线性代数总复习-1矩阵

1矩阵一、矩阵的概念及其初等变换矩阵概念注意：矩阵与行列式的区别矩阵的初等变换理论定义：（看书）结论一对任一mn矩阵A，设()RAr，有1,11,1000000000110rnrrrnmnccccAA行变（的行最简形矩阵）应用1高斯消元法解线性方程组增广矩阵A行变行最简形矩阵（可直接写出解）应用2列摆行变法判定向量组的线性相关性及求最大无关组、秩和线性表示式1,1111,12100(,,,)(,,,)0000000011,,rnrrrnrnrnccccJJ行变设则12,,,n与11,,,,,rrnJJ有相同的线性相关性。应用3行初等变换法求逆矩阵A-1、A-1B1(,)(,)AEEA行变1(,)(,)ABEAB行变结论二对任一mn矩阵A，设()RAr，有000rmnEAA变和列行变（的相抵标准形）应用1初等变换法求矩阵的秩。（注：求矩阵的秩可列变）应用2矩阵问题的标准形思路0,00rEAPQPQ（、均为可逆矩阵）结论三初等变换与初等矩阵的转化关系：“左行右列”（例）二、矩阵的运算加法、数乘、乘法、转置关于矩阵乘法，注意：（1）矩阵乘法与数的乘法不同之处不满足交换律ABBA222()2ABAABB22()()ABABAB()kkkABAB注意：,AB设均为方阵，则错误!未找到引用源。,ABEABBAE若则错误!未找到引用源。ABBAAB两两个个非非零零矩矩阵阵的的乘乘积积可可能能是是零零矩矩阵阵.000ABAB或0,00ABAB(0,00,00)0ABBABAAB但或200(AAA实对称但当是时矩阵成立？？）2.AEAE20AAAAE或不满足消去律,0ABACABCA0（但当时成立）,0BACAABCA0（但当时成立）（2）矩阵乘法的应用线性方程组的矩阵形式AXb二次型的矩阵形式TXAX线性替换的矩阵形式XCY列向量组之间的线性表出式1212(,,,)(,,,)nnA三、可逆矩阵1.可逆矩阵（伴随矩阵）的概念与性质（看书）1(AAAA当可逆时)AAAAAE1nAA11(AAAn是阶可逆矩阵)2.矩阵可逆的充要条件nAnBABE定义阶可逆存在阶方阵，使得方阵0A12,siAPPPP其中为初等矩阵0A注：()RAnA的行（列）向量组线性无关0AX只有零解A的特征值全不为03.逆矩阵的求法定义法：化出?AE或?AE伴随矩阵法：11AAA（用于2阶矩阵：“两调一除法”）初等变换法：1(,)(,)AEEA行变分块矩阵法：111AABB111BBAA00AB（以上均要求，）四、矩阵的秩矩阵秩的概念()010mnmnArArr义秩中有一个阶子式，所有阶子式定0(),mnAmn秩()00mnmnAA秩()0nnnnAnA秩()AAA=定理秩的行秩的列秩（三秩相等）矩阵秩的常用公式1.()()()ABAB秩秩秩2.()(),()mnnsABAB秩秩秩.特别：(()()()()())AABBBBAA当可逆时；秩秩当秩可逆时秩3.()(),0.kAAk秩秩其中4.()()TAA秩秩五、方阵的行列式1.行列式的定义及展开式1212121112121222)12121nnnnnjjjjjnjjjjnnnnaaaaaaaaaaaa（定义（）（完全展开式）11221122(1,2,,)()(1,2,,)()iiiiininjjjjnjnjaAaAaAiniaAaAaAjnj按行的展开式按列的展开式注：1122,(1,2,,)0,()jjnijniiAijaAaAaAinij错位展开式应用降阶法求行列式同行(列)代数余子式求和2.行列式的性质nkAkA，ABAB等3.行列式的计算化三角形法（技巧：累加、提公因子、相抵消等）降阶法拆项法特征值法1122=,0,,,ninnnAAAE若是的特征值4.行列式的应用解n个方程n个未知量的方程组（克拉默法则）：nnAX有唯一解b0A判定n个n维向量线性相关（无关）：0行列式由其构成的(0)判定实对称矩阵A正定：顺序主子式法