如下的函数模型若为线性形式，则为（2-2-21）)~(~1XFLn0)~(1XS111~~nuunndXBL0~11suusWXCLL~dLl111~nuunnlXB0~11suusWXC0)~,~(1XLFc0)~(1XS0~~1011cuucnncAXBLA（2-2-22）考虑到，则（2-2-23）（2-2-24）这就是附有条件的条件平差的函数模型。（三）平差的随机模型函数模型反映了测量控制网中各几何元素间的数学关系，但测量元素是存在误差的，因此还必须建立观测值向量及相关量的随机模型，亦即观测向量的协方差阵：（2-2-25）式中D为L的协方差阵，Q为L的协因数阵，P为L的权阵，为单位权方差。（四）综述函数模型连同随机模型，就称为平差的数学模型。在进行平差计算前，函数模型和随机模型必须首先被确定，前者按上面介绍的方法建立，后者须知道P、Q、D其中之一。一般是按第一章介绍的方法进行平差前经验定权。可以通过平差计算求出其估值，然后根据公式求得D的估值。（五）例题例[2-1]如图2-4水准网中，点为已知水准点，点为待定水准点，观测高差为。试按下面不同情况，分别列出相应的平差函数模型：1.按条件平差法；2.若选点高程为未知参数时；3.若仅选点高程为未知参数时；4.若选的平差值为未知参数时；0~11suusWXCLL~0~111cuucnncWXBA0~11suusWXC1nLnnnnnnPQD12020202020ˆQD20ˆˆBA，21PP，4321hhhh，，，21PP，21~~XX，1PX~32hh，21~~XX，图2-4ABP1P2h4h3h2h15.若选的平差值为未知参数时。解：本题，，则1.按条件平差法应列出2个条件方程，它们可以是2.此时参数个数，且不相关，属于间接平差，函数模型为3.，属于附有参数的条件平差，方程个数为4.但相关，属于附有条件的条件平差。方程总个数为个，应列1个限制条件方程和3个一般条件方程。函数模型为5.且包含2个独立参数，属于附有条件的间接平差，限制条件方程个数为，观测方程个数为4个。函数模型为321hhh，，321~,~~XXX，4n2t2tnr0~~~0~~42132BAHhhhHhh2tuAHXh11~~212~~~XXh213~~~XXhBHXh24~~tu13ur0~0~~~0~~142132XhHHhhhHhhABA2tu4ur0~~0~~~0~~~0~~2142141132XXHhXhHHhXhHhhBABAtu31tus11~~Xh22~~Xh33~~Xh限制条件方程为BAHXXHh214~~~0~~32XX