线性代数知识点总结(第3章)

线性代数知识点总结（第3章）（一）向量的概念及运算1、向量的内积：（α，β）=αTβ=βTα2、长度定义：||α||=3、正交定义：（α，β）=αTβ=βTα=a1b1+a2b2+…+anbn=04、正交矩阵的定义：A为n阶矩阵，AAT=E←→A-1=AT←→ATA=E→|A|=±1（二）线性组合和线性表示5、线性表示的充要条件：非零列向量β可由α1，α2，…，αs线性表示(1)←→非齐次线性方程组（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，xs）T=β有解。★(2)←→r（α1，α2，…，αs）=r（α1，α2，…，αs，β）（系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，用于大题第一步的检验）6、线性表示的充分条件：（了解即可）若α1，α2，…，αs线性无关，α1，α2，…，αs，β线性相关，则β可由α1，α2，…，αs线性表示。7、线性表示的求法：（大题第二步）设α1，α2，…，αs线性无关，β可由其线性表示。（α1，α2，…，αs|β）→初等行变换→（行最简形|系数）行最简形：每行第一个非0的数为1，其余元素均为0（三）线性相关和线性无关8、线性相关注意事项：（1）α线性相关←→α=0（2）α1，α2线性相关←→α1，α2成比例9、线性相关的充要条件：向量组α1，α2，…，αs线性相关（1）←→有个向量可由其余向量线性表示；（2）←→齐次方程（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，xs）T=0有非零解；★（3）←→r（α1，α2，…，αs）＜s即秩小于个数特别地，n个n维列向量α1，α2，…，αn线性相关（1）←→r（α1，α2，…，αn）＜n（2）←→|α1，α2，…，αn|=0（3）←→（α1，α2，…，αn）不可逆10、线性相关的充分条件：（1）向量组含有零向量或成比例的向量必相关（2）部分相关，则整体相关（3）高维相关，则低维相关（4）以少表多，多必相关★推论：n+1个n维向量一定线性相关11、线性无关的充要条件向量组α1，α2，…，αs线性无关（1）←→任意向量均不能由其余向量线性表示；（2）←→齐次方程（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，xs）T=0只有零解（3）←→r（α1，α2，…，αs）=s特别地，n个n维向量α1，α2，…，αn线性无关←→r（α1，α2，…，αn）=n←→|α1，α2，…，αn|≠0←→矩阵可逆12、线性无关的充分条件：（1）整体无关，部分无关（2）低维无关，高维无关（3）正交的非零向量组线性无关（4）不同特征值的特征向量无关13、线性相关、线性无关判定（1）定义法★（2）秩：若小于阶数，线性相关；若等于阶数，线性无关【专业知识补充】（1）在矩阵左边乘列满秩矩阵（秩=列数），矩阵的秩不变；在矩阵右边乘行满秩矩阵，矩阵的秩不变。（2）若n维列向量α1，α2，α3线性无关，β1，β2，β3可以由其线性表示，即（β1，β2，β3）=（α1，α2，α3）C，则r（β1，β2，β3）=r（C），从而线性无关。←→r（β1，β2，β3）=3←→r（C）=3←→|C|≠0（四）极大线性无关组与向量组的秩14、极大线性无关组不唯一15、向量组的秩:极大无关组中向量的个数成为向量组的秩对比：矩阵的秩:非零子式的最高阶数★注:向量组α1，α2，…，αs的秩与矩阵A=（α1，α2，…，αs）的秩相等★16、极大线性无关组的求法（1）α1，α2，…，αs为抽象的：定义法（2）α1，α2，…，αs为数字的：（α1，α2，…，αs）→初等行变换→阶梯型矩阵则每行第一个非零的数对应的列向量构成极大无关组（五）向量空间17、基（就是极大线性无关组）变换公式：若α1，α2，…，αn与β1，β2，…，βn是n维向量空间V的两组基，则基变换公式为（β1，β2，…，βn）=（α1，α2，…，αn）Cn×n其中，C是从基α1，α2，…，αn到β1，β2，…，βn的过渡矩阵。C=（α1，α2，…，αn）-1（β1，β2，…，βn）18、坐标变换公式：向量γ在基α1，α2，…，αn与基β1，β2，…，βn的坐标分别为x=（x1，x2，…，xn）T，y=（y1，y2，…，yn）T，，即γ=x1α1+x2α2+…+xnαn=y1β1+y2β2+…+ynβn，则坐标变换公式为x=Cy或y=C-1x。其中，C是从基α1，α2，…，αn到β1，β2，…，βn的过渡矩阵。C=（α1，α2，…，αn）-1（β1，β2，…，βn）（六）Schmidt正交化19、Schmidt正交化设α1，α2，α3线性无关（1）正交化令β1=α1（2）单位化