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第一章：行列式1、计算下列行列式122…22222…22223…22：：：：：222…n-12222…2n解：首先利用每一行元素分别减去第二行元素得到：-100......0222.......0001........00002.....0000.......n-2可利用代数余子式求出：（-1）*2*（n-2）！2、计算下列行列式：|xyx+y||yx+yy||x+yyxl解：|xyx+y||yx+yy||x+yyx|=x|x+yy|+y(-1)|yy|+(x+y)|yx+y||yx||x+yx||x+yy|=x(x²+xy-y²)-y(xy-xy-y²)+(x+y)(y²-x²-2xy-y²)=x(x²+xy-y²)-y(-y²)+(x+y)(-x²-2xy)=x³+x²y-xy²+y³-x³-x²y-2x²y-2xy²=y³-2x²y-3xy²=y(y²-2x²-3xy)3、计算下列行列式：12-51-310-620-1241-76解：根据行（列）与行（列）之间互换，行列式值改变符号。所以第一列与第二列互换，得出21-511-30-602-1214-76根据行列式倍加不变原理。第四列乘以-2加上第一列，第四列乘以-1加上第二列，结果如下。0-79-110-77-1202-1214-76根据行列式倍加不变原理。第四列乘以-2加上第一列，第四列乘以-1加上第二列0-79-110-77-12-02-1214-76根据计算，得出=（-14）+49-62=-274、求二阶行列式1-x^22x----------1+X^21+X^2解：原式＝（[1-x²]²+4x²）/（1+x²）²＝（1+x²）²/（1+x²）²＝15、设AB为n阶方阵，满足ATA=AAT=E,BTB=BBT=E及|A|+|B|=0，求|A+B|解：原式＝（[1-x²]²+4x²）/（1+x²）²＝（1+x²）²/（1+x²）²＝1由已知,|A|^2=|B|^2=1所以|A|,|B|等于1或-1因为|A|+|B|=0所以|A||B|=-1所以有|A+B|=-|A||A+B||B|=-|A^T||A+B||B^T|=-|A^TAB^T+A^TBB^T|=-|B^T+A^T|=-|(A+B)^T|=-|A+B|.所以|A+B|=0.第二章：矩阵1、已知矩阵A=[111][2-10][101]B=[311][212][123]求：AB解：AB=[1×3+1×2+1×11×1+1×1+1×21×1+1×2+1×32×3-1×2+0×12×1-1×1+0×22×1-1×2+0×31×3+0×2+1×11×1+0×2+1×21×1+0×2+1×3]=[646][410][434]2、设A=[223][1-10][312]A*为A的伴随矩阵，求A(-1)A*解：AA*=|A|EA*=|A|A^-1所以A^-1A*=|A|(A^-1)^2|A|=4AA*=|A|EA*=|A|A^-1所以A^-1A*=|A|(A^-1)^2|A|=4A^-1=-1/2-1/43/4-1/2-5/43/411-1(A^-1)^2=9/819/16-21/1613/839/16-33/16-2-5/25/2所以A^-1A*=|A|(A^-1)^2=9/219/4-21/413/239/4-33/4-8-10103、判断关于逆矩阵（A+B）的逆等于不等于A的逆加B的逆解：一般不等于，反例：令A=B=E则(A+B)=2E，(A+B)逆=E/2而A逆+B逆=E+E=2E所以不等4、求矩阵的秩[132a][2-4-1b][3-20c]其中a,b,c为任意实数解：r(A)=3因为[132][2－4－1][3－20]的行列式不为0，说明原矩阵有一个3阶子式不为0，秩至少是3；又因为原矩阵是3*4的矩阵，它的秩最多为3，所以答案就是35、一个方程组x+y+z=22x+y+3z=03y+4z=1求方程的解解