线性代数习题解答第一二三章

（图1）总习题一一、问答题1.试解释二、三阶行列式的几何意义.解在平面解析几何中，已知两向量),(),,(2121bbaa，如图，以,为邻边的平行四边形的面积为,sin||||S平行四边形，而||||,cos，故|-1|2,sin||||S平行四边形||||21211221bbaababa这就是说，二阶行列式2121bbaa表示平面上以),(),,(2121bbaa为邻边的平行四边形的有向面积，这里符号规定是当这个平行四边形由向量沿逆时针方向转到向量而得到时面积取正值；当这个平行四边形由向量沿顺时针方向转到向量而得到时面积取负值．空间三向量),,(),,,(),,,(321321321cccbbbaaa的混合积)(的绝对值等于这三个向量张成的平行六面体的体积，即平行六面体V|||)(321321321cccbbbaaa|三阶行列式321321321cccbbbaaa表示以，，为相邻棱的平行六面体的有向体积，当，，构成右手系时，体积取正值；当，，构成左手系时，体积取负值．实际上改变任意两向量次序，取值符号改变．类比二、三阶行列式，n阶行列式|,,,|Dnn21是由n维向量n,,,21张成的n维平行多面体的有向体积．尽管我们不能看见n维平行多面体，但是有2，3维空间做蓝本，我们却能够通过现象抓住行列式概念的本质，进行想象．行列式的性质均可以通过几何直观解释，这就是了解几何背景的优势．-2-习题解答2.行列式中元素的余子式、代数余子式与行列式有什么关系？解由定义知，在行列式ijnnDa中，去掉元素ija所在的第i行和第j列后，保持相对位置不变得到的1n阶行列式称为该元素的余子式，记为ijM．而把(1)ijijM称为元素ija的代数余子式，记为ijA．由定义可知，元素的余子式及代数余子式与该元素的位置有关，而与该元素本身是什么数无关．因此，如果只改变行列式的某行（列）的各元素数值，并不会改变该行（列）原来的各元素对应的余子式和代数余子式．例如：在行列式1D=123451789中，将第二行元素都换成1，得2D123111789，那么2D的第二行各元素的代数余子式与1D的第二行各元素的代数余子式是分别对应相同的．利用此性质可以方便地计算行列式某些元素的代数余子式的某些线性组合．它们与行列式的关系主要表现在行列式按行（列）展开定理及其推论中，即)(,0)(,1sisiDAasknkik，)(,0)(,1tjtjDAaktnkkj．3.试从几何的角度解释三元线性方程组有唯一解的意义.解线性方程组的解可以借助于子空间的概念来阐明，这样可以使线性方程组的解有了几何意义．设三元一次线性方程组)()()(333332222211111dzcybxadzcybxadzcybxa,三个方程在空间分别表示三个平面123,,，该方程组有唯一解，就是说它们有唯一一个交点（如右图）．这样以直观方式去理解三元线性方程组的解，就会比较顺利地迁移到对n元线性方程组的解地理解上去。如果我们利用几何直观来理解线性代数课程，就能为抽象思维提供形象模型，提高应用线性代数理论去解决实际问题的能力．4.范德蒙（Vandermonde）行列式的结构特点及结论是什么？请运用范德蒙行列式证明：22212312233113333123111()()jiijDxxxxxxxxxxxxxx.解范德蒙行列式线性代数-3-123222212311111231111nnnnnnnnxxxxVxxxxxxxx它的结构特点是：每一列都构成等比数列，首项是1，公比分别是12,,,nxxx，末项分别是12,,,nxxx的1n次幂．若将此行列式转置，则各行元素具有此特点.解题时若发现某行列式有此特点，则可以利用范德蒙行列式的结果写出答案．根据待求行列式的特点，构造四阶范德蒙行列式：1234222212333331231111xxxyVxxxyxxxy一方面，利用范德蒙行列式结论有412313()()()()jiijVyxyxyxxx，另一方面，按第四列展开有23414243444VAAyAyAy，比较y的系数得结论成立．二、单项选择题1．n级行列式0001001001001000（）．（A）1（B）2)1()1(nn（C）2)1()1(nn（D）1解应选（B），本题宜直接计算，采用直选法．由行列式的定义，该行列式只有一项不为零，(1)((1)21)2(1)111=(1)nnnnn．2．设213123410231722xfx，那么xf的一次项系数为（）．（A）1（B）2（C）-1（D）-2解应选（C），本题宜直接计算，采用直选法．由行列式展开定理，fx的一次项-4-习题解答系数为代数余子式12134134134112301101111220120011+2()A，故选（C）．3．如果行列式111213111213212223313233313233212223222,333aaaaaaaaadaaaaaaaaa那么（）．（A）2d（B）3d（C）6d（D）-6d解应选（C），本题直接计算．利用行列式的性质2211121311121331323331323321222321222322233366rraaaaaaaaaaaadaaaaaa，故选（C）．4．如果(2)nn级行列式中每个元素都是1或-1,那么该行列式的值为()．（A）偶数（B）奇数（C）1（D）-1解应选（A）．