线性代数复习提纲

()2.((2)3)TTTABBAABBAABBAEABEAB0000第一章矩阵重点:矩阵(分块)乘法(乘法满足的条件),注意问题：1.不满足交换律当时，不能推出或什么条件下成立？）3.当且时也不能断定什么条件下成立？）1)定一、矩阵运算二、逆矩阵1.判断矩阵可逆的方义推论，，为同方阵法阶ABABABCBBAC1114)det()050ABBAAAAAXA同阶逆矩阵的乘积是可逆矩阵，（））无零特征值6)若为方阵，只有零解7)的列(行)向量组线性无关11*1111)()()12)det3)[,,,][,,,][,,,]2.jjjnjnjnAEEAAAAnAXeXjAXXXAXAXAXeeeE求逆矩阵方法三、用初等变换：公式：解个方程组：的解为逆矩阵的第列1.三种初等变换及初等矩阵2.等价矩阵：定理2.63.怎样求矩阵的秩：将矩阵化为阶梯矩阵型4.重要定理：2.8,的秩及初等变换2行等变换初.9(及改写定理),2.10,2.11,2.13另外：可逆矩阵只通过行(或列)变换就可化为单位矩阵5.初等变换的应用1)0det0(0)2)det03)AXAAXnAnb第二章行列式一、行列式的性质及其计算二、范得蒙行列式三、行列式的应用有非零解(只有零解)有惟一解克莱姆定理1)定义矩阵的秩2)定义伴随矩阵，逆矩阵公式3)矩阵的特征多项式4)判断矩阵的可逆5)判断二次型的1.在方程组中的应用2.矩阵中的应用3.向量中的应用正定和负定1)判断向量组的相关性2)描述几何意义-1)()()det2).3)0:nrrankAnranAkArnnAAnrX1第三章线性方程组初等行变换增广矩阵阶梯型矩阵同解方程组：只有零解：有非零解注意:为未知量个数，当为方阵时，可用来判断基础解系的求解，一、方程组的求解方法：消元法二、方程组的解含个解向量,,的结构1.肯定有解通解11-1,,,nrnrnrcccc的描述：其中为任意数111-:()1)()()det0()()()2)1.3)nrnrnrrankranknnAArankrankrnnrccAXAXbrankbrank1：有惟一解注意:为未知量个数，当为方阵时，可用来判断：有无穷解基础解系的求解，含个解2.有解向量,,通解的描述：的充要条件是第一种：，其中为的AAAAAA-111111110,,1nrnrnrnrnrnrAXccccAXbcc11一特解，,,为的基础解系，为任意数：，其中,,为的基础解，第系二种121212121212第四章维向量空间注意问题的转化:线性表示线性方程组矩阵1)向量可由向量线性表示的充要条件是：()(,)2)向量可由惟一地线性表示的充要条件是：()(,一、线性表示二、线相关)性与nnnnnnnrankrankrankranknβα,α,,αα,α,,αα,α,,αβα,α,,αα,α,,αα,α,,α1212怎样判定相关性?1)定义2)秩:线性无关:();当,det0线性相关:();当,det03)可逆(不可逆)矩阵的列(行)向量组线性无关线关性无(关相)nnranknmnAranknmnAα,α,,αα,α,,α基本计算题类型：一.计算行列式的值：二.计算矩阵的值：三.解线性方程组1.求方程组的通解(用基础解系与特解表示).2.当a,b为何值时,方程组有惟一解、无穷多解、无解?四.1.设有向量组，求该向量组的秩以及它的一个最大线性无关组.2.计算矩阵的列向量组生成的空间的一个基.3.求向量～～在基～～～下的坐标.五.设三阶实对称矩阵A的特征值为～～～，3(二重根)、4(一重根),～～～～～～～～是A的属于特征值4的一个特征向量,求A六.用正交变换化下列二次型为标准型,并写出正交变换矩阵.七.求出把二次型～～～化为标准形的正交变换,并求出使～～为正定时参数a的取值范围.rankrankr12121212行变换121)()是的最大线性无关组的充分必要条件是：怎样找最大无关组:矩阵阶梯型2)有关等价向量组的重要定理4.91)向量空间的定义;方程组0的解空间;向量的生成空间.2)向量空间的基(正交基及单位三、等价向量组与最大无关正交基);空间的组四、向维数(不量空间同于向α,α,,αα,α,,αα,α,,αα,α,,αα,α,,αrmrmmrmAX量的维数).3)向量的内积运算,长度及夹角4)向量的正交及正交矩阵,定理5.65)施密特正交化方法:将基改造为正交基,定理5.56)向量的坐标:过渡矩阵和坐标变换公式第五章特征值与特征向量1)特征值的求解:解出特征方程det(-)=0的根对应特征值的特征向量的求解:方程组(-)=0的非零解特征值的特征一、特征值与特征向量的求解二、相似矩阵及性质空间:(-)=0的解空间2)特征值与特征向量的五个重要性质1)判定矩阵可对角化:定理5.1;推论(全部单根);定理5.三、矩阵3(有重根)2)如何求相似可对角化条矩件变换阵AEAEXAEX和相似的对角矩阵,如何求和1)定理5.9;5.10;5.112四、实对称矩阵的)如何求正交相似对变角化换矩阵?nAA一、二次型的矩阵表示二、用正交变换将二次型化为标准型三、二次型的分第六章二次型判断二次型为正定(负定)的方法：1.通过的特征值2.通过的顺序主子式3定类.义AA