线性代数31,32向量组间的线性关系

第三章n维向量空间确定飞机的状态，需要以下6个参数：飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z)机身的水平转角)20(机身的仰角)22(机翼的转角)(所以，确定飞机的状态，需用6维向量),,,,,(zyxa维向量的实际意义n若一个本科学生大学阶段共修36门课程,成绩描述了学生的学业水平，把他的学业水平用一个向量来表示，这个向量是几维的？请大家再多举几例,说明向量的实际应用．定义1.,,,21个分量称为第个数第个分量，个数称为该向量的维向量，这称为组所组成的数个有次序的数iainnnaaanin分量全为复数的向量称为复向量.分量全为实数的向量称为实向量，一、维向量的概念),,,(21naaaannaaaa21例如),,3,2,1(n))1(,,32,21(inniin维实向量n维复向量第1个分量第n个分量第2个分量注意3．行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；２．向量和矩阵之间的关系当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作列向量.1．向量的分量之间是有先后顺序的。RxxxxxxxRnnnT,,,),,,(2121令Rn表示一切n维实向量组成的集合。若是n维实向量，则可简记,如果没有特别的说明，我们指的都是实向量。nR若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组．例如维列向量个有矩阵mnaijAnm)(aaaaaaaaaaaaAmnmjmmnjnj21222221111211a1.,,,的列向量组称为矩阵向量组Aa1a2ana2ajana1a2ajan维行向量个又有矩阵类似地nmijaAnm)(,aaaaaaaaaaaaAmnmminiinn21212222111211T1T2TiTmT1T2TiTm向量组,,…，称为矩阵A的行向量组．T1T2Tm二、n维向量的线性运算为向量的线性运算。向量的加法和数乘统称别定义分和数乘向量则向量的加法是实数域中的一个数量维实向是设定义TnTnnTnTnkakakakbababakknbbbaaa,,,,,,,,,,2.32122112121()()()()()()()()()()()()()()()元是数乘向量运算的单位即数，使存在为零向量，，设的运算性质质，我们直接给出向量应用已有矩阵的运算性1αα18αklα7ααα6βαβα50-αα∈α∈∀α40,0,000αα03γβαγβα2αββα1∈,∈γβα==+=++=+=+=+=+++=+++=+lklklkkkkRRklRnTn四线性组合称为该线性组合的系数的一个线性组合为向量组称对任何一组实数，，，，给定向量组mmmmmkkkAkkkkkkAdef,,,.,,,,:.2122112121对于给定的向量组A:1,2,…,m和向量b,如果存在一组数k1,k2,…,km使关系式成立，mmkkkb...2211则称向量b是向量组1,2,…,m的线性组合,或称向量b可以由向量组1,2,…,m线性表示.mmkkk2121nnnnTneaeaeaaaaaaaaaa2211212121100010001,,,比如说：为n维基本向量neee,,21结论：任何n维向量都是n维基本向量的线性组合nnnnnnnnmxxxxxxAXAAAXRxxxXA221121212121,,,的列向量的线性组合。可以看成是则为实矩阵在比如说：设有向量14110322254b2121412032254212b称b是的线性组合.21,或b可以由线性表示.21,向量组的线性相关性定义4对于向量组A:1,2,…,m,okkkmm...2211成立,则称向量组1,2,…,m线性相关.如果存在一组不全为零的数k1,k2,…,km使关系式成立,即只有当k1=k2=…=km=0时,才有okkkmm...2211成立,则称向量组1,2,…,m线性无关.如果没有不全为零的k1,k2,…,km,使okkkmm...2211.组线性相关含有零向量的任一向量应分量成比例。条件是这两个向量的对线性相关的充要两个向量组成的向量组.;关而一个非零向量线性无一个零向量线性相关一些显然的结果向量组中的一个部分组线性相关，则向量组线性相关，若一个向量组线性无关，则其中任何一个部分组线性无关YOX123456123456图1向量组线性相关的几何意义1)由两个2维向量构成的向量组A:a1,a2M1(1,2)M2(2,4)M3(3,6)在直线y=2x取三点M1,M2,M3,作三个向量:)21(11,OMa)4,2(22OMa)6,3(33OMa这三个向量中的任意两个向量构成的向量组都是线性相关的.线性相关的几何意义是:a1,a2共线.2)由3个3维向量构成的向量组线性相关的2)(1,1,11RMa)2,0,2(22RMa2),2,0(33RMa向量组a1,a2,a3线性相关,因为2a1-a2-a3=0.M1M2M3OX3Y3Z3R图2作三个向量:=3.在上取三点:M1(1,1,1),M2(2,0,1),M3(0,2,1),几何意义是这3个向量共面.如给定平面:x+y+z?,,,:,21关是线性相关还是线性无如何判定一个向量组一般地mA齐次线性方程组0...0...0...221122221211212111mnmnnmmmmxaxaxaxaxaxaxaxaxa02211mmxxx使得存在一组数设mxxx,,,21讨论x1,x2,…,xm的情况.如果解得x1,x2,…,xm不全为零,则1,2,…,m线性相关;如果推出x1=x2=…=xm=0,则1,2,…,m线性无关.例1讨论的线性相关性e1=(1,0,…,0)Ten=(0,0,…,1)Te2=(0,1,…,0)T使得存在一组数设mxxx,,,2102211nnexexex010001000121nxxx00,,2121nTnxxxxxx定理3.1向量组线性相关的充分必要条件为：其中至少有一个向量是其余向量的线性组合（可作为线性相关性的判定）m,,,21定理3.2向量组线性相关,但线性无关，则向量可由向量组唯一地线性表示。m,,,21,,,,21m