线性代数与概率统计及答案

线性代数部分第一章行列式一、单项选择题1．0001001001001000().(A)0(B)1(C)1(D)22.0001100000100100().(A)0(B)1(C)1(D)23．若aaaaa22211211，则21112212kaakaa().(A)ka(B)ka(C)ak2(D)ak24．已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4,第3行元的余子式依次为x,1,5,2,则x().(A)0(B)3(C)3(D)25.k等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组000321321321xxkxxkxxkxxx有非零解.()(A)1(B)2(C)3(D)06．设行列式naaaa22211211，maaaa21231113，则行列式232221131211--aaaaaa等于（）A.mnB.)(-nmC.nmD.nm二、填空题1.行列式0100111010100111.2．行列式010...0002...0.........000...100...0nn.3．如果MaaaaaaaaaD333231232221131211，则3232333122222321121213111333333aaaaaaaaaaaaD.4．行列式1111111111111111xxxx.5．已知三阶行列式中第二列元素依次为1,2,3,其对应的余子式依次为3,2,1，则该行列式的值为.6．齐次线性方程组0020232121321xxxkxxxxkx仅有零解的充要条件是.7．若齐次线性方程组0230520232132321kxxxxxxxx有非零解，则k=.三、计算题2．yxyxxyxyyxyx；3．解方程0011011101110xxxx；6.111...1311...1112...1.........111...(1)bbnb7.11111222123111...1..................nbaaabbaabbba；8．121212123.....................nnnxaaaaxaaaaxaaaax;四、证明题1．设1abcd，证明：011111111111122222222ddddccccbbbbaaaa.2．3332221112333332222211111)1(cbacbacbaxcbxaxbacbxaxbacbxaxba.3．))()()()()()((111144442222dcbacdbdbcadacabdcbadcbadcba.第二章矩阵一、单项选择题1.A、B为n阶方阵，则下列各式中成立的是()。(a)22AA(b)))((22BABABA(c)ABAABA2)((d)TTTBAAB)(2.设方阵A、B、C满足AB=AC,当A满足()时，B=C。(a)AB=BA(b)0A(c)方程组AX=0有非零解(d)B、C可逆3.若A为n阶方阵，k为非零常数，则kA()。(a)Ak(b)Ak(c)Akn(d)Akn4.设A为n阶方阵，且0A，则()。(a)A中两行(列)对应元素成比例(b)A中任意一行为其它行的线性组合(c)A中至少有一行元素全为零(d)A中必有一行为其它行的线性组合5.设A为n阶方阵,*A为A的伴随矩阵,则()。(a)(a)1*AA(b)AA*(c)1*nAA(d)1*nAA6.设A，B为n阶方矩阵,22BA,则下列各式成立的是()。(a)BA(b)BA(c)BA(d)22BA7.设A为n阶可逆矩阵，则下面各式恒正确的是（）。（a）TAA22(b)112)2(AA(c)111])[(])[(TTTAA(d)TTTTAA])[(])[(118.已知113022131A，则（）。（a）AAT(b)*1AA（c）113202311010100001A（d）113202311010100001A9.设ICBA,,,为同阶方阵，I为单位矩阵，若IABC，则（）。（a）IACB（b）ICAB（c）ICBA（d）IBAC10.n阶矩阵A可逆的充要条件是()。(a)A的每个行向量都是非零向量(b)A中任意两个行向量都不成比例(c)A的行向量中有一个向量可由其它向量线性表示(d)对任何n维非零向量X，均有0AX11.设矩阵A=（1，2），B=4321，C654321则下列矩阵运算中有意义的是（）A．ACBB．ABCC．BACD．CBA12.设矩阵A，B均为可逆方阵，则以下结论正确的是（D）A．BA可逆，且其逆为11BAB．BA不可逆C．BA可逆，且其逆为11ABD．BA可逆，且其逆为11BA13.已知向量TT)0,3,4,1(23,)1,2,2,1(2，则=（A）A．T)1,1,2,0(B.T)1,1,0,2(C．T)0,2,1,1(D．T)1,5,6,2(14.设A和B为n阶方阵，下列说法正确的是（C）A.若ABAC，则BCB.若0AB，则0A或0BC.若0AB，则0A或0BD.若0AE，则AE6、设两事件A二、填空题1.设A为n阶方阵,I为n阶单位阵,且IA2,则行列式A_______2.