线性代数-N阶行列式的性质

第二节n阶行列式的性质本节介绍行列式的一些性质，并以此来解决一般n阶行列式的简化计算问题。对n阶行列式nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211一、行列式的性质nnnnnnTaaaaaaaaaDD212221212111)('为行列式的转置行列式（Transpose）。D行列式与它的转置行列式相等。不难用归纳法去证明，证明过程略。称行列式性质1性质1说明，行列式中行和列的地位是对称的。行行jiaaaaaaDjnjjinii2121行行jiaaaaaaDiniijnjj2121互换第i行与j行（jinji，，1）得设行列式证互换行列式中两行(列)，行列式值变号。性质2DD2112221122211211aaaaaaaaD1122122112112221aaaaaaaaD1）当n=2时显然DD2）假设对阶数为n-1的行列式，结论成立，下证对n（≥3）阶行列式命题结论也成立。下面用数学归纳法证明：iniliiknklkkjnjljjaaaaaaaaaaaaD211121jnjlijknklkkiniliiaaaaaaaaaaaaD211121位置互换外，其余各行均相同。并将行列式与DD都按第k行展开，由第一节定理1的结论，得到取定一个k（ki，j），注意到行列式中除去第i行与第j行的与DDnlkllkklnlklklNaBaD111)(第k行元素的余子式klMklN，都是n-1阶行列式121212iiilinkkklknjijljnaaaaaaaaDaaaa121212jjjljnkkklkniiilinaaaaDaaaaaaaaklMklNnlkllkklnlklklMaAaD111)(余各行都相同。由归纳法假设知klklMN对成立，nl,,2,1从而由前面的两个展开式可知DD对n阶行列式也成立。综上，命题得证。如果行列式中有两行（列）元素对应相等，则此行列式为零。推论1而且,klMklN，除去两行的元素互换外，其行列式中的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式，nnnnniiinnnnnniiinaaaaaaaaakaaakakakaaaa212111211212112111证等式两边分别按第i行展开即得。性质3即行列式中某一行（列）中所有元素的公因数，可以提取到行列式符号的前面。如果行列式中某行（列）的元素全为零，则此行列式为零。如果一个行列式的两行（列）元素对应成比例，则此行列式为零。推论2推论3推论4nnnnnnaaacccaaa212111211如果行列式中某行(列)的各元素都是两数之和，则这个行列式等于两个行列式之和。nnnnnnnaaacbcbcbaaa21221111211与性质3的证明类似，将等式左边的行列式按第i行展开即可。这个性质一般称之为行列式分解。证性质4即设该行为第i行nnnnnnaaabbbaaa212111211把行列式的某一行(列)的元素的k(k∈R)倍加到另一行(列)上去，行列式的值不变。jnjjjninjijiaaakaakaakaa212211jnjjiniiaaaaaa2121证由推论4和性质4即可证得。性质5即×Kjnjjiniiaaaaaa2121行列式的某一行(列)的元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之和等于零，nkkjkiAa102211njnijijiAaAaAaji即性质6nkjkikAa102211jninjijiAaAaAajinjnijijiaaaaaa1211或作行列式行行jiaaaaaaDiniiinii2121首先由性质2的推论可知，当ji时,0D。则有再将它按第j行展开,证(把原行列式中的第j行元素也换为与nkkjkiAaD1第i行相同的元素)从而01nkkjkiAa)(ji命题得证。本章第一节中定理1与上述性质6的结论可以合并为统一的一个式子：DAajinkkjki1其中,,01jijiji当当上述结论非常重要，它是证明许多其它命题的基础。对行列式的列来说也有同样的性质。常称之为函数（KroneckerDelta）二、小结行列式的六个性质行列式性质的四个推论三、思考题8364010343123111D已知4阶行列式试求其第二行元素的代数余子式之和，即24232221AAAAS技巧性题思考题解答：由性质6可知：用行列式的第一行元素与第二行元素的代数余子式作乘积，其和为0311124232221AAAA8364010343123111D所以24242322212AAAAAS223641031111242)(0311124232221AAAA