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1《线性代数》复习提要一、内容提要：1、行列式：（1）、定义与性质；计算；克莱姆法则。（2）、会利用行列式的定义与性质计算行列式的值；会利用克莱姆法则判别齐次线性方程组有无非零解。（3）掌握行列式的展开定理，逆序数，余子式，代数余子式2、矩阵：（1）、掌握矩阵的基本运算（加法、数乘、乘法，转置，逆）；（２）逆矩阵的判别与三种求法；（３）分块矩阵及运算；（４）特殊矩阵上（下）三角矩阵；对角矩阵；数量矩阵；单位矩阵；零矩阵；对称矩阵；反对称矩阵（特点：对角线元素均为零；奇数阶反对称矩阵的行列式为零）可逆矩阵；分块对角矩阵；正交矩阵；幂等矩阵。３、矩阵的初等变换（１）．初等矩阵与初等变换的定义及关系（２）．初等变换与可逆矩阵的关系；（３）．初等变换的应用（求秩；求逆；化简方程组）思考题：A、B均为三阶矩阵，2)(Ar，则)(ABr是多少？2（注意B的可逆性）3、向量：（1）、n维向量；线性组合；线性相关与线性无关；极大无关向量组；向量组的秩。（2）、给出一组向量，要能判断它们是线性相关还是线性无关；会求其极大无关向量组；会求其向量组的秩。（3）向量空间（维数；基）4、线性方程组：（1）、系数矩阵A与增广矩阵[A,b]；线性方程组有解的判别；这两个秩相同，有解；相同且等于矩阵阶数，唯一解，否则无数解。ra小于rab，或者|A|等于0，无解。曾广后矩阵秩应变小或者不变。（２）齐次线性方程组ＡＸ＝０的解的结构：ＡＸ＝０的解构成向量空间（解空间）；基础解与基础解系；ＡＸ＝０通解为基础解的线性组合理解：解空间的维数=基础解系中向量的个数=自由元个数=)(Arn(3)非齐次线性方程组AX=b解的结构。AX=b通解为:对应齐次方程组AX=0的通解+AX=b特解思考题：若AB=0，则nBRAr)()(。（注意方程AX=0的解与B的列向量）25、特征值、特征向量与二次型：（1）、向量的内积；向量的正交化与正交单位化；矩阵的特征值、特征向量；相似矩阵；正交相似矩阵可对角化；二次型。（2）、给出一组向量，会将其正交单位化；会求矩阵的特征值、特征向量；会将可对角化矩阵对角化（正交相似对角化）；二、参考题（郑重声明：不是考题）计算题：1、计算行列式D=2101541141123221=5？99%2．求矩阵的逆223122300A=，左右-111-7/61-11/3003．已知321011330A,BAAB2,求Bb=(a-2e)a逆，e为对角1的单位阵。4、求向量组a1=（1，1，，1，4），a2=（2，1，3，5），a3=（1，-1，3，-2），a4=（3，1，5，6）的一个极大无关组，并把其余向量用这个极大无关组线性表示。化行阶梯形矩阵，这个秩数为最大无关组向量个数，取左到右为最大组.再梯形化最简形，表示其他向量。。5、已知非齐次线性方程组4234321321321xbxxxbxxxxax当取何值时，方程组无解，p76ra《rab，无解。或者系数行列式等于0时，无解。有唯一解，有无穷多解？唯一解时，解|A|等于06、已知齐次线性方程组42223231432543215321xxxxxxxxxxxx求对应齐次方程组的基础解系及非齐次方程组的通解。曾广化行最简式，方程式解(未知数间关系，等号右边不算)，任取值得具体数字特解，齐次方程即曾广去尾列，化不同基础解析(2个)，非齐次方程通解为c1基础解析1+c2基础解析+特解()数字解。非齐次通解等于飞齐次解+c1齐次特解37、已知A=020212022，考试出2阶的。（1）、求A的特征值、特征向量；解，格式标准1A-入E1=特征解入为，对应特征解入的各个基础解全部特征向量=k乘基础解，k不等于0。（2）、可逆矩阵Q，使AQQ1为对角矩阵；所有基础解析几个构成矩阵Q就行。求q-1，算出q-1（3）、利用（2）的结果求5A等于直接写a5=q-1a5q，a5先算出，然后乘中间。（四）、证明题：1．已知向量组β，a1，a2，…，as线性无关，向量组B(ζ，a1，a2，…，as线性相关，证明ζ必可由向量组A(a1，a2，…，as)线性表示。即证rζ小于或者等于raA向量个数较少，可知秩rA大于等于向量组rB，即ra大于等于s+1,,相当于增广矩阵B=(a,b)。又rB等于s+1。有rζ大于或者等于s+1。所以得rζ等于ra。上题基础知识:向量组中，向量个数s加1。ra=s+1(向量个数=秩所以无关)，r小于s+1线性有关，89page2．已知向量211,322,313且321,,线性相关,证明321,,线性相关.ap1+bp1+cp3=0代入p1p2p3证明成立，已知a123同样如此，定理向量组b可由向量组a线性表示，rb小于等于ra充要条件ra=r(a，b)ra=rb=rab时ab等价向量b能由向量组a线性表示充要条件也是ra=rab3．21,XX分别为A的对应特征值21,的特征向量，21，证明21,XX线性无关.向量组a线性相关，则ra小于向量个数4ra=向量个数，线性无关，充要条件。p123解向量个数等于未知数个-线性方程秩x1+x2+x3+x4=0x1-x2-x3+x4=0秩2，所以4-2等于2个解向量。