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杭州电子科技大学信息工程学院考试试卷（A）卷考试课程线性代数考试日期2013年1月11日成绩课程号教师号任课教师姓名考生姓名学号年级专业（注意：答案务必写在答题纸相应位置，否则按零分处理）一．单项选择题（）(1)二阶行列式等于（C）（2）已知，则在中，一次项的系数是（B）（3）设矩阵是同阶方阵，下列各式中肯定正确的是（C）（4）设矩阵满足,则必有（A）(5)设阶矩阵A的秩为r，则（B）（A）A的所有r阶子式不为零（B）A的所有r+1阶子式全为零（C）A可逆（D）方程组AX=b一定有解（６）在方程组中，若方程的个数小于未知量的个数，则（C）（Ａ）必有无穷多个解（Ｂ）必有无穷多个解（Ｃ）仅有零解（Ｄ）一定无解（７）设Ａ为ｎ阶方阵，且，是的两个不同的解向量，则的通解为（D）（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）（８）设２是可逆矩阵Ａ的一个特征值，则矩阵有一个特征值等于（B）（９）特征多项式相同是两个矩阵相似的（B）（Ａ）充分条件（Ｂ）必要条件（Ｃ）充要条件（Ｄ）以上三者都不是（１０）二次型的标准型是（A）（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）二．填空（）（１）是三阶方阵且，则。（２）=（３）。（４）设,则。（５）向量能由，线性表示，则。（６）设A是三阶方阵且，而,则。（７）如果二阶矩阵与相似，则，。（８）矩阵的非零特征值是。（９）二次型的矩阵为。（１０）实对称矩阵Ａ的各阶顺序主子式全大于零是Ａ正定的(充要)条件。三．判断是非（）（1）设矩阵是同阶方阵，则由,可得或（F）。（2）一组向量中含有零向量，则这组向量必定线性相关（T）。（３）解线性方程组时，对增广矩阵既可以施行初等行变换，也可以施行初等列变换（F）。（４）实对称矩阵Ａ满足，则Ａ为正定矩阵（F）。（５）正交矩阵的行列式等于１或者－１（T）。四．计算题（）１.利用矩阵的初等行变换求矩阵的逆矩阵。解：………………………..2分……………………..3分…………………….5分所以………………………………..6分只要能正确显示行变换的过程都视为正确２.求下列向量组的一个极大线性无关组，并把其余的向量用极大线性无关组线性表示。解：由这四个列向量组作矩阵……………………………1分对矩阵A仅施行初等行变换……………………….3分所以,,……………………..4分又显然线性无关，所以是一个极大线性无关组，……………….5分且……………………………………………6分３.求下面非齐次线性方程组的通解。解：增广矩阵为对施行初等行变换…………………………………………………………3分有令得特解为……………..4分由于R(A)=3,故所对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个解向量为…………………………………………………………………………….5分因此，非齐次线性方程组的通解为（k取任意值）。…………………………6分４.设方阵，求（1）的特征值和特征向量；（2）。解：（1）A的特征多项式为所以A的特征值为4，2…………………………………………………..1分代入,求得一个基础解系,从而得到对用于的特征向量（）………………………………………………..2分代入,求得一个基础解系,从而得到对用于的特征向量（）………………………………………………..3分（2）A有两个线性无关的特征向量，因而A可以对角化，且存在可逆矩阵P,使得………………………….4分其中，进一步求得故所以=。…………………………………..6分五．证明（）设是两个阶矩阵，的个特征值两两互异，若的特征向量总是的特征向量，试证明。证明：设是的属于特征值的特征向量，即。依据题意，存在的特征值使得是的属于特征值的特征向量，即。…………………….1分故有，类似地有,所以………………………………………….3分又因为有个互异的特征值，所以有个线性无关的特征向量…………………………………………………………………….4分这样齐次线性方程组的基础解系含有个向量………5分因此，即…………………………6分