线代复习课(18周版)内附习题答案

第一章行列式学习要求1.理解n阶行列式的定义；2.了解并能应用行列式的基本性质；4.掌握用行列式解有关线性方程组的克莱姆法则。3.掌握行列式的计算方法；主要内容一、n阶行列式的定义（一）排列的奇偶性1.由自然数组成的一个有序数组称为一个n级排列。n,,2,1niii212.在一个排列中，若某个较大的数排在某个较小的数前面，就称这两个数构成一个逆序。一个排列中出现的逆序的总数称为这个排列的逆序数。3.逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。（二）n阶行列式的定义nnnnnnaaaaaaaaa.........212222111211n2个元素aij组成的记号称为n阶行列式，它表示所有取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和，各项前的符号是：当这一项中元素的行(列)标按自然顺序排列后，如果列(行)标构成的排列是偶排列则取“正”号，是奇排列则取“负”号（或：行标、列标逆序数之和为偶数取“正”号，奇数取“负”号）。2.上、下三角形行列式nnnnaaaaaa22211211nnaaa2211nnaaa2211（三）特殊行列式1.一阶行列式|a|=annnnaaaaaa21222111nnnnnnnnaaaaaa112121注意(1)21211(1)nnnnnaaa1211nnnaaa1211nnnaaa？？？？1.转置值不变；二、行列式的性质（一）关于行列式等于零的性质：2.互换两行（列）变号；（二）行列式的运算性质：1.两行（列）元相同；2.两行（列）元对应成比例；3.某行（列）元全为零。3.某行（列）有公因子k，可把k提到行列式外面;4.某行（列）元素为两项和，可裂项相加；5.某行（列）元素乘数k加到另一行（列），值不变。三、行列式按行（列）展开（一）余子式与代数余子式1.余子式：在n阶行列式D中，去掉元素aij所在的第i行和第j列后，余下元素按原来顺序所构成的n－1阶行列式叫aij的余子式，记为Mij.2.代数余子式：在余子式前冠以符号(－1)i+j.3.n阶行列式D等于它任意一行（列）的各个元素与其对应的代数余子式乘积之和。即：ininiiiiAaAaAaD2211njnjjjjjAaAaAa2211按第i行展开按第j列展开4.行列式某一行（列）的每一元素与另一行（列）元素对应的代数余子式乘积之和为零。nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa221122222121112121111.如果由n个方程构成的n元线性方程组：的系数行列式，则方程组有唯一解：0D其中，Dj是把系数行列式第j列元素对应换为方程组的常数项所得的行列式。DDxjj),,3,2,1(nj四、克莱姆法则(1)齐次线性方程组的系数行列式D≠0,则其只有零解.(2)齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式D＝0.2.克莱姆法则的两个推论（以下讨论的都是n个方程组成的n元线性方程组）在第三章我们还得到以下结论:(1)齐次线性方程组只有零解的充要条件是其系数行列式D≠0.(2)齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系数行列式D＝0.13111111111A等同于求的代数余子式一、选择题1.,则|A|中x的一次项系数是().1011111||11111111xAA.1B.－1C.22D.－22习题一13a4D11102002213(1)2.设是六阶行列式|aij|中的一项,则().6253344621klaaaaaaA.k=2,l=5,取正号B.k=5,l=1,取负号C.k=1,l=5,取负号D.k=5,l=1,取正号k,l只能在1,5中取值6253344621klaaaaaa(413652)N7若k=5,l=1，B625533144621aaaaaa142133465562aaaaaa3.若,则a=().000100010200100aaA.B.C.－1D.1121200010000200100aaB=2a00010000200100aa2a100000(1)(1)00200001aa计算00010000200100aa有多种方法按公式按定义按多零行展开化为三角行列式4.已知x的一次多项式，则该多项式的根是().11111111||1111111AxA.0B.－1C.－2D.－311111111||1111111Ax100010221202111xxxx412xD5.设,则().1231231230aaaDbbbdccc1123111123111231325432543254aaaaaDbbbbbcccccA.10dB.15dC.－10dD.－15d1231123123252525aaaDbbbccc1231231231(2)5aaabbbcccA1D第一列乘３加到第二列，乘４加到第三列10d6.设则f(x)=0的根是().22112()112,211fxxxA.1,1,2,2B.－1,－1,2,2C.1,－1,2,－2D.－1,－1,－2,－222112()112211fxxx22112004013xx22(4)(1)xx220413xxC7.设n阶行列式100000000100010||,0010001000AA.1B.C.