线性代数习题集-重点解析

第一章行列式一、判断题1．行列式如果有两列元素对应成比例，则行列式等于零.(T．)2.213210124121012342.(F)(简单的性质)3.13434121.42042(T)(运算值相等)6.n阶行列式nD中元素ija的代数余子式ijA为1n阶行列式.(T)7.312143245328836256.(F)8.111213212223313233aaaaaaaaa122rr111213211122122313313233222aaaaaaaaaaaa(F)9．如果齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式必等于零.(T)10.如果方程个数与未知数个数相等，且系数行列式不为零，则方程组一定有解.(T)二、选择题（）1．若12532453rsaaaaa是5阶行列式中带正号的一项，则,rs的值为（B因为是5阶所以r+s=5并且逆序数为偶）．A.1,1rsB.1,4rsC.4,1rsD.4,4rs2.下列排列是偶排列的是（逆序数是偶数）A.4312B.51432C.45312D.6543213.若行列式210120312x，则x=(有一列或行相同则为零).A.–2B.2C.-1D.16.设行列式2211baba=1，2211caca=2，则222111cbacba=（D）.A．-3B．-1C．1D．37.设非齐次线性方程组123123123238223105axxxaxxxxxbx有唯一解(系数行列式不为0)，则,ab必须满足（d）..0,0Aab2.,03Bab23.,32Cab3.0,2Dab8.2151525211122230302023是按（B）展开的.A．第2列B．第2行C．第1列D．第1行9.设111211212niiinnnnnaaaDaaaaaa则下式中（B一种字母i或j是之和，，有两种是和为零）是正确的.1122.0iiiiininAaAaAaA1122.0ijijninjBaAaAaA1122.iiiiinniCaAaAaAD1122.ijijninjDDaAaAaA三、填空题2．四阶行列式中的一项14322341aaaa应取的符号是___正____.8.非零元素只有1n行的n阶行列式的值等于____0_____.9.1231231238,aaabbbccc则123123123222cccbbbaaa_____16___.(因为1和3行对调了)10.n阶行列式nD中元素ija的代数余子式ijA与余子式ijM之间的关系是ijA___(1)ijijM_，nD按第j列展开的nD__1122jjjjnjnjaAaAaA(2)2605232112131412（步骤很重要）（再复杂的也这样转换）解2605232112131412260503212213041224cc041203212213041224rr0000003212213041214rr(2)yxzxzyzyxbabzaybyaxbxazbyaxbxazbzaybxazbzaybyax)(33;（ab系数提出来--从左到右）证明bzaybyaxbxazbyaxbxazbzaybxazbzaybyaxbzaybyaxxbyaxbxazzbxazbzayybbzaybyaxzbyaxbxazybxazbzayxabzayyxbyaxxzbxazzybybyaxzxbxazyzbzayxa22zyxyxzxzybyxzxzyzyxa33yxzxzyzyxbyxzxzyzyxa33yxzxzyzyxba)(33(3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222ddddccccbbbbaaaa;（展开列列想减）证明2222222222222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(ddddccccbbbbaaaa(c4c3c3c2c2c1得)5232125232125232125232122222ddddccccbbbbaaaa(c4c3c3c2得)022122212221222122222ddccbbaa六.用克拉默法则解方程（先求系数矩阵D的值，再求D1,D2......）1.12341234123412345242235232110xxxxxxxxxxxxxxxx；2.121232343454556156056056051xxxxxxxxxxxxx.七.问取何值时齐次线性方程组123123123(1)2402(3)0(1)0xxxxxxxxx有非零解(系数行列式必为零)？第二章矩阵一、判断题1.若A是23矩阵，B是32矩阵，则AB是22矩阵.(T)2.若,ABO且,AO则.BO(F)3.12103425X的解110122534X.(F逆矩阵在左边则T)4.若A是n阶对称矩阵，则2A也是n阶对称矩阵.(T)5.n阶矩阵A为零矩阵的充分必要条件是0.A(F)6.