线性代数习题2解答

-1-习题二（A）1．利用对角线法则计算下列行列式：（1）cossinsincos．解原式1．（2）22xyxy．解原式()xyyx．（3）123312231．解原式18．（4）000abcaba．解原式3a．（5）000aababc．解原式3a．2．按定义计算下列行列式：（1）0000000000abfcde．解原式1311000(1)0(1)0bcafcababcddede．-2-（2）010000200001000nnLLLLLLLLL．解原式1100020(1)001nnn!)1(1nn．3．利用行列式的性质，计算下列行列式：（1）abacaebdcddebfcfef．解原式111111111022111002abcdefabcdefabcdef4．（2）1111222233334444．解原式1111044419200660008．（3）axaaaaaxaaaaaxaaaaax．解原式1111100000(4)(4)0000aaxaaaxaxaxaaaxaaxaaaaxax3(4)axx．-3-（4）23100120103518510154．解原式1201120112012310001102011020351803518003512510154001510015112351221501151．（5）121111100100100naaaLLLMMMLML，其中0,1,2,,iainL．解原式11121211000100100100iiniirrainnaaaaniniiiaa11)11(．4．利用行列式展开定理，计算下列行列式：（1）1214012110130131．解原式020120100101213212132171013131311310131．（2）5487235472856393．-4-解原式00303230141532231415314431443181434663430663443．（3）123100010000000000001000nnaaaaaLLLMMMMMLL．（按照最后一列展开）解原式122131100010000000(1)00000000nnnnaaaaaaa2311(1)1210000(1)(1)00nnnnaaaaaa23112nnaaaaaa2311(1)nnaaaaa．（4）2100012100012000002100012nDLLLMMMMMLL．（递推法）解将行列式按第一行展开，得122nnnDDD，则11221212112nnnnDDDDDD，所以12112(1)1nnnDDDDnn．5．利用行列式展开定理证明：当时，有-5-1100010001000000001nnnDLLLMMMOMMLL．证将行列式按第一行展开，得12()nnnDDD，则（递推法）211223()()nnnnnnDDDDDD22221()[()()]nnnDD，所以1nnnDD．（1）由nD关于与对称，得1nnnDD．（2）由（1）与（2）解得11nnnD．6．利用范德蒙德行列式计算行列式222abcabcbcacab．解（第一行加到第三行上去，再提取）原式222222111()()111abcabcabcabcabcabc()()()()abcbacacb．7．设2142112531335111D，试求14243444A+A+A+A和11121314M+MMM．（已讲）解14243444A+A+A+A0；111213141112131411111125+31335111MMMMAAAA-6-01002346502134652422422842142626206206120．8．利用克拉默法则解下列线性方程组：（1）12341234123412345,242,2352,32110.xxxxxxxxxxxxxxxx解经计算，得1234142,142,284,426,142DDDDD，所以方程组的解为1,3,2,14321xxxx．（2）123423412423423411,3,30,735.xxxxxxxxxxxxx解经计算，得123416,16,0,32,16DDDDD，所以方程组的解为1,2,0,14321xxxx．9．试问取何值时，齐次线性方程组123123123230,3470,20xxxxxxxxx有非零解．解方程组有非零解，则0D．又2133475(3)12D，所以3．10．试问、取何值时，齐次线性方程组1231231230,0,20xxxxxxxxx有非零解．解方程组有非零解，则0D．又1111(1)121D，所以1或0．-7-（B）1．选择题：（1）设1112132122233132330aaaaaaaaaa，则111312122123222231333232125331253312533aaaaaaaaaaaa()．（A）2a（B）2a（C）3a（D）3a解原式1233223111312121112132123222221222325(3)331323331333232153112(3)56()233153cccccccaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa．选（A）．（2）四阶行列式1122334400000000ababbaba的值等于（）．（同本套题题2）（A）12341234aaaabbbb（B）12341234aaaabbbb（C）12123434aabbaabb（D）23231414aabbaabb解将行列式的第4行依次与第3行、第2行交换，再将行列式的第4列依次与第3列、第2列交换，得1111442223231414223333440000000000000000ababbaabaabbaabbabbababa．选（D）．（3）设线性方程组111122121122220,0.axaxbaxaxb若111221221aaaa，则方程组的解为（）．（A）11211112222212,baabxxbaab（B）11211112222212,baabxxbaab-8-（C）11211112222212,baabxxbaab（D）11211112222212,baabxxbaab解将方程组写成标准形式：11112212112222,.axaxbaxaxb有11121121121111111221222222222122121,,aababaababDDDaababaabab，所以方程组的解为1121111212222212,baabDDxxbaabDD．选（C）．（4）方程()fx=2222333311110xabcxabcxabc的根的个数为（）．（A）1（B）2（C）3（D）4解方法一：将()fx按第1列展开，知()fx为3次多项式，因此有3个根．选（C）．方法二：（计算出来：每一行分别减去上一行的a倍，之后按照第二列展开，再提取即可）()()()()()()()fxaxbxcxbacacb有3个根123,,xaxbxc．选（C）．2．计算四阶行列式12124121200000000aabbDccdd．（同本套题题1（2））解121212124121212120000000000000000aaaaccccDbbbbdddd12121212aabbccdd))((12211221dbdbcaca．-9-3．计算四阶行列式41111111111111111xxDxx．解41111111111111111111111111111xxxxxxDxxxxx432100100(1)1001000xxxxxxxx4x．（或者按照：第一列加上第四列，41111110111011101110111111000xxxxxxDxxxx，再按照第一列展开，即可）4．计算n阶行列式12321213212121nnnDnnnnLLLLLLLLL．解112211212311341111111000011111120001111112220nnnnjrrrrrrnccjnnnnnDLLLLLLLLLMMMMMMMMMMLL112110001200(1)(1)(1)(1)212201222nnnnnn．-10-5．计算五阶行列式22252200012000120001200012aaaaDaaaaa．解方法一：一般地，对于此类n阶行列式，将其按第一行展开，得2122nnnDDD，则211223()()nnnnnnDDDDDD222221()[(2)2]nnnDD，有12122()2nnnnnnnnDDDD111(1)2(1)(1)nnnnnDnnn，所以556Da．方法二：由习题二（A）的第5题，得当时，有11lim(1)lim(1)nnnnnDnn，所以556Da．6．计算n阶行列式012210001000100000001nnnxaxaxaDxaxaLLLMMMMMLL．解将行列式按第一行展开，得10nnDxDa，则2210210()nnnDxxDaaxDaxa121210nnnxDaxaxa121210()nnnnxxaaxaxa1110nnnxaxaxa．-11-7．已知1326、2743、5005、3874都能被13整除，不计算行列式的值，证明4783500534726231能被13整除．证41424310001001013261321326274327427435005500500538743873874cccccc．由已知，得后行列式的第4列具有公因子13，所以原行列式能被13整除．8．证明:222244441111()()()()()()()abcdabacadbcbdcdabcdabcdabcd．证构造5阶行列式（形成范德蒙行列式）222225333334444411111abcdxDabcdxabcdxabcdx，则（原式应该是3x的系数）5()()()()()()()()()()Dbacadacbdbdcxaxbxcxd．（1）将5D按第5列展开，得435222222223333444411111111()