线性代数应该这样学

线性代数应该这样学陈建华（扬州大学数学科学学院江苏扬州225002）摘要本文从线性代数的教学内容组织、重点难点分析、常见错误剖析等方面探讨应该怎样学习线性代数．关键词线性代数基本概念基本计算常见错误中图分类号O151.2G642.0文献标识码A“在现代社会，除了算术以外，线性代数是应用最广泛的数学学科了”．然而，对于该课程的学习，初学者总会感到“概念多，且许多概念看书整不明白”、“从课本上，许多解题步骤不能理解”、“线性代数的知识点衔接很紧密，知识间的联系不好掌握”、“考试时，经常算错”……那么,如何学习线性代数课程呢?本文谈一些看法，供读者参考．文章标题大胆地借用SheldonAxler[美]的著作《lgLinearAebraDoneRight》的书名,但从内容到思想完全无关，只是吸引读者来读完下面的文字.一、弄清课程的内容和结构线性代数课程所讨论的核心问题是线性方程组的求解、矩阵可对角化判定和二次型的化简．针对要解决的问题，自考教材[1]从知识准备的角度首先介绍行列式、矩阵和向量等基础知识作为课程的基础内容，循着知识发展的轨迹，再逐一介绍线性代数课程三大问题，从而形成基础知识+问题解决+应用的结构框架．（如下图）基础篇（矩阵代数）问题篇（核心问题）应用矩阵线性方程组求解问题行列式矩阵对角化判定问题向量二次型化标准形问题知识模块顺序及关系图学习该课程的过程中，要时刻关注这三个课程核心问题，思考在解决这三个问题的过程中引进了哪些基本概念，形成了哪些基本理论，得到了哪些重要结论，用到的工具和方法又有哪些．掌握了从问题的提出、展开到解决的过程，就能抓住课程的“纲”，2就能学得主动，做到既知树木，又见森林[3]．行列式和矩阵是解决线性代数问题的工具，它是带有浓厚的代数和计算色彩的理论，是线性代数课程的基础和重点[4]．了解行列式的定义和性质，掌握简单行列式的计算方法；理解矩阵、可逆矩阵、初等矩阵和矩阵的秩的概念，掌握矩阵的运算、矩阵秩的求法，能用矩阵的初等变换求矩阵的等价标准形是学习这部分内容的基本要求．向量的线性相关性理论是线性代数的蕴涵几何意味的一种理论．一个线性方程、矩阵的一行（列）都可以看作一个向量．线性方程组的各个方程、矩阵的行（列）之间的诸多关系实质上就是向量之间的线性关系．分析这种关系对于剖析线性方程组解的结构，矩阵的行（列）的线性结构，具有关键的意义[4]．当然，这部分内容的概念较多，推理逻辑性较强、较抽象，比较难学，但它是线性代数理论的基础和精髓，通过它的学习可以培养我们的抽象思维能力和逻辑推理能力，提高数学素养．理解向量、向量的线性相关性，向量组的极大线性无关组及向量组的秩的概念，能够判断向量组的线性相关性，掌握向量组线性相关性证明的基本方法，会求向量组的秩、极大线性无关组并用所求的极大线性无关组表示其余向量是学习这部分内容的基本要求．线性方程组求解是线性代数的基本问题之一和发展的源泉，有极其广泛的应用．线性方程组AX可以用它的系数矩阵A和增广矩阵),(A来表示．线性方程组的解的存在性和解的结构集中反映在这两个矩阵上，线性方程组AX有解的充分必要条件是),()(AA秩秩，等价于可以由A的列向量组线性表示．矩阵的秩是刻画其行（列）的线性相关性和众多子式的特征的一个最重要的数量指标，是线性代数课程中最深刻的概念之一．能够借助于矩阵的秩和简化行阶梯形矩阵求齐次线性方程组的基础解系，求非齐次线性方程组的通解是课程大纲提出要达到“综合应用”最高要求标准的内容．矩阵（线性变换）的特征值和特征向量是线性代数中有着广泛应用的一部分内容，也是数值代数讨论的一个主题，其几何背景是平面或空间上的变换在一组基下的矩阵以及在不同基下矩阵的关系．特征值和特征向量的概念、性质和计算是线性代数课程的基本概念和基本计算，也是考核的一个重点．