向量的加减法及数乘运算

向量的数乘运算ba求作向量b,,a例1已知向量ab作法（1）在平面内任取一点Oo·b,aOA(2)作ABbaOB(3)则AB这种作法叫做向量加法的三角形法则ACBCAB)cb(ac)ba(abba1．相反向量：与长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量aa记作a规定:零向量的相反向量仍是零向量。（1）aa注：（2）任意向量与它相反向量的和是零向量。即：0aaaa（3）如果，互为相反向量，ba,那么：.0,,baabba2．向量减法的定义b向量加上的相反向量，叫做与的差，aab即：baba求向量差的运算，叫做向量的减法。任意给出两个向量，如何做出这两个向量的差呢？思考：法（一）平行四边形法则因为baba（1）做出的相反向量bb（2）利用向量加法的平行四边形法则作出即babaCaAB`babbBObaCaAB`babbBOba法（二）三角形法则即是由指向的向量baba观察作图（一）：aabbabba0这是因为：于是求就是求这样一个向量，baba它与的和等于。此即向量减法的三角形法则作法:在平面中任取一点oo法（二）三角形法则AaBbbaba过O作bOB过O作aOA则baBA如图,已知向量和向量,作向量baab连端点，指向被减数如果，∥，怎样做出？abbaOAaBbbaabBAbabBOAaabBA思考(1)同向(2)反向例题bBcCdD例1．已知向量，求作向量dcba,,,dcba,badc作法：如图，在平面内任取一点O，dODcOCbOBaOA,,,作DCBA,作dcDCbaBA,则aAoADCBab,,bADaAB例2．如图，平行四边形ABCD中，用表示向量。ba,DBAC,解：由作向量和的平行四边形法则，baAC得由作向量差的方法，例题baADABDB知练习.如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，且，你能用、来表示。,ABaADbabMAMBMCMD、、和ABDCMab另：（1）（2）Rba、babababababababababababa2.2.3向量数乘运算及其几何意义1.向量加法三角形法则:aAbBCbaaaAbBbOCba特点:首尾顺次连，起点指终点特点:起点相同,对角为和babBaABAabO特点：平移同起点，方向指被减2.向量加法平行四边形法则:3.向量减法三角形法则:已知非零向量,作出,你能发现什么？aaaa类比上述结论，又如何呢？()()()aaaaOaaaABC3aPQaMaNa3a与方向相同3aa33aa即与方向相反3aa33aa即作一作，看成果一般地，我们规定实数λ与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度和方向规定如下：aa||||||;aa（1）（2）当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反。aa0aa0特别的，当时，00.a书本P90,练习2,3练一练:向量的数乘运算满足如下运算律：)();()1(2)(3);().aaaaaabab，是实数，）（（aaabab特别地:（）向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算例1、计算下列各式a4)3)(1(ababa)(2)(3)2(a12b5)23()32)(3(cbacbacba25书本P90,练习5练一练::思考?,),0()1(位置关系如何则若baaab?),0(//)2(是否成立则若abaab//ba成立向量共线定理：0.),(,ababa向量与共线当且仅唯一一个当有实数使思考:1)为什么要是非零向量?a2)可以是零向量吗?bab即与共线ba(0)a证明三点共线的方法:总结:AB=λBC且有公共点ＢA,B,C三点共线121212122362348:eeABeeBCeeCDeeAB已知两个非零向量和不共线，如果，，，求证、、D三点共线.例3.如图，已知任意两个向量，试作ab、2,3.OBabOCab,OAab你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？abab2b3bABCO一、①λa的定义及运算律②向量共线定理(a≠0)b=λa向量a与b共线二、定理的应用：1.证明向量共线2.证明三点共线:AB=λBC且有公共点Ｂ3.证明两直线平行:AB=λCDAB与CD不在同一直线上直线AB∥直线CD小结:A,B,C三点共线AB∥CD设是两个不共线的向量，，若A、B、D三点共线，求k的值.12122,3,ABekeCBee12,ee122CDee