线代第四章.

第4章秩本章先后讨论矩阵的秩及向量集的秩两个重要概念.给出了矩阵的一个基本定理，并讨论了向量的线性相关性及正交性的概念.4.1矩阵的秩4.1.1概念定义1对mn矩阵A,称其一切非退化方子列式或者简称为子式，则定义１可以说成r(A)是A的一切的非零子式的最高阶数.矩阵的最高阶数k为A的秩(rank),记作r(A),并规定若将A的任一方子矩阵的行列式称为A的子行r(O)=0.即若r(A)=k,则A至少有一个取非零值的k阶子式，而任一k+1阶子式(如果存在的话)的值必为零.例1求下列矩阵的秩:2211A121842B026328421421C(1)(2)(3).(3)若发现A一个非零k阶子式，则必有r(A)≥k.定一切高于k阶(如果存在的话)的子式必为零。从定义及上例的讨论过程可以看出:(1)当且仅当A是零矩阵时,r(A)=0.T()()rArA(2)(4-1)(4)若r(A)=k，则A至少有一个非零的k阶子式，但不能说明A的所有k阶子式均不为零，然而可以断反之，若A的一切k阶子式全为0时，则必有r(A)k.时r(A)=n,故也将行列式不为零的矩阵(非退化阵)称为满秩[矩]阵，并称退化阵为降秩[矩]阵.),min()(nmAr(4-1)(6)若A是n阶矩阵,则r(A)≤n,当且仅当detA≠0(5)若A是mn矩阵,则必有当r(A)=m（A的行数）时，称为行满秩[矩]阵，当r(A)=n（A的列数）时，称为列满秩[矩]阵.00000500002080017030A为梯矩阵,并求出r(A).例2说明秩的计算对于一般的mn矩阵A,它的秩虽然已有确切的定义,但要求出其值却是很费事的.单结果当然很具吸引力.可惜这种可以数得矩阵秩的这样,例2的简办法,只适合于梯矩阵.把一般的矩阵“变成”一个同秩的梯矩阵呢?回忆起行列式的性质,就不难想象,矩阵经初等变换后秩自然会产生这样的想法,能否不变(即等价矩阵的秩相同);而且每个矩阵必可通理.过有限次行初等变换而成为梯矩阵,这就是以下定定理1任一mn矩阵A经过有限次行初等变换后秩不变.推论1任一mn矩阵A经有限次列初等变换后秩不变.推论2设是任一mn矩阵,而B是m(或)n阶满秩矩阵,则必有)()(ArBAr(或)()(ArABr)(4-3)（第二章第50页）引理任一mn矩阵A必可通过有限次行初等变换而化为梯矩阵.例３对矩阵222110100220100110111110111000A依定理证明中的方式用行初等变换(今后就简称为行初等变换法),将其化为梯矩阵,并求秩.以上两个定理可以简洁地表述为:为计算矩阵A的秩,可归结为求一个与A等价的梯矩阵,然后由数出该梯矩阵的非零行的行数而观察得到r(A).4.1.2关于线性代数方程组的定理用矩阵的秩的概念，可将第二章的定理4表述得更清晰：定理4任一mn矩阵A，必可分解成若干个行初等矩阵与一个简化行梯矩阵的积，简化行梯矩阵的非零行总数为r，不超过m,n的最小值.定理4任一mn矩阵A必可分解成若干个m阶初等矩阵与共有r(A)个非零行的mn梯矩阵的积.用矩阵的秩的概念，也便于将第二章关于线性代数方程组的讨论，用定理形式表出。未知数个数n,且在能得出其任一解的通解式中定理2mn齐次线性方程组平凡解的充分必要条件是系数矩阵之秩r(A)小于存在非0Ax含有n-r(A)个任意常数.定理2’对任一mn矩阵A，必有等式r(A)+N(A)的基础解向量总数=A的列数。11112211211222221122nnnnmmmnnmaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb(4-4)对于mn的非齐次线性代数方程组称mn矩阵A=[aij]为其系数矩阵，分块形式的m(n+1)矩阵][bAA为方程组的增广矩阵，x=[x1x2…xn]T是n维的未知数向量,b=[b1b2…bm]T是m维自由项(或右端项)非零向量.之具有相同系数矩阵的方程组或者称与bAx或写成矩阵-向量形式Axb(4-4)为其对应齐次方程组(也称为导出组).与齐次方程组不同，非齐次方程组不一定有解，而有如下重要的相容性定理.0Ax如下结论：(1)当)()(ArAr时，方程组相容，即有解.一确定的解.定理4对非齐次方程组的相容性，有bAx带有n-r(A)个任意常数.若,)()(nArAr方程组有无限多个解，其通解其实，若,)()(nArAr则方程组有惟bAx当(2))()(ArAr时，方程组不相容，即无解.证明证明对对A施以将施以将A变成矩阵N1的行初等变换，][~1NA其中其中T21][n被化被化成同解成同解((等价等价))方程组方程组xN1现在只需要讨论这个方程组的相容性现在只需要讨论这个方程组的相容性..有(1)(1)当当rArAr)()(时，必有时，必有.01nr(4(4--55))..于是，方程组于是，方程组bAx证明证明对对A施以将施以将A变成矩阵N1的行初等变换，][~1NA其中其中T21][n被化被化成同解成同解((等价等价))方程组方程组xN1现在只需要讨论这个方程组的相容性现在只需要讨论这个方程组的相容性..有(1)(1)当当rArAr)()(时，必有时，必有.01nr(4(4--55))..于是，方程组于是，方程组bAx例5对方程组22518235324321321xxkkxxxxxkx问k取何值时方程组有惟一解，无限多解或无解.在无限多解时求出通解.