若,AB为同阶可逆矩阵，则11()kAkA.(F)7.42042069126232110110.(F)8.n阶矩阵A为逆矩阵的充分必要条件是0.A(T)9.设,AB为同阶方阵，则ABAB.(F)10.设,AB为n阶可逆矩阵，则111AOAOOBOB.(T)二、选择题1.若,AB为n阶矩阵，则下式中（D）是正确的.22.()()AABABAB.(),=.BABCOAOBC且，必有222.(+)+2+BABAABB.DABAB2.若,snnlAB，则下列运算有意义的是（A）..TTABA.BBA.+CAB.+TDAB3.若,mnstAB，做乘积AB则必须满足（C）..=Amt.=Bms.=Cns.=Dnt5.设2阶矩阵abAcd，则*A（A）A．acbdB．abcdC．acbdD．abcd6.矩阵0133的逆矩阵是（C）A．3310B．3130C．13110D．013117.设2阶方阵A可逆，且A-1=2173，则A=（因为6-7=-1）.A．3172B．3172C．3172D．21738.n阶矩阵A行列式为,A则kA的行列式为（B）.A.kAB.nkAC.kAD.-kA9.设,AB为n阶矩阵满足=,ABA且A可逆，则有（C）..==AABE.=BAE.=BBE.,DAB互为逆矩阵10.设A是任意阶矩阵，则（C）是对称阵..(+)TTAAA.+TBAA.TCAA.TTDAAA三、填空题_.4.321(1，2，3)=__得3行3列的矩阵________.5.n1111=______11112222nnnn____.9.设A=dcba，且det(A)=ad-bc≠0，则A-1=___1dbadbcca__.10.设,AB为n阶可逆矩阵，则1OABO__11.OBAOAB互换了四、计算题9.设A为3阶矩阵求-1(2)-5AA.解因为*||11AAA所以|||521||*5)2(|111AAAAA|2521|11AA|2A1|(2)3|A1|8|A|1821610.设(1,2,1),28,AdiagABABAE求.B解由A*BA2BA8E得(A*2E)BA8EB8(A*2E)1A18[A(A*2E)]18(AA*2A)18(|A|E2A)18(2E2A)14(EA)14[diag(212)]1)21,1,21(diag42diag(121)11.设34432022OAO求8A|及4A.解令34431A22022A则21AOOAA故8218AOOAA8281AOOA1682818281810||||||||||AAAAA464444241422025005OOAOOAA五、证明题1设,AB为n阶矩阵，且A为对称矩阵，证明TBAB也是对称矩阵.证明因为ATA所以(BTAB)TBT(BTA)TBTATBBTAB从而BTAB是对称矩阵2.设,AB为n阶对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充分必要条件是ABBA.证明充分性因为ATABTB且ABBA所以(AB)T(BA)TATBTAB即AB是对称矩阵必要性因为ATABTB且(AB)TAB所以AB(AB)TBTATBA第三章矩阵的初等变换与线性方程组一、选择题1．设n元齐次线性方程组0AX的系数矩阵的秩为r，则0AX有非零解的充分必要条件是（B）(A)rn(B)rn(C)rn(D)rn2．设A是mn矩阵，则线性方程组AXb有无穷解的充要条件是（D）(A)()rAm(B)()rAn(C)()()rAbrAm(D)()()rAbrAn3．设A是mn矩阵，非齐次线性方程组AXb的导出组为0AX，若mn，则（C）(A)AXb必有无穷多解(B)AXb必有唯一解(C)0AX必有非零解(D)0AX必有唯一解4．已知12,是非齐次线性方程组AXb的两个不同的解，12,是导出组0AX的基础解系，12,kk为任意常数，则AXb的通解是（B）(A)1211212()2kk(B)1211212()2kk(C)1211212()2kk(D)1211212()2kk5．设A为mn矩阵，则下列结论正确的是（D）(A)若0AX仅有零解，则AXb有唯一解(B)若0AX有非零解，则AXb有无穷多解(C)若AXb有无穷多解，则0AX仅有零解(D)若AXb有无穷多解，则0AX有非零解6．线性方程组123123123123047101xxxxxxxxx（C）(A)无解(B)有唯一解(C)有无穷多解(D)其导出组只有零解二、判断题1．若,是线性方程组Axb的两个解向量，则是方程组0Ax的解。T2．设向量12,是n元线性方程组的解向量，那么Axb121233也是这个方程组的一个解向量。T3．若是0AX的解,若是(0)AXbb的解，则是bAX的解。T4．n元线性方程组(0)Axbb当()RAn时有无穷多解。F5．设A是n阶方阵,若方程组bAX满足),()(bARAR,则bAX有唯一解。F6．对于线性方程组Axb(这里A为n阶方阵),如果该方程组有解，则必有()RAn。F7．设A,B都是n阶方阵,若knBRnkkAR