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线性代数第一章行列式一、相关概念1.行列式——n阶行列式|a11a12···a1na21a22···a2n············an1an2···ann|是所有取自不同行不同列的n个元素的乘积a1j1a2j2···anjn的代数和，这里j1j2···jn是1，2，···n的一个排列。当j1j2···jn是偶排列时，该项的前面带正号；当j1j2···jn是奇排列时，该项的前面带负号，即|a11a12···a1na21a22···a2n············an1an2···ann|=∑(−1)τj1j2···jnj1j2···jna1j1a2j2···anjn(1.1)这里∑j1j2···jn表示对所有n阶排列求和。式(1.1)称为n阶行列式的完全展开式。2.逆序与逆序数——一个排列中，如果一个大的数排列在小的数之前，就称这两个数构成一个逆序。一个排列的逆序总是称为这个排列的逆序数。用τj1j2···jn表示排列j1j2···jn的逆序数。3.偶排列与奇排列——如果一个排列的逆序数是偶数，则称这个排列为偶排列，否则称为奇排列。4.2阶与3阶行列式的展开——|abcd|=ad−bc，|a11a12a13a21a22a23a31a32a33|=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a13a22a31−a12a21a33−a11a23a325.余子式与代数余子式——在n阶行列式|a11a12···a1na21a22···a2n············an1an2···ann|中划去aij所在的第i行，第j列的元素，剩下的元素按原来的位置排法构成的一个n-1阶的行列式||a11···a1,j−1a1,j+1···a1n··················ai−1,1···ai−1,j−1ai−1,j+1···ai−1,nai+1,1···ai+1,j−1ai+1,j+1···ai+1,n··················an1···an,j−1an,j+1···ann||称为aij的余子式，记为Mij；称(−1)i+jMij为aij的代数余子式，记为Aij，即Aij=(−1)i+jMij。6.伴随矩阵——由矩阵A的行列式|A|所有的代数余子式所构成的形如[A11A21···An1A12A22···An2············A1nA2n···Ann]，称为A的伴随矩阵，记作A∗。二、行列式的性质1.经过转置行列式的值不变，即|AT|=|A|→行列式行的性质与列的性质是对等的。2.两行互换位置，行列式的值变号。特别地，两行相同(或两行成比例)，行列式的值为0.3.某行如有公因子k，则可把k提出行列式记号外。4.如果行列式某行(或列)是两个元素之和，则可把行列式拆成两个行列式之和：|a1+b1a2+b2a3+b3c1c2c3d1d2d3|=|a1a2a3c1c2c3d1d2d3|+|b1b2b3c1c2c3d1d2d3|5.把某行的k倍加到另一行，行列式的值不变：|a1a2a3b1b2b3c1c2c3|=|a1a2a3b1+ka1b2+ka2b3+ka3c1c2c3|6.代数余子式的性质——行列式任一行元素与另一行元素的代数余子式乘积之和为0三、行列式展开公式n阶行列式的值等于它的任何一行(列)元素，与其对应的代数余子式乘积之和，即|A|=ai1Ai1+ai2Ai2+···+ainAin=∑aikAiknk=1|A|按i行展开的展开式|A|=a1jA1j+a2jA2j+···+anjAnj=∑akjAkjnk=1|A|按j列展开的展开式四、行列式的公式1.上(下)三角形行列式的值等于主对角线元素的乘积；2.关于副对角线的n阶行列式的值|A|=(−1)n(n−1)2a1na2,n−1···an13.