行列式000cbcaba_______3.设A为5阶方阵，*A是其伴随矩阵，且3A，则*A_______4.设4阶方阵A的秩为2，则其伴随矩阵*A的秩为_______三、计算题1.解下列矩阵方程(X为未知矩阵).1)223221103212102X；2)0101320100211100110X；3)2AXAX,其中423110123A；2.设A为n阶对称阵,且20A,求A.3.设11201A,23423A,30000A,41201A,求1234AAAA.4.设211011101,121110110AB,求非奇异矩阵C,使TACBC.四、证明题1.设A、B均为n阶非奇异阵,求证AB可逆.2.设0kA(k为整数),求证IA可逆.4.设n阶方阵A与B中有一个是非奇异的,求证矩阵AB相似于BA.5.证明可逆的对称矩阵的逆也是对称矩阵.第三章向量一、单项选择题1.321,,，21,都是四维列向量，且四阶行列式m1321,n2321,则行列式)(21321nma)(nmb)(nmc)(nmd)(2.设A为n阶方阵，且0A,则（）。成比例中两行（列）对应元素Aa)(线性组合中任意一行为其它行的A)b(零中至少有一行元素全为Ac)(线性组合中必有一行为其它行的A)d(3.设A为n阶方阵，nrAr)(，则在A的n个行向量中（）。个行向量线性无关必有ra)(个行向量线性无关任意r)b(性无关组个行向量都构成极大线任意rc)(个行向量线性表示其它任意一个行向量都能被r)d(4.n阶方阵A可逆的充分必要条件是（）nrAra)()(nAb的列秩为)(零向量的每一个行向量都是非）（Ac的伴随矩阵存在）（Ad5.n维向量组12,,...,s线性无关的充分条件是())(a12,,...,s都不是零向量)(b12,,...,s中任一向量均不能由其它向量线性表示)(c12,,...,s中任意两个向量都不成比例)(d12,,...,s中有一个部分组线性无关二、填空题1.若T)1,1,1(1，T)3,2,1(2，Tt),3,1(3线性相关，则t=▁▁▁▁。2.n维零向量一定线性▁▁▁▁关。3.向量线性无关的充要条件是▁▁▁▁。4.若321,,线性相关，则12,,...,s)3(s线性▁▁▁▁关。5.n维单位向量组一定线性▁▁▁▁。三、计算题1.设T)1,1,1(1，T)1,1,1(2，T)1,1,1(3，T),,0(2，问（1）为何值时，能由321,,唯一地线性表示？（2）为何值时，能由321,,线性表示，但表达式不唯一？（3）为何值时，不能由321,,线性表示？2.设T)3,2,0,1(1，T)5,3,1,1(2，Ta)1,2,1,1(3，Ta)8,4,2,1(4，Tb)5,3,1,1(问：（1）ba,为何值时，不能表示为4321,,,的线性组合？（2）ba,为何值时，能唯一地表示为4321,,,的线性组合？3.求向量组T)4,0,1,1(1，T)6,5,1,2(2，T)2,5,2,1(3，T)0,2,1,1(4，T)14,7,0,3(5的一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。四、证明题1.设2131222112,3,，试证321,,线性相关。2.设12,,...,n线性无关，证明12231,,...,n在n为奇数时线性无关；在n为偶数时线性相关。第四章线性方程组一、单项选择题1．设n元齐次线性方程组0AX的系数矩阵的秩为r，则0AX有非零解的充分必要条件是（）(A)rn(B)rn(C)rn(D)rn2．设A是mn矩阵，则线性方程组AXb有无穷解的充要条件是（）(A)()rAm(B)()rAn(C)()()rAbrAm(D)()()rAbrAn3．设A是mn矩阵，非齐次线性方程组AXb的导出组为0AX，若mn，则（）(A)AXb必有无穷多解(B)AXb必有唯一解(C)0AX必有非零解(D)0AX必有唯一解4．方程组1232332422(2)(3)(4)(1)xxxxxx无解的充分条件是（）(A)1(B)2(C)3(D)45．方程组12323331224(1)(3))(1))xxxxxxx有唯一解的充分条件是（）(A)1(B)2(C)3(D)4二、填空题1.设A为100阶矩阵，且对任意100维的非零列向量X，均有0AX，则A的秩为.2.线性方程组1231212320200kxxxxkxxxx仅有零解的充分必要条件是.3.设12,,sXXX和1122sscXcXcX均为非齐次线性方程组AXb的解（12,,sccc为常数），则12sccc.4.若线性方程组AXb的导出组与0(())BXrBr有相同的基础解系，则()rA.5.若线性方程组mnAXb的系数矩阵的秩为m，则其增广矩阵的秩为.三、计算题1.已知123,,是齐次线性方程组0AX的一个基础解系，问122331,,是否是该方程组的一个基础解系？为什么？2.设54331012263211311111A，12010560011210012320B，已知B的行向量都是线性方程组0AX的解，试问B的四个行向量能否构成该方程组的基础解系？为什么？3.设四元齐次线性方程组为（Ι）