：设A=[111213034]B=[201]A的逆阵为C=(1/7)*[5,1,-28,-4,1-6,3,1]x=C.B=1/7[817-11]第三章：向量空间1、已知α1=（1,1,2，-1）α2=（-2,1,0,0,）α3=（-1,2,0,1）又β满足3（α1-β）+2（α3+β）=5（α2+β）求β解：由题设，有3α1-3β+2α3+2β=5α2+5β3α1+2α3-5α2=6β(3,3,0,-3)+(-2,4,0,2)-(-10,5,0,0)=6β6β=(11,2,0,-1)β=(11/6,1/3,0,-1/6)2、设数域F上向量空间V的向量组{α1,α2,α3}线性无关，向量β1可由α1,α2,α3线性表示，而β2不能由α1,α2,α3线性表示。证明：对于所有的k∈F，向量组{α1,α2,α3,kβ1+β2}线性无关。解：设x·α1+y·α2+z·α3+w(kβ1+β2)=0.由β1可由α1,α2,α3线性表示,可设β1=a·α1+b·α2+c·α3,代入得(x+awk)α1+(y+bwk)α2+(z+cwk)α3+w·β2=0.于是w=0,否则β2=-(x/w+ak)α1-(y/w+bk)α2-(z/w+ck)α3被α1,α2,α3线性表示.带回得x·α1+y·α2+z·α3=0.而由α1,α2,α3线性无关有x=y=z=0.组合系数只有零解,即α1,α2,α3,kβ1+β2线性无关3、由a1=(1,1,0,0)^T,a2=(1,0,1,1)^T所生成的向量空间记作L1,由b1=(2,-1,3,3)^T,b2=(0,1,-1,-1)^T所生成的向量空间记作L2．试证L1=L2.证明：设k1a1^T+k2a2^T=k3b1^T+k3b2^T可得k1=k3-k4,k2=-3k3+k4a1,a2可由b1,b2线性表示L1也可认为由b1,b2生成,L1是L2的子空间同理,L2也可由a1,a2生成L2是L1的子空间4、向量组（a,3,1）,（2,b,3）,（1,2,1）,（2,3,1）的秩为2，求a，b的值解:构造矩阵12a2233b1113r1-r3,r2-2r301a-1-1011b-61113r1-r200a-25-b011b-61113因为向量组的秩为2,所以a=2,b=55、设向量α，β，γ满足5（α-γ）+3（β+γ）=0其中α=（-2，-1,3,0）β=（-2，-1,0,3）求α+β+γ解：将a,b代入。原式就得（-10，-5,15,0）+（-6，-3，0,9）-2y=02y=（-16，-8，15,9）y=（-8，-4,7.5,4.5）a+b+y=（-2，-1,3,0）（-2，-1,0,3）（-8，-4,7.5,4.5）=（-12，-6,10.5,7.5）第四章：线性方程组1、试问a为何值时线性方程组有解，并在有解时求其通解{x1+x2+x3+x4}=-7{x1+3x3-x4}=8{3x1+3x2+3x3+2x4}=-11{2x1+2x2+2x3+x4}=2a解：非齐次线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩，即：r（Ã）=r（A）系数矩阵为：1111103-133322221它的秩为：r（A）=3增广矩阵为：1111-7103-183332-1122212a要使它的秩也等于3，2a+14=10，（第四行减去第一行的两倍）解得a=-2通解————先化简矩阵：1111-7103-183332-112221-4——1111-70-12-215000-110000-110——1111-70-12-215000-11000000——103-180-12-215000-11000000解得：x1=-2-3x3x2=5+2x3x3=x3x4=-10所以，通解为：x1-2-3x252x3=0+t1x4-1002、使用消元法求解4x1-6x2+4x3-3x4+3x5=1----(1)3x1-4x2+x3-2x4+2x5=0----(2)2x1-3x2+2x3-2x4+x5=-2---(3)x2-4x3-x5=-4---(4)解：4x1-6x2+4x3-3x4+3x5=1----(1)3x1-4x2+x3-2x4+2x5=0----(2)2x1-3x2+2x3-2x4+x5=-2---(3)x2-4x3-x5=-4---(4)（1）-（3）*2，x4+x5=5,x4=5-x5,(5)(2)*2-(3)*3,x2-4x3+2x4+x5=6.