(－1)n－1D.(－1)n－2(1)(2)2(1)nn则|A|=().100000000100010||0010001000A不断按第一行展开1100010010(1)010010001n(1)1(1)n(2)1(1)n21(1)(1)(2)2(1)nn用行列式定义计算|A|法一：阶法二：对n取特殊值，用排除法法三：？？？？？8.下列行列式恒等于零的是()A.13234421000000000000aaaaB.11122133344344000000000aaaaaaaC.D.11121314232433344344000000aaaaaaaaaa131423243132414200000000aaaaaaaaC法一：按多零的行展开判断8.下列行列式恒等于零的是()A.13234421000000000000aaaaB.11122133344344000000000aaaaaaaC.D.11121314232433344344000000aaaaaaaaaa131423243132414200000000aaaaaaaa有一项13223441aaaa第一列取，第二列必取011a有两项12213344aaaa12213443aaaaC法二：按行列式定义思考：的值nnnnnknkkkkkbbbbccccaaaaD1111111111110,11111kkkkaaaaDnnnnbbbbD11112的值有什么关系吗？21DDD与（课本17页例7）我们学过的结论8.下列行列式恒等于零的是()A.13234421000000000000aaaaB.11122133344344000000000aaaaaaaC.D.11121314232433344344000000aaaaaaaaaa131423243132414200000000aaaaaaaa有一项13223441aaaa法三：用以上结论C123123123111xxxxxxxxx9.设有唯一解，则=().A.－1B.1C.0D.异于0和的实数111111D2(1)0列等和1001101211111111111111231231232020240xxxxxxxxx10.齐次线性方程组有非零解，则=().A.0B.1C.2D.3121211024C11.行列式中含有x3项的系数是().212111321111xxxxxA.2B.－2C.1D.－1(1)取2x，再取两个x，则最后只能取x2x4对第一行(2)取x，再取两个x，则最后只能取1x3符号为负(3)取1，只剩两个x(4)取2，只剩两个xD二、解答题1.分别按第一行与第二列展开计算行列式102213231D241234123412341234||0aaaabbbbAccccdddd123411223344123412342222||,aaaabcbcbcbcBccccdddd2.设，试问|A|与|B|是否相等？|B|=2|A|)1(3.已知152,209,399都是19的倍数，证明：152209399D也是19的倍数。第一列乘100，第二列乘10，加到第三列151522020939399D15819201139214.计算行列式231151152.21341134D10D5.计算n阶行列式101111011,11011110D行等和11111101111011110nnDnn11111011(1)11011110n11110100(1)00100001n11111011(1)11011110n1(1)(1)nn2133333233333333(3).333433333Dnn行列式中大部分元素均为3，将第三行的－1倍加到其余各行。22000001000333330001000003Dn2000001000003330001000003n6(3)!n6.当为何值时，线性方程组有唯一解？并求其解。12312312321224442xxxxxxxxx12212414D204212606241666(2)有唯一解21112412214D6,212242424D12(2),6.当为何值时，线性方程组有唯一解？并求其解。12312312321224442xxxxxxxxx6(2),D16,D212(2),D311214412D6(1),12312212xxx第二章矩阵学习要求1.掌握矩阵的概念，熟练掌握矩阵的运算；2.理解逆矩阵的概念与性质；4.会对矩阵进行初等变换，并会求矩阵的秩。3.会求逆矩阵；主要内容一、矩阵的概念称为m行n列矩阵（或矩阵）。（一）由个数排成的m行n列的数表nmmnmmnnaaaaaaaaaA212222111211nm（二）常用的特殊矩阵：零矩阵、n阶方阵、三角形矩阵、对角矩阵、单位阵。1.若，则二、矩阵的运算（一）矩阵的加法nmijnmijbBaA)(,)(nmijijbaBA)(只有同型矩阵才能相加减，“和矩阵”也同型。2.性质：（二）数与矩阵乘法1.若是数，则kaAnmij,)(nmijkakA)((1)分配律：,)(lAkAAlkkBkABAk)((2)结合律：AkllAk)()(2.性质：(1)交换律：A+B=B+A(2)结合律:(A+B)+C=A+(B+C)3.注意数乘行列式与数乘矩阵(尤其是方阵)的区别：数k乘行列式等于将数k乘以某一行(列)元素，而数k乘矩阵A则要把数k乘以A的每一个元素。nnnnnnkakakakakakakakaka212222111211)(ijkannnnnnkakakakakakakakaka2122221112