矩阵的相似对角化问题是线性代数的三大问题之一，在向量空间中引进内积概念后，矩阵（特别是实对称矩阵）的正交相似对角化方法是重要且特别实用的方法．这部分内容是本课程综合性最强的一部分内容，容易出现较灵活的考题．实二次型是定义在实向量空间上的系数是实数的二次齐次函数，化实二次型为标准形并判定其正定性，是线性代数课程的又一有广泛应用背景的课题．从几何上看，平面上有心二次曲线，空间的有心二次曲面的标准方程即为对应二次型的标准形．掌握配方法和正交相似变换法化实二次型为标准形并判定其正定性，是线性代数课程中学习这部分内容的基本要求[1][2]．3二、知晓课程的重点和难点要学好线性代数，首先必须注重它的基本概念，掌握基本计算，这是基础．其次，还必须在各个部分知识的内在联系上下工夫，提高分析、综合能力．第三，对定理的条件、结论，概念的理解要清晰，要注意推理论证时逻辑的正确性．具体地：1.注重对基本概念的理解与把握，正确熟练运用基本方法及基本运算．（1）基本概念——注重对基本概念的理解与把握线性代数的概念很多，重要的有：行列式，代数余子式，伴随矩阵，逆矩阵，初等变换与初等矩阵，正交变换与正交矩阵，秩（矩阵、向量组、二次型），等价（矩阵、向量组），线性组合（线性表出），线性相关与线性无关，极大线性无关组，基础解系与通解，解空间，特征值与特征向量，相似与相似对角化，二次型的标准形与规范形，正定，合同变换等．学习线性代数的抽象概念，需要我们逐字逐句慢读定义，结合课本及具体例子仔细琢磨，反复体会，弄清定义中的关键词语的作用．如线性相关定义中的“不全为零”，特征向量定义中的“非零向量”，正交矩阵定义的前提是“实数方阵”，正定矩阵定义的前提是“实对称矩阵”等．线性代数的许多概念源自于解析几何，学习时，尽可能借助几何直观来理解抽象概念．如线性相关概念可借助于向量的平行、共面理解．子空间的几何背景是“过原点的平面”，二次型的几何背景是平面二次曲线或空间二次曲面等．我们不仅要准确把握住概念的内涵，还要注意相关概念之间的区别与联系[7]．如，矩阵的等价、相似、合同三个概念都是用来研究矩阵之间的关系的．它们的定义分别是：设,AB都为mn矩阵，若存在可逆矩阵,PQ，使PAQB，则称,AB是等价的，记为AB．设,AB都为n阶矩阵，若存在可逆矩阵P，使1PAPB，则称,AB是相似的，记为AB．设,AB都为n阶矩阵，若存在可逆矩阵C，使TCACB，则称,AB是合同的，记为AB．关于这三个概念的理解，由定义可见：（a）矩阵的等价关系存在于同型矩阵中．矩阵的相似、合同关系存在于同阶方阵中．特别地，我们常对于对称矩阵研究合同关系．（b）等价的矩阵不一定相似或合同，但相似或合同的矩阵一定等价．（c）相似的矩阵不一定合同，合同的矩阵不一定相似．反例：由于111010101022210221APBP即AB，但它们不合同，因为与对角阵合同的必是对称阵，而A不是对称阵．又如：90301030032040204TXCYC所以X与Y合同．但它们不相似．这是因为相似的矩阵特征值必相同，而这里的两个矩阵的特征值不同．4（d）如果存在正交矩阵Q，使TQAQB，则,AB既相似又合同．这是因为对于正交矩阵Q，有1TQQ．从而此时由TQAQB可得1QAQB，反之亦然．(e)设,AB是实对称矩阵，若AB，则AB．事实上，实对称矩阵A与B合同，即存在可逆矩阵C使TCACB，要实现这一点，关键是二次型,TTXAXXBX的正、负惯性指数是否相同，而A与B相似，则A与B有相同的特征值，从而它们的正、负惯性指数相同，所以它们合同．反过来，正负惯性指数相同时，并不能保证特征值相同．因此对于实对称矩阵，相似仅为合同的充分条件．二次型矩阵的几何背景是解析几何中的有心二次曲线或二次曲面（中心在坐标原点时，方程中不含一次项）．