(6)把（5）代入（6）得（4），∴方程组的通解是x1=5m-2,x2=4m+n-4.x3=m,x4=5-n,x5=n,其中m,n是任意实数3、非齐次线性方程组化为增广矩阵为|23-21||1-131||53-13|，求方程组的一般解？解：r1-2r2,r3-5r205-8-11-13108-16-2r3*(1/8),r1-5r3,r2+r30021/41013/401-2-1/4r1*(1/2),r2-r1,r3+2r10011/81005/80100交换行1005/801000011/8方程组有唯一解:(5/8,0,1/8)^T4、有这样一个矩阵，P1N1D1P2N2D2...PnNnDn要使每一列相加都小于等于（M1M2M3)。也就是说a1P1+a2P2+...+anPn=M1a1N1+a2N2+...+anNn=M2a1D1+a2D2+...+anDn=M3其中（a1.a2...an)均为正数。这个有解吗？如果有求解解：由线性方程组组成的增广阵为12-2220-111-111-13a1-115b进行初等变换得12-2220-111-10-111a-20-111（b-2）/3明显后3行格式相同要有解必须-1=a-2=（b-2）/3得a=1b=-1原式可化为前两个方程组的解整理后得x1=-4*x4且x2=x3+x4+1第五章：特征值与特征向量1、求矩阵特征值特征向量1,2,22,1,22,2,1解：设矩阵A的特征值为λ则|A-λE|=1-λ2221-λ2221-λ第1行减去第2行=-1-λ1+λ021-λ2221-λ经初等变换后10-101-1000得到特征向量(1,1,1)^T当λ=-1时，A+E=222222222第2行减去第1行，第3行减去第1行，第1行除以2～111000000得到特征向量(1,-1,0)^T和(0,1,-1)^T所以矩阵的特征值为5，-1，-1对应的特征向量(1,1,1)^T，(1,-1,0)^T和(0,1,-1)^T2、求三阶方阵的特征值和特征向量,并判断A是否与对角行矩阵相似三阶方阵A=-1223-1122-1解:|A-λE|=-1-λ223-1-λ122-1-λc1+c2+c33-λ223-λ-1-λ13-λ2-1-λr2-r1,r3-r13-λ220-3-λ-100-3-λ=(3-λ)(3+λ)^2.所以A的特征值为3,-3,-3.对特征值3A-3E=-4223-4122-4--10-101-1000所以A的属于特征值-3的特征向量为k1(1,1,1)',k1为非零的任意常数.对特征值-3所以A的属于特征值-3的特征向量为k2(1,-2,1)',k2为非零的任意常数.-3是2重特征值,而属于-3的线性无关的特征向量只有一个故A不能与对角矩阵相似.3、证明正交实矩阵A的特征值为1或-1证明：设A是正交矩阵λ是A的特征值,α是A的属于λ的特征向量则A^TA=E(E单位矩阵),Aα=λα,α≠0考虑向量λα与λα的内积.一方面,(λα,λα)=λ^2(α,α).另一方面,(λα,λα)=(Aα,Aα)=(Aα)^T(Aα)=α^TA^TAα=α^Tα=(α,α).所以有λ^2(α,α)=(α,α).又因为α≠0,所以(α,α)0.所以λ^2=1.所以λ=±1.4、明:若n阶方阵A与B相似,则它们的行列式相等解：由于A与B相似，因此可以得到A=DB（D为初等变换矩阵，因此D的行列式为1），于是|A|=|DB|=|D||B|=1*|B|=|B|5、设x1,x2都是A的对应于特征值a0的特征向量，证明kx1