两个特殊的拉普拉斯展开式：如果A和B分别是m阶和n阶矩阵，则|A∗OB|=|AO∗B|=|A|·|B||OAB∗|=|OAB∗|=(−1)mn|A|·|B|4.范德蒙行列式||11···1x1x2···xnx12x22···xn2·········x1n−1x2n−1···xnn−1||=∏(xi−xj)1≤j≤i≤n5.抽象n阶方阵行列式公式(矩阵)若A、B都是n阶矩阵，A∗是A的伴随矩阵，若A可逆，λi(i=1,2…,n)是A的特征值：|AT|=|A|；|𝐤𝐀|=𝐤𝐧|𝐀|；|AB|=|A||B|；|A2|=|A|2；|A∗|=|A|n−1|A−1|=1|A|；|A|=∏λini=1；若𝐀~𝐁，则|𝐀|=|𝐁|，且特征值相同。𝐀𝐀∗=𝐀∗𝐀=|𝐀|𝐄一般情况下：|𝐀±𝐁|≠|𝐀|±|𝐁|五、行列式的计算1.数字型行列式将行列式化为上下三角，再按行或列展开；化简技巧：①将每列(行)都加到同一列(行)，或者将每列(行)ki倍都加到同一列(行)。②逐行(或逐列)相加③利用范德蒙公式或特殊的拉普拉斯展开式数学归纳法——①验证n=1时命题正确；假设n=k时命题正确；证明n=k+1时，命题正确。②验证n=1和n=2时命题都正确，假设nk命题正确，证明n=k，命题正确。③对于n阶的三对角行列式，通常可用数学归纳法。2.抽象型行列式——通常与矩阵一起考，利用行列式的性质(倍加、提公因数k、拆项)等来恒等变形；也可能利用矩阵的运算、公式、法则、特征值、相似。☆利用单位矩阵𝐄=𝐀𝐀−𝟏=𝐀−𝟏𝐀恒等变形来计算|A+B|形式的行列式。3.行列式|A|是否为0的判定若A=[α1,α2,···,αn]是n阶矩阵，那么行列式|A|=0↔矩阵A不可逆↔秩r(A)n↔Ax=0有非零解↔0是矩阵A的特征值↔A的列(行)向量线性相关。因此，判断行列式是否为0，常用：①秩；②齐次方程组是否有非零解；③看特征值是否为0；④反证法；⑤若|A|=k|A|，且k≠1时也能得出|A|=04.代数余子式求和①按定义直接计算求和；②用行列式的按行或列展开的公式。由于Aij的值与aij的值没有关系，故可以构造一个新的行列式|B|，通过求新行列式的代数余子式间接求出原行列式的代数余子式。P205例20③利用行列式任一行元素与另一行元素的代数余子式乘积之和为0的性质④根据伴随矩阵𝐀∗的定义，通过求𝐀∗再来求和。第二章矩阵一、矩阵的概念及运算矩阵——m×n个数排成如下m行n列的一个表格[a11a12···a1na21a22···a2n············am1am2···amn]称为是一个m×n矩阵，当m=n时，矩阵A称为n阶矩阵或n阶方阵。如果一个矩阵所有元素都是0，则称为零矩阵，记作O。两个矩阵A=[aij]m×n，B=[bij]s×t，如果m=s，n=t，则称A与B是同型矩阵两个同型矩阵如果对应的元素都相等，则称矩阵A与B相等，记作A=B。矩阵A是一个表格，而行列式|A|是一个数。二、矩阵的运算1.(加法)设A、B是同型矩阵，则A+B=[aij]m×n+[bij]m×n=[aij+bij]m×n2.(数乘)kA=k[aij]m×n=[kaij]m×n3.(乘法)若A为m×s矩阵，B为s×n矩阵，则A、B可乘，且乘积AB是一个m×n矩阵。记成C=AB=[cij]m×n，其中cij=∑aikbkjsk=1=ai1b1j+ai2b2j+···+aisbsj4.转置将矩阵A的行列互换得到矩阵A的转置矩阵AT三、矩阵的运算规则ABC为同型矩阵，则1.加法——A+B=B+A；(A+B)+C=A+(B+C)；A+O=A；A+(−A)=O2.数乘——k(mA)=(km)A=m(kA)；(k+m)A=kA+mA；k(A+B)=kA+kB；1A=A；0A=O3.乘法ABC满足可乘条件(AB)C=A(BC)；A(B+C)=AB+AC；(B+C)A=BA+CA注意一般情况下AB≠BA𝐀𝐁=𝐎不能推出𝐀=𝐎或𝐁=𝐎𝐀𝐁=𝐁且𝐁≠𝐎，不能推出𝐀=𝐄对角矩阵AB=[a1000a2000a3]=[b1000b2000b3]=[a1b2000a2b2000a3b3]对角矩阵的逆矩阵[a1a2a3]−1=[1a11a21a3]4.