此时，曲线的方程的一般形式是2221axbxycy，为了判别曲线的类型，可以旋转坐标系，使曲线在新坐标系下的方程不含,xy的交叉乘积项，而只含,xy的平方项．这个过程就是用正交替换化二次型222axbxycy为标准形的过程．正交替换不改变图形的形状，且原二次型的矩阵的特征值此时就是标准形中,xy的平方项的系数．因此，可以根据特征值的正、负及其大小，来确定曲线的类型．平面曲线225651xxyy．2,8是等号左边的二次型的矩阵5335A的特征值，经正交替换cossin44sincos44xxyy化为标准形2228xy．从而曲线方程化为2228xy=1，即2222111()()222xy，这是两个半轴长分别为11,222（即1211,）的椭圆．对应于特征值2，8的特征向量分别是所作正交替换的矩阵的列向量：cossin,sincos4444TT，值得注意的是原坐标系顺时针旋转了4，此时两个新坐标轴的方向与特征向量的方向一致．对于三元的二次型也可作类似的理解．5（2）基本计算——熟练运用基本方法进行运算线性代数中运算法则多，应整理清楚，熟练运用基本方法进行运算．重要的有：行列式（数字型、字母型）的计算，求逆矩阵，求矩阵的秩，求方阵的幂，求向量组的秩与极大线性无关组，线性相关的判定或求参数，求基础解系，求非齐次线性方程组的通解，求特征值与特征向量（定义法，特征多项式，基础解系法），判断与求相似对角形矩阵，用正交变换化实对称矩阵为对角矩阵（亦即用正交变换化二次型为标准形）等．行列式的重点是计算，利用性质熟练准确地计算出行列式的值．余子式和代数余子式是线性代数课程的重要概念，利用行列式按行（列）展开定理计算行列式是基本方法与基本运算．比如：计算行列式2235007022220403D的值．可以用性质化为上三角形行列式，可以按第三行用展开定理计算等，方法多样．灵活一点理解展开定理，本题可以改编为求D中元素的代数余子式之和41424344AAAA，或求余子式之和41424344MMMM.这需要我们深刻领会)(,0)(,1sisiDAasknkik的涵义，才能顺利，快速解题．矩阵中运算分两个层次，一是矩阵的符号运算，二是具体矩阵的数值运算．例如在解矩阵方程中，首先进行矩阵的符号运算，将矩阵方程化简，然后再代入数值，算出具体的结果．矩阵的求逆（包括简单的分块阵，或抽象，或具体）或用定义，或是用公式*1||AAA，或用初等行变换，A和*A的关系，矩阵乘积的行列式，方阵的幂等也是常考的内容之一．初等变换在线性代数中具有重要地位，初等变换方法几乎贯穿全程，计算行列式、求矩阵的秩和矩阵的逆、解线性方程组，讨论线性相关性等等，都要用到它，运用该方法要注意培养运算能力，认真细心是非常必要的．如用初等行变换是求向量组的极大无关组及向量组和矩阵秩的有效方法．如：设向量组6123(1,4,1,0),(2,1,1,3),(1,0,3,1)TTT，4(0,2,6,3)T，采用“竖排行变换”方法，化矩阵1234(,,,)A为简化行阶梯形矩阵“一石三鸟”——求向量组的秩，极大线性无关组，并用这个极大线性无关组表示其余向量．在nR中，基、坐标、基变换公式，坐标变换公式，过渡矩阵，线性无关向量组的标准正交化公式，应该做到概念清楚，计算熟练．特别要高度重视施密特（Schmindt）正交化方法．标准正交基是解析几何中直角坐标系的代数抽象和推广．从12,,,s线性无关，到12,,,s两两正交，再到12,,,s标准正交，作为生成子空间相等：12(,,,)sL12(,,,)sL12(,,,)sL是该方法的重要特征．关于特征值、特征向量．首先要会求特征值、特征向量，对具体给定的数值矩阵，一般用特征方程||0EA及()0EAX即可，抽象的由给定矩阵的特征值求其相关矩阵的特征值（的取值范围），可用定