线性代数总复习2014

线性代数复习课一、内容提要二、典型例题一、内容提要行列式的性质性质2行列式中某一行的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面.性质1行列式与它的转置行列式相等.性质4对换两行,行列式值反号.性质3若行列式某一行的元素都是两数之和,则该行拆开,原行列式可以表为相应的两个行列式之和.性质6把行列式某一行的各元素乘以同一数加到另一行对应的元素上去,行列式的值不变.性质5若有两行元素对应成比例,则行列式值为零.•设A,B为n阶矩阵,则有|AB|=|A||B|.一、内容提要Laplace[按行列展开]定理行列式等于某一行(列)的元素与其对应的代数余子式乘积之和.即1122||,(1,2,,)iiiiininAaAaAaAin==1122||,(1,2,,)jjjjnjnjAaAaAaAjn==•设A=(aij)为n阶方阵,则有111,11,111,1,11jjnnnjnjnnnaaaaaaabba1212jjjnnAbAAbb=一、内容提要伴随阵设A为n阶方阵,Aij为(i,j)元的代数余子式,记112111222212nnnnnnAAAAAAAAAA=称A为方阵A的[转置]伴随阵.伴随阵的性质(1)||;nAAAAAE==1(2)||||.nAA=设A为n阶方阵A的伴随阵,则有•如果|A|0,那么,称方阵A为非奇异矩阵.逆阵计算公式非奇异矩阵A的逆阵为11||AAA=逆矩阵如果存在矩阵B,使AB=BA=E那么,称方阵A为可逆的,并称B为A的逆矩阵.定理设A,B为n阶方阵,若AB=E,则A,B可逆,且有11,.ABBA==一、内容提要逆矩阵的性质设A,B为n阶可逆矩阵,则有11(1)||;||AA=11(2)();AA=111(3)()(0);kAkAk=111(4)();ABBA=T11T(5)()();AA=111(6)()().||AAAA==一、内容提要分块对角阵的性质1diag(,,).sAAA=1(1)||||||;sAAA=(3)A可逆的充分必要条件是Ai(i=1,…,s)都可逆,且有1111diag(,,)sAAA=一、内容提要n1(2)diag(,);nnsAAA=设Ai(i=1,…,s)都是方阵,•设A,B都是方阵,则有||||AAOABOBB==•矩阵A与B行等价的充要条件是:存在可逆矩阵P,使B=PA.•矩阵A与B列等价的充要条件是:存在可逆矩阵Q,使B=AQ.具体地有(,)(,),rPEPAAcQQAAE一、内容提要等价矩阵如果矩阵A经过有限次初等(行,列)变换,化为矩阵B,就称矩阵A与B(行,列)等价,记为A～B.行最简形矩阵12(0)raaa行阶梯形矩阵一、内容提要12000000000000raaa000000000000012000000000000raaa00000000000001110000矩阵的秩一、内容提要如果矩阵A的等价标准形为rEOUOO=那么称U中单位阵的阶数r为矩阵A的秩,记为R(A).性质1等价矩阵有相等的秩.性质2性质4()min{,}.mnRAmn性质3n阶方阵A可逆的充分必要条件是R(A)=n.行阶梯形矩阵的秩为非零行的行数.性质5T()().RARA=矩阵的秩一、内容提要如果矩阵A的等价标准形为rEOFOO=那么称F中单位阵的阶数r为矩阵A的秩,记为R(A).性质7性质8性质9()()().RABRARB()min{(),()}.RABRARB若,nnmlABO=则()().RARBn性质61234().iAARARAA•逆矩阵的初等变换求法1()()rAEEA矩阵初等变换的应用•线性方程组的最简形解法将线性方程组的增广矩阵化为行最简形,写出同解方程组,解便一目了然.•矩阵方程AX=B,XA=B的初等变换解法1()()rABABE1cEABBA一、内容提要(1)当R(A,b)R(A)时,方程组无解;(2)当R(A,b)=R(A)=n时,方程组有唯一解;(3)当R(A,b)=R(A)n时,方程组有无穷多解.设n元线性方程组Ax=b.•n元方程组Ax=0有非零解的充要条件是R(A)n.•AX=B有解的充要条件是R(A)=R(A,B).线性方程组的可解性定理•当A为方阵时,Ax=0有非零解的充要条件是|A|=0.一、内容提要齐次通解结构定理设n元齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系为x1,…,xnr,其中r=R(A),则Ax=0的通解为11,nrnrxkkxx=(k1,…,knr为任意数)非齐次通解结构定理(k1,…,knr为任意数)设x=h是n元非齐次线性方程组Ax=b的一个解(称特解),x1,…,xnr是导出组Ax=0的一个基础解系,则Ax=b的通解为11,nrnrxkkxxh=一、内容提要一、内容提要线性组合设有向量组1,,maa及向量,b如果存在一组数1,,,mkk使11mmbkaka=那么,称向量b为向量组1,,maa的一个线性组合,称向量b可由向量组并1,,maa线性表示.•设矩阵nm1(,,),mAaa=则线性方程组Ax=b有一组解(1,,),iixkim==等价于11mmbkaka=线性相关性设有向量组1,,,maa如果存在一组不全为0的数1,,,mkk使110mmkaka=那么,称线性相关.1,,maa否则,称线性无关.1,,maa基本性质一、内容提要(1)若向量b可由向量组a1,…,am线性表示,则向量组b,a1,…,am线性相关.(2)若部分组线性相关,则整个向量组也线性相关.