解一解一利用行初等变换，可把讨论相容性与利用行初等变换，可把讨论相容性与求解过程结合进行：求解过程结合进行：221051823511kkkA3314351313400221051440~22)3(231231kkkkkkkrrkr2210514403310~)2()1(3231kkkrr解二解二根据方程组是的特点根据方程组是的特点，，常可利用行列式常可利用行列式进行讨论进行讨论..(1)(1)按克拉默法则按克拉默法则，，系数行列式不为零时方程系数行列式不为零时方程组有惟一解组有惟一解..01042311202311detkkkkkA)3)(1(]3)4([kkkk考察这个方程组在k=1时的通解式可以发现，它由两个部分组成；带任意常数部分及不带常数的部分，不带常数部分是方程组的一个特解，而带常数部分并不满足方程组，而是构成对应齐次方程的基础解系。故该解表现出了相容线性方程组解的结构，是通过导出组的基础解系来表示。一般地，若分别以xp，表示方程组的通解，特解，对应齐次方程组的通解，则非齐次线性方程组的解有如下结构式hpgxxx(4-7)即相容齐次线性方程组的通解是有其某个特解与对应齐次线性方程组的通解叠加而成。值得指出，这个结构式对一般的线性方程是普遍的.例已知四元非齐次线性代数方程组的系数矩阵之秩为3，又已知该方程组有三个解向量a1,a2,a3，其中1423,1502321aaa求该方程组的通解.解解设方程组的系数矩阵为A,按所给条件知按所给条件知134)()(dimArnAN故若求得故若求得NN((AA))的一个基向量的一个基向量，，及方程组的某个解及方程组的某个解xxpp,,即可写出通解了即可写出通解了..明显地明显地，，可取可取xxpp==aa1.1.同样明显同样明显地地，，可验证可验证aa22++aa33--22aa11必满足对应的齐次方程组必满足对应的齐次方程组..现因现因036211502214232132aaa4.2向量集的秩4.2.1向量集的线性相关与线性无关定义2（线性组合，线性表出）设给定一组k个[同维]向量v1、v2、…vk,则对任给定的k个[实]数1、2、…k，称向量1v1+2v2+…+kvk为这组向量(或这k个向量)的线性组合(linearcombination).当一个向量v可表成一组k个向量v1、v2、…、vk的线性组合，即存在k个数μ1、μ2、…、μk使等式v=μ1v1+μ2v2+…+μkvk(4-8)成立时，就称该向量可依(或由)这组向量(或这k个向量)线性表出(或示），并称数μi为表出(或示)式（5-1）的第i个系数，i=1,2,…k.][21kvvvv显然，利用矩阵按列分块(或反之，将若干个同维向量合并成单个矩阵)技术，若记则在线性代数方程组的语言中，向量v可依v1、v2、…、vk线性表示，等同于方程组vVx有解，作为其解的k维向量x,其第i个分量即为表出式的第i个系数(i=1,2,…,k).(4-8)在矩阵语言k维向量(k1矩阵)k21vV使等式成立.中，向量v可依v1、v2…、vk线性表示等同于存在(4-8)在明白向量语言与线性代数方程组及矩阵的语言有如此明显转换关系后，在必要时将随时使用.0k11kvv定义3对给定的一组k个向量v1、v2、…、vk若存在不全为零的数1、2、…、k使（4-9）线性无关的.就称k个向量(或该向量组)是线性相关的；相反，当且仅当1=…=k=0使时才成立(4-9),则称作是从定义见，对于单个向量，当且仅当零向量时为线性相关.,631,520,111T3T2T1aaa例4给定321aaa、、的线性相关性.试讨论313322211aabaabaab试证向量b1,b2,b3亦线性无关.例5已知向量组a1,a2,a3线性无关，而解一解一0332211bbb从定义出发，考察从定义出发，考察（（55--55））由于由于)()()(133322211332211aaaaaabbb0)()()(332221131aaa(5(5--5)5)成为成为0)()()(332221131aaa由由aa11,a,a22,,aa33线性无关，可推出线性无关，可推出解二解二为证明一组向量线性无关，常用反证为证明一组向量线性无关，常用反证法处理法处理..0332211bbb设向量设向量bb11,b,b22,,bb33线性相关，则必可找到不全线性相关，则必可找到不全为零的为零的11,,22,,33,,使成立使成立即即0)()()(332221131aaa（（55--66））由于成立由于成立321322131110011101解三解三来来解决更为简捷解决更为简捷..利用利用nn维向量的特点，以矩阵方法维向量的特点，以矩阵方法用分块乘法，可将已知的线性表出关系合写用分块乘法，可将已知的线性表出关系合写成一个矩阵等式成一个矩阵等式110011101321321aaabbb记记110011101,,321321CaaaAbbbBdefdef性相关性的一些有用性质.先用定理形式给出线性相关与线性表出这两个重要概念之间的联系，然后结合具体示例，讨论线定理4向量组v1、v2、…、vk线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可依其余向量线性表出证明证明存在数存在数tt11、、……ttjj--11、、ttjj+1+1、、……ttkk,,充分性：充分性：设设vvjj(1(1≤≤jj≤≤kk))可依其余向量线性表出，即可依其余向量线性表出，即k