因为行列式中每个元素都是1或-1,将行列式的第二行元素的一倍加到第一行，行列式的值不变，此时行列式第一行元素只可能是220,或,即2是第一行元素的公因数，也是行列式的一个因数，从而行列式的值一定是偶数．说明：读者可以考虑所有满足该题条件的三阶行列式的最大取值是多少？它是一个很有趣的问题．5．行列式n00020001的主对角线上每个元素与其代数余子式乘积之和为()．（A）!n（B）(1)2nn（C）!nn（D）2(1)2nn解应选（C），本题思路是根据行列式的特点，将“主对角线上每个元素与其代数余子式乘积之和”转化为“每行元素与其代数余子式乘积之和”，再利用行列式展开定理解题．由于行列式每行只有一个元素不为零，故11111212221222121100202000nnnnnnnnAAAADn!AAAADn!nAAAnADn!从而112212nnAAnAnn!．线性代数-5-6．四阶行列式1122334400000000ababbaba的值等于（）．(A)12341234aaaabbbb(B)12341234aaaabbbb(C)12123434()()aabbaabb(D)23231414()()aabbaabb解应选(D)，本题可以直接计算，采用直选法．计算过程可以用行列式的定义，行列式按行展开定理，也可以用拉普拉斯定理解答．使用拉普拉斯定理更快捷．本题更好的方法是采用排除法，令40b，可得此时行列式的值为142323(-)aaaabb，经比较，可知(A)、(B)和(C)都不对，故本题应选(D)．7．行列式nD为零的充分条件是（）．(A)零元素的个数大于n个(B)nD中各行元素的和为零(C)次对角线上元素全为零(D)主对角线上元素全为零解应选(B)．因为nD中各行元素的和为零，根据行列式的倍加不变性质，将其它各列的一倍加到第一列，第一列元素都化为零，故(B)是nD为零的充分条件．说明：建议初学者分别举例说明其它三种情况都不是充分条件．8．方程0881441221111132xxx的根为（）．(A)1，2，2(B)1，2，3(C)1，1，2(D)0，1，2解应选（A）．可以将行列式视为关于122,,,x的四阶范德蒙行列式，立刻得到结论．也可以将x分别取值1,2,1后，第4列分别与1,2，3列对比观察，得到结论．9．当a（）时，方程组02020axzxayzaxyz只有零解．(A)1(B)0(C)2(D)2解应选(D)，本题直接计算方程组的系数行列式．-6-习题解答01212(2)21aDaaa由克莱姆法则知，当2a时，齐次线性方程组只有零解．10．设1123210233，则的值可能为（）．(A)4(B)4(C)2(D)2解应选(D)，本题直接计算行列式：322112()321634(2)(817)233f则()0f有三个根24,i，故选(D)．三、解答题1.计算行列式112231000000000000011111nnnaaaaaaaa．解该行列式的阶为1n，从第1n列开始，逐列乘以1加到前一列，112231000000000000011111nnnaaaaaaaa121000000000000000001121nnaaaannn按第一列展开得原式1221000000(1)(1)000000nnnaanaa12(1)(1)nnnaaa．2.计算下列行列式线性代数-7-（1）xyxyyxyxxyxy；（2）1100010001xyzxyz；（3）5200035200035200035200035；（4）1200025000981237645654789．解（1）1213112()12()2()12()1ccccxyxyxyyxyyxyyxyxxyxyxxyxyxxyxyxyxyxy21311112()02()0rrrryxyxyxyxyxyxyxxyx)(233yx；（2）121314222222111000100101000100010001cxccycczcxyzxyzxyzxxyzyz)(1222zyx；（3）由习题1.4第5题结论，babaDnnn11，当235a,b,n，6652366523D；或直接用展开定理：原式530023003025300530535530253025325002500255302305[5253-3053]-6202502505565338665665[]；（4）由拉普拉斯定理可得：1212120001231232500012(1)4561333098123257893337645654789．-8-习题解答3.用加边法计算行列式1111222212(0)nnnnnxyxxxxyxyyyxxxy．解利用行列式展开定理，构造一个等值的1n行列式，其中第一列元素根据行列式的特点确定，即原式11111111(1)22222222,3,,110001111000000jccjnnnnnnnnxxyxxxyxxxyxxyxxxxyxy111111122,3,,1122100000(1)0000iyiniiircnininiinnxyxyxyyyxyyxy．4.证明：21000121000120010002100012nDn．证明用数学归纳法证明．因为12D，221312D，所以当12n,时命题成立．现在假设行列式阶小于n时，结论成立，下证对n阶行列式结论成立．将n阶行列式按第1行展开后再展开，有1121100021021221101210012