转置——(A+B)T=AT+BT；(kA)T=kAT；(AB)T=BT；(AT)T=A5.伴随矩阵——A∗=|A|A−1；AA∗=A∗A=|A|E；(𝐀∗)−𝟏=(𝐀−𝟏)∗=1|A|A(|A|≠0)；(𝐀∗)𝐓=(𝐀𝐓)∗；(kA)∗=kn−1A∗；|A∗|=|A|n−1；(A∗)∗=|A|n−2A(n≥2)6.方阵的幂——(Ak)l=Akl，AkAl=Ak+l注意(AB)k=(AB)(AB)···(AB)≠AkBk(A+B)k=A2+AB+BA+B2≠A2+2AB+B2(A+B)(A−B)=A2−AB+BA−B2≠A2−B27.特殊方阵的幂(求𝐀𝐧)——①若秩r(A)=1，则A可以分解为两个矩阵的乘积，有A2=lA，从而An=ln−1A例如P218②特殊的二项式展开(E+B)n③分块矩阵[BOOC]n=[BnOOCn]④特征值、特征向量、相似⑤简单试乘后如有规律可循，再用归纳法。四、特殊矩阵设A是n阶矩阵：①单位阵：主对角元素为1，其余元素为0，记成En或In②数量阵：数k与单位矩阵E的积kE称为数量矩阵。③对角阵：非对角元素都是0的矩阵称为对角阵，记成Λ。Λ=diag[a1，a2，···，an]④上(下)三角阵：当i𝑗(i𝑗)时，有aij=0的矩阵称为上(下)三角阵。⑤对称阵：满足AT=A，即aij=aji的矩阵称为对称阵⑥反对称阵：满足AT=−A，即aij=−aji，aii=0的对称阵称为反对称阵。⑦正交阵：ATA=AAT=E的矩阵称为正交阵，即AT=A−1⑧初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换所得到的矩阵。⑨伴随矩阵：见(一.1.6)A∗=|A|·A−1五、可逆矩阵1.主要定理：若A可逆则A的逆矩阵唯一且|A|不为0。行列式不为0则矩阵可逆。2.概念——设A是n阶方阵如果存在n阶矩阵B使得AB=BA=E成立，则称A是可逆矩阵或非奇异矩阵，B是A的逆矩阵，记成A−1=B3.可逆的充要条件——①存在n阶矩阵B使得AB=E②|A|≠0，或秩r(A)=n，或A的列(行)向量线性无关③齐次方程组Ax=0只有零解④矩阵A的特征值不全为04.逆矩阵的运算性质——若k≠0，则(kA)−1=1kA−1若A，B可逆，则(AB)−1=A−1B−1；特别地(A2)−1=(A−1)2若AT可逆，则(AT)−1=(A−1)T；(A−1)−1=A；|A−1|=1|A|注意，即使A,B,A+B都可逆，一般地(A+B)−1≠A−1+B−15.求逆矩阵的方法——①若|A|≠0，则A−1=1|A|A∗②初等变换(A|E)行初等变换→(E|A−1)③用定义求B，使得AB=E或BA=E，则A可逆且A−1=B④分块矩阵，设B,C都可逆，则[BOOC]−1=[B−1OOC−1]；[OBCO]−1=[OC−1B−1O]六、初等变换、初等矩阵1.主要结论：用初等矩阵P左乘A，所得PA矩阵就是矩阵A做了一次和矩阵P同样的行变换；若是右乘就是相应的列变换。2.初等变换——设A是m×n矩阵，(倍乘)用某个非零常数k(k≠0)乘A的某行(列)的每个元素，(互换)互换A的某两行(列)，(倍加)将A的某行(列)元素的k倍加到另一行(列)。称为初等变换。3.初等矩阵——由E经过一次初等变换所得的矩阵倍乘初等矩阵E2(k)=[1000k0001]互换初等矩阵E12=[010100001]倍加初等矩阵E31(k)=[100010k01]4.等价矩阵——矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，则称A与B等价，记成A≅B。若A≅[ErOOO]，则后者称为A的等价标准形。(A的等价标准型是与A等价的所有矩阵中的最简矩阵。)5.初等矩阵与初等变换的性质——①初等矩阵的转置仍然是初等矩阵；②初等矩阵均是可逆矩阵且其逆矩阵仍是同一类型的初等矩阵Ei−1(k)=Ei(1k)，Eij−1=Eij，Eij−1(k)=Eij