线性代数教案-第六章

1第六章线性空间与线性变换§1线性空间的定义与性质一.线性空间.在第四章中,我们介绍过向量空间的概念,第四章中介绍的向量空间中的向量是n维有序数组.在这一节中,我们要引入抽象的向量空间的概念,抽象的向量空间里的向量就有可能不再是n维有序数组.我们先来看抽象的向量空间的定义.定义.设V是一个非空集合为实数域对V中任意两个元素在V中总有唯一确定的一个元素与它们对应,称为与的和,记为=+.对于任意实数k与V中任意一个元素,在V中都有唯一确定的一个元素与它们对应,称为k与的数量乘积,记为k.而且这两种运算满足下面规律:对任意的,,V,,kl.(1);(2)()()(3)存在0V,使对任何的V,都有0;(具有这个性质的元素0称为V的零元素.)(4)对任何V都有V中的元素,使得0;(称为的负元素.)(5)1(6)k(l)(kl)(7)(kl)kl(8)k()kk则称V是实数域上的线性空间(或向量空间),V中的元素称为向量.加法和数乘这两种运算统称为线性运算.很容易验证第四章定义的向量空间满足上面八条性质,所以以前的向量空间的定义只是现在定义的特殊情况例1.[]Px{所有的实数域上的一元多项式}关于多项式的加法和数乘是线性空间.1110[]{+|,0}nnnnniPxaxaxaxaain,对于通常的多项式加法、数乘多项式的乘法构成向量空间([]nPx就是次数不超过n的一元多项式的全体)例2.(){|mnMAAmn是行列的矩阵}关于通常的矩阵的加法和数乘构成一个线性空间.例3.n次多项式的全体Q[x]n1110{+|,0,0}nnnninaxaxaxaaina对于通常的多项式加法、数乘运算不构成线性空间这是因为0[]nQx例4.记{|}nV.对1naa,1nbb,k,定义11nnabab,00k.则V不是向量空间这是因为10对任何V.不满足运算规律(5).比较V和n作为集合它们是一样的但是因为定义的运算不一样使得n构成线性空间而V不是线性空间所以线性空间的概念是集合与运算二者的结合例5.在正实数的全体中定义加法及数乘运算为abab,*aa,(,ab,).验证对上述加法与乘数运算构成线性空间证:(i)ababbaba;(ii)()abcabcabcabcabc;(iii)中存在零元素1对任何a,有11aaa;(iv)对任何a有负元素1a使111aaaa;(v)11*aaa;(vi)*(*)*()*aaaaa;2(vii)()*aaaaa⊕a*a⊕*a(viii)*(a⊕b)*(ab)(ab)aba⊕b*a⊕*b因此对于所定义的运算构成线性空间□性质:1零元素是唯一的证:设0102是线性空间V中的两个零元素则010102020102□2任一元素的负元素是唯一的的负元素记作利用负元素,我们可以定义减法:设,V,则定义=().证:设、都是的负元素则00于是所以0()+()0□300(1)k00证:010(10)1所以00(1)1(1)[1(1)]00所以(1)k0k(0)(k0)00□4如果k0则k0或0证若0k,则=1=(1kk)=1k(k)=1k0=0.□2节课完二.子空间.我们以前学过一个集合的子集的概念,类似的我们可以定义一个线性空间的子空间的概念.定义.设V是一个线性空间W是V的一个非空子集若W关于V的加法和乘数两种运算也构成一个线性空间则称W为V的子空间关于线性空间的子空间,我们有下面的一个简单性质.定理.设V是线性空间WV,则W是V的子空间W对于V的加法和数乘封闭.证:只要证明W满足规律(3),(4).设W,则00W,(1)W.□回忆一下我们在第四章中定义的向量空间,当时我们定义向量空间为n的非空子集,而且这个子集对加法和数乘两种运算封闭.根据我们这里的这个定理,我们知道在第四章中定义的向量空间实际上就是n的子空间.§2维数基与坐标一.维数,基与坐标.在第四章中我们介绍了很多重要的概念比如线性相关,线性无关,最大无关组,向量组的秩这些概念也适用于一般的线性空间中,而且关于这些概念的定理对于一般的抽象空间也成立.特别的在第四章中介绍的向量空间的基与维数的概念对于一般的抽象的线性空间也适用.我们有下面的定义.定义.设V是线性空间若1,,nV满足1.1,,n线性无关2.V,可由1,,n线性表示则1,,n称为V的一个基n称为线性空间V的维数记为dim()Vn.V称为n维线性空间.若{0}V,(这个时候V没有基),则规定dim0V根据最大无关组的等价定义,我们知道线性空间的基就是V的一个最大无关组,V的维数就是V的秩.例:31212(1,1,0)(0,1,0),.TTVkkkkRR则dim()2.V关于线性空间的基,我们有一个简单的性质.性质1.若12n为V的一个基则112212{|,,,}nnnVxxxxxx.根据这个性质,我们如果知道了一个线性空间的一组基,那么这个线性空间的结构就清楚了.