(3)若向量组线性无关,则任一部分组也线性无关.1(,,)mRaam=定理线性相关性设有向量组1,,,maa如果存在一组不全为0的数1,,,mkk使110mmkaka=那么,称线性相关.1,,maa否则,称线性无关.1,,maa一、内容提要向量组线性无关的充分必要条件是1,,maa•a1,…,am线性无关,也即向量方程只有零解.110mmxaxa=向量组的秩设A为一向量组,A中线性无关向量组所含向量个数的最大值r,称为向量组A的秩,记为R(A).向量组的最大无关组设向量组A的秩为r,如果a1,…,ar为A中一个线性无关向量组,那么称a1,…,ar为A的一个最大无关组.最大无关组的性质设A为一向量组,则部分组a1,…,ar为A的一个最大无关组的充分必要条件是(2)A中任一向量可由a1,…,ar线性表示.(1)a1,…,ar线性无关;一、内容提要化矩阵A为行最简形A0,通过观察A0,便知A的列向量组的秩和一个特定的最大无关组,以及A的其余列向量在该最大无关组下的线性表示.一、内容提要秩与最大无关组的一个算法r10203014050001700000例设aaaaa12345(,,,,)aaaaa12345,,,,的秩为3,aaa124,,,一个最大无关组为则且有=aaa31224,=aaaa5124357•初等行变换保持矩阵的列向量组的线性关系.向量组的线性表示若向量组B中的任一向量都可由向量组A中的向量线性表示,就称向量组B可由向量组A线性表示.一、内容提要•向量组B可由向量组A线性表示的充要条件是()(,)RARAB=•若向量组B可由向量组A线性表示,则R(B)R(A).等价向量组可以相互线性表示的两个向量组,称等价向量组.•向量组A与向量组B等价的充分必要条件是==RARBRAB()()(,)向量空间设Rn的非空集V满足条件：那么,称V为一个向量空间.•当非空集V满足条件(1),(2)时,称V对线性运算封闭.(1)若aV,bV,则abV;(2)若aV,kR,则kaV,•齐次线性方程组Ax=0的解集S是一个向量空间.子空间设有向量空间V1及V2,若V1V2,就称V1是V2的子空间.当V1V2时,称V1是V2的真子空间.一、内容提要向量空间的基和维数称向量空间V的秩为V的维数,记为dimV.称向量空间V的任一最大无关组为V的一个基.基的性质设V为一个向量空间,则V中向量组a1,…,ar为V的一个基的充分必要条件是(2)V中任一向量可由a1,…,ar线性表示.(1)a1,…,ar线性无关;•n元齐次线性方程组Ax=0的基础解系为解空间S的一个基,dimS=nR(A).一、内容提要生成空间设有向量组A:a1,…,am,记(){,,}111|RmmmLAkakakk=称L(A)为由向量组A生成的向量空间,简称生成空间.称a1,…,am为生成元.向量组线性表示的等价说法设有向量组A:a1,…,as,B:b1,…,bt.则有(1)L(A)为L(B)的子空间的充分必要条件是A组可由B组线性表示；(2)L(A)=L(B)的充分必要条件是A组与B组等价.一、内容提要向量在基下的坐标设V为一个r维向量空间,则V中任意r个线性无关向量a1,…,ar为V的一个基,且有1(,,)rVLaa=V中任一向量a可唯一地表示为11rrakaka=称(k1,…,kr)为a在基a1,…,ar下的坐标.一、内容提要过度矩阵一、内容提要设a1,…,ar及b1,…,br是向量空间V的两个基,11(,,)(,,)rrbbaaP=称此关系式为基变换公式.•称矩阵P为从基a1,…,ar到基b1,…,br的过渡矩阵.•过渡矩阵是可逆矩阵.则存在r阶矩阵P,使向量的内积一、内容提要设有n维向量a=(a1,…,an),b=(b1,…,bn),T11[,]nnabababab==称[a,b]为向量a与b的内积.记向量的范数称[,]aa为向量a的范数(或长度),记为||a||.•若[a,b]=0,则称向量a与b正交.向量的夹角非零向量a与b的夹角为[,]arccos||||||||abab规范正交基一、内容提要r维向量空间V中,任一正交单位向量组e1,…,er,称为V的一个规范正交基.正交矩阵如果ATA=E(A1=AT),则称方阵A为正交矩阵.1定义:2运算性质①正交矩阵之积为正交阵②正交矩阵的转置为正交阵③正交矩阵的伴随矩阵为正交矩阵1=A④正交矩阵A的行列式或－1为正交单位向量。A为正交矩阵A的行（列）向量组是n维行（列）向量3正交矩阵的判定一、内容提要A为n阶正交阵的充分必要条件是A的列(行)向量组为Rn的一个规范正交基.nnnijRaA===T32121),,,()(===njijijiji,,2,1,,,0,,1'A为正交矩阵===njijijiji,,2,1,,,0,,1'A为正交矩阵正交变换若P为正交阵,则称线性变换y=Px为正交变换.•正交变换保持向量的内积不变.方阵的特征值一、内容提要•称n次多项式|lEA|为A的特征多项式.•称n次方程|lEA|=0的根为方阵A的特征值.•设l1,…,ln为A的所有特征值,则有1||()()nEAlllll=特征值的性质(2)(1)1||;nAll=11122.nnnaaall=A的迹,记为tr(A).•设f是一个多项式,若l为方阵A的一个特征值,则f(l)为f(A)的一个特征值.方阵的特征向量一、内容提要设l为方阵A的特征值,称方程组(lEA)x=0的任一非零解为方阵A对应于特征值l的特征向量.•对应于n阶矩阵A的特征值l有nR(lEA)个线性无关的特征向量,定理设l1,…,lm是方阵A的m个不相同的特征值,A1,…,Am分别为属于l1,…,lm的线性无关特征向量组,则由A1,…,Am的并集构成的向量组