线3性空间就是由它的这组基生成的线性空间.性质2.11,,.dim,,,设是由向量组生成的向量空间则=向量组的秩mmLL1,,.向量组的任意一个最大无关组都是的基mL在第四章中我们介绍过坐标的概念,坐标这个概念对于一般的抽象的线性空间也适用.我们有下面的定义.定义.设1,,n是V的一个基.则V,存在唯一的1nnxx,使11nnxx,1nxx称为在1,,n这个基下的坐标.为了写起来方便,我们引入一种形式的写法.形式记法:1111(,,)nnnnxxxx.我们把这个向量组对应的矩阵看成是一行n列的矩阵,把等式的右边看成是一个一行n列的矩阵和一个n行一列的矩阵的乘积.我们以前说过线性空间的基的作用相当于平面解系几何里坐标系的作用,向量在取定基下对应一个坐标相当于是平面解系几何里的平面上的一个点在取定坐标系下的坐标.例1.22(){|MAA是2行2列的矩阵}.1112212210010000,,,00001001EEEE是22()M的一组基.所以22dim(())=4.Mdim(())=.mnMmn22()AM,1111121221212222AaEaEaEaE,所以A在11122122,,,EEEE下的坐标是11122122aaaa.按照我们的形式的写法,我们有11121111121221212222111221222122(,,,)aaAaEaEaEaEEEEEaa.注意等式右边看成是一个1行4列的矩阵和一个4行1列的矩阵的乘积,而不是2行8列的矩阵和4行1列的矩阵的乘积,如果把它看成是一个2行8列的矩阵和4行1列的矩阵的乘积,那就没法乘了.例2.在线性空间4[]Px中234123451,,,,ppxpxpxpx是它的一组基,设23401234()fxaaxaxaxax,则0112233445()fxapapapapap.所以()fx在这个基下的坐标为01234aaaaa.11q,2qxa,23()qxa,34()qxa,45()qxa也是它的一组基.(因为4dim([])5Fx,所以只要证明这组向量线性无关.只要证12345(,,,,)0qqqqqX只有零解.设11223344550kqkqkqkqkq.则4112233445550kqkqkqkqkqkx.所以50k.所以34112233440kxkqkqkqkq.所以40k.所以231122330kxkqkqkq.所以30k.所以211122()0kxakkqkq.所以210kk.4所以12345,,,,qqqqq线性无关.)设1122334455()fxbqbqbqbqbq.232345'()2()3()4()fxbbxabxabxa.2345''()232()43()fxbbxabxa,45'''()32432()fxbbxa,(4)5()432fxb所以1234(4)5()'()''()2!'''()3!()4!bfabfafabfabfab.所以()fx在这个基下的坐标是(4)()'()''()2!'''()3!()4!fafafafafa.□二.线性空间在同构意义下的分类.取定线性空间的一组基后,线性空间中每一个向量在这组基下都对应一个坐标,这个对应是一一对应的,下面我们想说明这个对应保持向量的线性运算.从而我们可以证明n维线性空间和n维有序数组所构成的向量空间n有相同的线性结构,用严格的数学语言来说的话,就是说这两个线性空间是同构的.在引进线性空间的同构的定义之前,我们需要介绍关于映射的几个基本概念.我们现在研究线性空间在同构意义下的分类问题设:fAB是映射,则(){()|}fAfaaA称为f的像集.设:fAB是映射,若对任意的'aaA,有()(')fafa.则称f是单射.设:fAB是映射,若()fAB,则称f是满射.若映射:fAB即是单射又是满射,则称f是双射(或一一对应).介绍了关于映射的这几个概念以后,我们就可以引进线性空间同构的定义.定义.设1V,2V是实数域上的两个线性空间,若存在映射12:fVV满足(1)f是双射.(2)f保持加法.即,V,()()()fff.(3)f保持数乘.即,FV,()()ff.则称f是1V到2V的一个同构映射,并称1V和2V同构.下面我们来证明任何一个n维线性空间和n是同构的.我们有下面的定理.定理.任意一个n维线性空间V和n同构.所以维数相等的线性空间是同构的.证:设1,,n是V的一个基,我们有一个从V到n的一一对应.定义映射:nfV111nnnxxxx.就是把每个向量对应它在取定基下的坐标.则f是双射.设11nnxx,11nnyy,则1111111()(()())()()nnnnnnnxyxyffxyxyffxyxy,1111()()()nnnnkxxfkfkxkxkkfkxx.所以f是同构映射.□5两个线性空间如果同构,我们可以把它们等同.根据这个定理我们可以把n维线性空间和n等同,也就是把向量和它在取定基下的坐